第三章 數(shù)學基礎

第三章數(shù)學基礎第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述2、點的齊次坐標其中：a=ωpx，b=ωpy，c=ωpz。第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述若用

來表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位向量，用齊次坐標來描述X、Y、Z軸的方向，則有第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述3、坐標軸的方向描述規(guī)定:列陣［abc0］T中第四個元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;列陣［abcω］T中第四個元素不為零,則表示空間某點的位置。第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3.1用齊次坐標寫出圖中矢量uvw的方向列陣。第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述4、動坐標系位姿的描述動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原點位置和坐標系各坐標軸方向的描述。該位姿矩陣為（

）的方陣。第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述5、剛體位姿的描述機器人的每一個連桿均可視為一個剛體，若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空中的姿態(tài)，則這個剛體在空間上是唯一確定的，可用唯一一個位姿矩陣進行描述。第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-2：下圖表示固連于剛體的坐標系{B}位于OB點，XB＝10，YB＝5，ZB＝0。ZB與畫面垂直，坐標系{B}相對固定坐標系{A}有一個30°的偏轉，試寫出表示剛體位姿的坐標系{B}的(4×4)矩陣表達式。第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.1工業(yè)機器人位姿描述6、手部位姿描述第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎手部的位置矢量為固定參考系原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。于是手部的位姿可用（4X4）矩陣表示為第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-3：下圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達該手部位姿的矩陣式。抓握物體Q的手部第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎7、目標物位姿的描述

下圖中的物體可以由{(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)}表示。如果該物體在基坐標系中先繞z軸旋轉90°，再繞y軸旋轉90°，再沿x軸平移4，求物體6個頂點的位置。xyzoo1xyzoo1x1y1z1xyzoo1z1y1x1xyzoo1x1z1y1第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎這個變換矩陣表示對原參考坐標系重合的坐標系進行旋轉和平移操作。

第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.2齊次變換及運算1、齊次坐標性質

三維空間中任一點P可以用直角坐標表示，也可以用不同時為零的4個數(shù)（x1，x2，x3，x4）來表示，稱為齊次方程。

齊次坐標與直角坐標的關系為：第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎齊次方程有以下性質：空間一點P的直角坐標是單值的，但對應的齊次坐標是多值的；即齊次坐標可以是

，其中a為非零值。x4為比例坐標，表示點P的各直角坐標值與對應的齊次坐標之間的比例關系，x4不為零時，齊次坐標才能確定三維空間中唯一的點。直角坐標原點的齊次坐標為（0，0，0，x4），x4=0時，是無意義的。齊次坐標（1，0，0，0）表示指向無窮遠的ox軸方向，同理（0，1，0，0）和（0，0，1，0）則表示指向無窮遠的oy，oz軸方向。第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎2、齊次坐標的矢量計算三維空間矢量為

,其中

－ox,oy,oz軸上的單位矢量矢量

的齊次坐標為[x,y,z,w]T,一般常取w=1。矢量的計算方法：(1)sa=s[a1,a2,a3,a4]T=[sa1,sa2,sa3,sa4]T,其中s為標量。(2)(3)(4)

其中（5）T第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎3.2齊次變換及運算3、平移的齊次變換點的平移變換第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎注:①算子左乘:表示點的平移是相對固定坐標系進行的坐標變換。②算子右乘:表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標變換。③

該公式亦適用于坐標系的平移變換、

物體的平移變換,如機器人手部的平移變換。

第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-4：有下面三種情況：動坐標系{A}相對于固定坐標系的X0、Y0、Z0軸作(-1，2，2)平移后到{A’}；動坐標系{A}相對于自身坐標系的X、Y、Z軸分別作(-1，2，2)平移后到{A”};物體Q相對于固定坐標系（2，6，0）平移后Q’。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎已知：寫出坐標系{A’}、{A’’}以及物體Q’的矩陣表達式。

第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎2、

旋轉的齊次變換第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎繞Z軸、X軸、Y軸旋轉的算子第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎如圖所示為點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉

角的情況。

分別是k矢量在固定參考坐標軸X，Y，Z上三個分量，且

。可以證明，其旋轉齊次變換矩陣為：注：①該式為一般旋轉齊次變換通式，概括了繞X，Y，Z軸進行旋轉變換的情況。反之，當給出某個旋轉變換矩陣，則可求得k及轉角。②變換算子公式不僅適用于點的旋轉，也適用于矢量、坐標系、物體的旋轉。③左乘是相對固定坐標系的變換，右乘是相對于動坐標的變換。第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎

例3-5已知坐標系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，求旋轉變換后所得的點W。第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-5：單臂操作手的手腕具有一個自由度。已知手部起始位姿矩陣為

若手臂繞Z0軸旋轉+90°，則手部到達G2；若手臂不動，僅手部繞手腕Z1

軸旋轉+90°，則手部到達G3，寫出手部坐標軸{G2}及{G3}的矩陣表達式。第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-6：已知坐標系中U的位置矢量U＝[7321]T,將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，W在作

的平移至點E，求變換后所得的點E。

平移加旋轉變換第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎絕對變換：如果所有的變換都是相對于固定坐標系中各坐標軸旋轉或平移，則依次左乘，稱為絕對變換。相對變換：如果動坐標系相對于自身坐標系的當前坐標軸旋轉或平移，則齊次變換為依次右乘，稱為相對變換。第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎例3-8:下圖(a)示出擺放在坐標系中的兩個相同的楔形物體。要求把它們重新擺放在圖(b)所示位置。用數(shù)字值給出兩個描述重新擺置的變換序列，每個變換表示沿某個軸平移或繞該軸旋轉。在重置過程中，必須避免兩楔形物體的碰撞。第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎習題:3.9解一第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Robotics數(shù)學基礎習題: