關(guān)于構(gòu)建數(shù)學(xué)建模模型的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

關(guān)于構(gòu)建數(shù)學(xué)建模模型的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

在很多場(chǎng)合，尤其是在每年的建模展覽上，我都會(huì)說(shuō)很多關(guān)于數(shù)學(xué)建模的理解和看法。每年的講稿雖看上去差不多,但都有一些必要的補(bǔ)充、修改及發(fā)揮,說(shuō)明我的認(rèn)識(shí)與看法也一直在不斷深化。這次,我想除了簡(jiǎn)單重復(fù)一下過(guò)去講過(guò)的認(rèn)識(shí)與看法外,更多地談一些最近的新認(rèn)識(shí),并結(jié)合自己的切身體會(huì),談在建模頒獎(jiǎng)儀式講話中因時(shí)間限制不可能充分展開(kāi)、因而沒(méi)有深入闡述的一些意見(jiàn)和建議,供大家參考,也希望得到大家的批評(píng)指正。1數(shù)學(xué)建模的基本涵義大家知道,數(shù)學(xué)是各門科學(xué)的重要基礎(chǔ),在自然科學(xué)、工程科學(xué)、人文科學(xué)及社會(huì)科學(xué)等方面均發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用,在很多場(chǎng)合起著舉足輕重、甚至是決定性的影響。數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合,已形成了一種普遍的、可以實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)———數(shù)學(xué)技術(shù),成為當(dāng)代高新技術(shù)的一個(gè)重要組成部分?！案咝录夹g(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的提法,已經(jīng)得到越來(lái)越多的認(rèn)同,不少重要科學(xué)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化趨勢(shì),也已呼之欲出或初見(jiàn)端倪。數(shù)學(xué)又是經(jīng)濟(jì)建設(shè)和技術(shù)進(jìn)步的重要工具,對(duì)加快我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)和增強(qiáng)綜合國(guó)力起著至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)更是人類文明的重要組成部分和堅(jiān)實(shí)支柱,數(shù)學(xué)教育對(duì)提高全民素質(zhì)、培養(yǎng)現(xiàn)代化建設(shè)所需要的各類人才有著舉足輕重的意義。正因?yàn)檫@樣,數(shù)學(xué)科學(xué)的重要性已得到廣泛的認(rèn)同?，F(xiàn)在,在大學(xué)本科中,數(shù)學(xué)類的專業(yè)已經(jīng)成了最熱門的專業(yè),也充分反映了這一點(diǎn)。但是,數(shù)學(xué)要走向應(yīng)用,真正顯示出它在各個(gè)領(lǐng)域、各種層次應(yīng)用中的關(guān)鍵性、決定性作用,顯示出它的強(qiáng)大生命力,必須設(shè)法在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)之間架設(shè)一個(gè)橋梁,首先要將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題化為一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析和計(jì)算,最后將所求得的解答回歸實(shí)際,看能不能有效地回答原先的實(shí)際問(wèn)題。這個(gè)全過(guò)程,特別是其中的第一步,就稱為數(shù)學(xué)建模,即為所考察的實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。這兒涉及到兩個(gè)既有區(qū)別、又有聯(lián)系的名詞和概念。一個(gè)是“數(shù)學(xué)模型”,其英文為mathematicalmodel,而另一個(gè)是“數(shù)學(xué)建?！?其英文為mathematicalmodeling。后者的modeling是一個(gè)動(dòng)名詞,強(qiáng)調(diào)的是“構(gòu)建”數(shù)學(xué)模型的過(guò)程與方法,而前者的model是一個(gè)名詞,表示的是構(gòu)建后所得到的數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)建?！边@兩個(gè)名詞在我國(guó)興起并被廣泛使用,不過(guò)是近卅年的事。從1982年起我國(guó)開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)建?！闭n程,1992年起舉辦每年一次的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,2000年起“StudyGroupwithIndustry”在我國(guó)定期舉辦,2002年起開(kāi)展“將數(shù)學(xué)建模的思想與方法融入數(shù)學(xué)類主干課程”的教改實(shí)踐,2012年《數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用》雜志創(chuàng)辦等等,均使以數(shù)學(xué)建模為核心的教學(xué)與研究活動(dòng)進(jìn)一步向縱深發(fā)展。所有這一切,構(gòu)成了這些年來(lái)在國(guó)內(nèi)歷時(shí)最長(zhǎng)、規(guī)模最大也最成功的數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)踐,得到了社會(huì)各界和廣大師生的廣泛認(rèn)可、熱情歡迎與大力支持。這樣看來(lái),數(shù)學(xué)模型的建立或者數(shù)學(xué)建模,似乎是一個(gè)新東西、新名詞,其實(shí)是古已有之的。公元前三世紀(jì)歐幾里得所寫的《幾何原本》,是一本公認(rèn)的數(shù)學(xué)經(jīng)典。這本書(shū)不是他的科研專著,書(shū)中那么多的幾何定理,不都是、而且恐怕絕大部分并不是他本人發(fā)明的。歐幾里得的貢獻(xiàn)是利用他提出的五個(gè)公設(shè)及五條公理,用嚴(yán)格演繹的方法,將古希臘時(shí)代積累下來(lái)的眾多幾何知識(shí)構(gòu)建出一個(gè)完整的體系,一座宏偉的幾何大廈。用現(xiàn)在的語(yǔ)言說(shuō),歐幾里得為現(xiàn)實(shí)世界的空間形式構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型十分有效,在它的基礎(chǔ)上發(fā)展了一整套的幾何學(xué),以及一整套以演繹推理為核心的數(shù)學(xué)研究方法,一直到今天都在發(fā)揮著巨大作用。從這個(gè)意義上說(shuō),歐幾里得應(yīng)該是歷史上久負(fù)盛名、功勛卓著的數(shù)學(xué)建模大師,是數(shù)學(xué)建模的祖師爺,而他為現(xiàn)實(shí)世界所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型———?dú)W幾里得幾何學(xué)則一直是數(shù)學(xué)科學(xué)中的瑰寶。除此之外,開(kāi)普勒根據(jù)第谷的大量天文觀測(cè)數(shù)據(jù)總結(jié)出來(lái)的行星運(yùn)動(dòng)三大規(guī)律,后經(jīng)牛頓利用與距離平方成反比的萬(wàn)有引力公式,從牛頓力學(xué)的原理出發(fā)給出了嚴(yán)格的證明,同樣是一個(gè)數(shù)學(xué)建模取得輝煌成功的例子。一些重要力學(xué)、物理學(xué)科的基本微分方程,諸如電動(dòng)力學(xué)中的Maxwell方程、流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程與Euler方程以及量子力學(xué)中的Schr9dinger方程等等,也無(wú)不都是抓住了該學(xué)科本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型,成為有關(guān)學(xué)科的核心內(nèi)容和基本理論框架。數(shù)學(xué)建模的重要性,由此可見(jiàn)一斑?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一笛卡爾一生致力于揭示一種科學(xué)探索的總方法。他認(rèn)識(shí)到,很多可解的科學(xué)難題之所以顯得無(wú)解,是由于表達(dá)它們的方式不恰當(dāng)。他認(rèn)為自己找到了解決任何有關(guān)數(shù)字和圖形難題的方法,花了很多功夫來(lái)演示如何將表面上與數(shù)字和圖形無(wú)關(guān)的問(wèn)題(例如物理中的問(wèn)題)轉(zhuǎn)換成數(shù)字和圖形問(wèn)題。如此轉(zhuǎn)換之后,問(wèn)題的形式就大為簡(jiǎn)化,各個(gè)量之間的關(guān)系就可以輕易地觀察出來(lái),計(jì)算也可以遵循機(jī)械的程式。他確信,任何問(wèn)題,無(wú)論其初始的表達(dá)方式如何粗疏,都可轉(zhuǎn)換成一個(gè)清晰的問(wèn)題,使得從已知到未知的道路像數(shù)學(xué)那樣一目了然。我們可以清晰地看到,笛卡爾所強(qiáng)調(diào)的,實(shí)際上就是數(shù)學(xué)建模的必要性和重要性,而且他是從一種普遍適用的方法論的角度來(lái)強(qiáng)調(diào)的。2數(shù)學(xué)的應(yīng)用:體驗(yàn)數(shù)學(xué)見(jiàn)表三數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)模型的作用與認(rèn)識(shí)應(yīng)該如何準(zhǔn)確定位?對(duì)這個(gè)問(wèn)題,我去年年底在長(zhǎng)沙召開(kāi)的數(shù)模競(jìng)賽頒獎(jiǎng)會(huì)上,曾經(jīng)概括地說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁,是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。同時(shí),數(shù)學(xué)建模還在相關(guān)的學(xué)科與應(yīng)用中占有關(guān)鍵性的地位和作用,現(xiàn)已成為發(fā)展現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要突破口和核心內(nèi)容。抓住了數(shù)學(xué)建模,就抓住了聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的最重要的紐帶,構(gòu)建了溝通數(shù)學(xué)與應(yīng)用的橋梁,為數(shù)學(xué)與應(yīng)用的有效結(jié)合建立了可靠的保證和基礎(chǔ),并為今后進(jìn)一步的發(fā)展,包括數(shù)學(xué)科學(xué)本身的發(fā)展,提供了無(wú)窮的契機(jī)并鋪平了廣闊的道路。數(shù)學(xué)建模不僅是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路,而且是啟迪數(shù)學(xué)心靈的必勝之途。學(xué)生通過(guò)參加數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐,親自參加將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際的嘗試,親歷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程,可以取得在課堂里和書(shū)本上無(wú)法獲得的寶貴經(jīng)驗(yàn)和親身感受,必能啟迪他們的數(shù)學(xué)心智,促使他們更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和熱愛(ài)數(shù)學(xué)。這樣做,不僅集知識(shí)、能力和素質(zhì)的培養(yǎng)與考察三位于一體,而且面向所有專業(yè)的大學(xué)生,得到愈來(lái)愈多同學(xué)的參與和歡迎,是對(duì)素質(zhì)教育的重要貢獻(xiàn),有力地促進(jìn)了創(chuàng)新型優(yōu)秀人才的培養(yǎng)?！鄙厦孢@兩段話,第一段說(shuō)的是數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科、特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要作用,第二段說(shuō)的是數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練在培養(yǎng)人才中的重要作用。這樣的說(shuō)法自然都是可以的,但總還是感到說(shuō)得沒(méi)有完全到位,有一句關(guān)鍵性的話似乎到了嘴邊而沒(méi)有完全說(shuō)出口來(lái)。但到底是哪一句話?自己也不完全清楚。最近南京的譯林出版社將1998年菲爾茲獎(jiǎng)得主、英國(guó)數(shù)學(xué)家高爾斯(T.Gowers)所著的科普著作《數(shù)學(xué)》作為牛津通識(shí)讀本之一翻譯出版,并要我寫了一個(gè)序。我利用這一機(jī)會(huì)仔細(xì)看了這本書(shū),發(fā)現(xiàn)書(shū)中有一節(jié)專講“何謂數(shù)學(xué)模型”,篇幅雖不大,但卻對(duì)我有很大的啟發(fā)。他認(rèn)為,數(shù)學(xué)所研究的并非是真正的現(xiàn)實(shí)世界,而只是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型,即所研究的那部分現(xiàn)實(shí)世界的一種虛構(gòu)和簡(jiǎn)化的版本。我們大家都熟悉恩格斯對(duì)數(shù)學(xué)的定義:數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。這是恩格斯從哲學(xué)角度對(duì)數(shù)學(xué)所作的一個(gè)概括、中肯也易于為公眾接受的說(shuō)法。從所研究的現(xiàn)實(shí)世界的那部分抽象出相應(yīng)的空間形式與數(shù)量關(guān)系,就形成了一個(gè)數(shù)學(xué)模型,構(gòu)成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。高爾斯認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型這一說(shuō)法,和恩格斯的說(shuō)法實(shí)際上是不謀而合的。但高爾斯明確點(diǎn)出了數(shù)學(xué)模型,猶如醍醐灌頂,使我一下子找到了那個(gè)呼之欲出的關(guān)鍵詞,也使人對(duì)數(shù)學(xué)建模重要性的認(rèn)識(shí)大大上升了一個(gè)層次。值得指出的是,說(shuō)這句話的人不是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)家,更不是一個(gè)以數(shù)學(xué)建模為主業(yè)的人,而是一個(gè)著名的純粹數(shù)學(xué)家。這就大大增加了這句話的分量,增加了它的客觀公正性,而不會(huì)被認(rèn)為是一些人自作多情、自吹自擂的炒作了。按高爾斯的說(shuō)法,數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型,即其從空間形式和數(shù)量關(guān)系角度的抽象。而一旦從現(xiàn)實(shí)世界中抽象、簡(jiǎn)化出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,就構(gòu)成了數(shù)學(xué)研究的對(duì)象,就要嚴(yán)格遵循數(shù)學(xué)研究的規(guī)定及規(guī)律,在一定程度上脫離了現(xiàn)實(shí)世界,甚至似乎變成了獨(dú)立的存在。這實(shí)際上是高爾斯這個(gè)純粹數(shù)學(xué)家所強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn),并為他這本書(shū)定了基調(diào)的。但不管怎樣,作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型根本上是來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的,并要接受現(xiàn)實(shí)世界無(wú)情而公正的檢驗(yàn),是深深植根于現(xiàn)實(shí)世界之中的。仔細(xì)想一下,整數(shù)、實(shí)數(shù),以及歐氏幾何、線性空間、群論、微積分、集合論,乃至混沌、分形等等,有哪一個(gè)不是某一方面的數(shù)學(xué)模型呢?!因此,數(shù)學(xué)模型不是數(shù)學(xué)中的一個(gè)細(xì)小的領(lǐng)域和分支,更不是左道旁門,而是數(shù)學(xué)的整個(gè)研究對(duì)象。至于數(shù)學(xué)建模,即構(gòu)造現(xiàn)實(shí)世界某部分的數(shù)學(xué)模型,就是為數(shù)學(xué)提供研究對(duì)象的基本步驟和原始出發(fā)點(diǎn)。按照這樣的理解,整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史就是不斷建立數(shù)學(xué)模型并對(duì)其研究逐步深化的歷史。各種不同類型、不同層次的大大小小的數(shù)學(xué)模型及對(duì)其相應(yīng)的研究,構(gòu)成了洋洋大觀的局面,這就是我們現(xiàn)在所面對(duì)的數(shù)學(xué)科學(xué)。從這樣的認(rèn)識(shí)出發(fā),數(shù)學(xué)模型就堂堂正正地進(jìn)入了數(shù)學(xué)科學(xué)的大殿,成了數(shù)學(xué)科學(xué)研究的主體,而數(shù)學(xué)建模就成了聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的重要橋梁,是從現(xiàn)實(shí)世界走向數(shù)學(xué),并從數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路,在數(shù)學(xué)科學(xué)中占有關(guān)鍵性的地位和作用,其重要性是顯而易見(jiàn)的。從事數(shù)學(xué)建模的同志,打一個(gè)通俗的比喻,好比在構(gòu)建一個(gè)房屋。一旦這個(gè)房屋初具規(guī)模,就成了一個(gè)數(shù)學(xué)模型,以后的應(yīng)用數(shù)學(xué)家及純粹數(shù)學(xué)家們所做的工作,就是在此基礎(chǔ)上對(duì)這個(gè)建筑進(jìn)行內(nèi)部整理與裝修。這些應(yīng)用數(shù)學(xué)甚至純粹數(shù)學(xué)的內(nèi)容,可以到達(dá)花團(tuán)錦簇、美輪美奐的程度,但最初的一步都是建模,都是在數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)上加以發(fā)揮和深化的。因此,我們搞數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究的同志,一定不要妄自菲薄,不要自認(rèn)為不登大雅之堂、在數(shù)學(xué)學(xué)科中是被邊緣化的群落,更不要錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的工作只是為水平低、能力差的人提供的一個(gè)飯碗。搞數(shù)學(xué)建模是給宏偉的數(shù)學(xué)大廈奠基、搭架,為整個(gè)后繼的數(shù)學(xué)研究工作開(kāi)辟道路,意義重大。大家一定要嚴(yán)格要求,銳意進(jìn)取,理直氣壯地努力,做出與數(shù)學(xué)建模的重要地位相稱的出色成績(jī)來(lái)。3彈性力學(xué)方向的材料、結(jié)構(gòu)的研究是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,單如前所說(shuō),數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)近似的反映,而近似是有不同要求與層次的,有好與壞、精細(xì)與粗糙等等的分別,更有人們關(guān)注的不同的側(cè)重面。這就決定了對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的同一件事,其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型不可能是唯一的,不可以一錘定終身。相反,對(duì)于一種給定的情形可以有多種方法將其建模,即有側(cè)重面各不相同的、不同層次的多種數(shù)學(xué)模型;在實(shí)際應(yīng)用中,人們就可以根據(jù)需要選用適當(dāng)?shù)?、乃至最?yōu)的模型。不了解這一點(diǎn),認(rèn)為同一現(xiàn)象只能有一個(gè)數(shù)學(xué)模型,并將那種最簡(jiǎn)單的模型作為其唯一的范本,像小學(xué)生那樣對(duì)號(hào)入座地應(yīng)用,是不能理解數(shù)學(xué)模型的奧妙和精髓,也不能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的威力的。先舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一情況?？疾煲粋€(gè)機(jī)器或建筑的強(qiáng)度,在應(yīng)用上是十分重要的課題。如果器件的形狀及受力狀況比較簡(jiǎn)單,用材料力學(xué)就可以對(duì)付過(guò)去,最多只用到一點(diǎn)常微分方程就可以了,過(guò)去工程上就常常用這樣的方法。但是,如果器件的形狀以及受力的狀況比較復(fù)雜,這樣做就不能保證精度,特別是一些關(guān)鍵部位的精度。這時(shí),基于材料力學(xué)原理所建立的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型就必須讓位于由彈性力學(xué)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型。雖然求解由彈性力學(xué)方程組所描述的偏微分方程的模型精度提高了,但問(wèn)題的求解也變得復(fù)雜起來(lái)。一開(kāi)始,還只能算一些簡(jiǎn)單的情況,后來(lái)有了電子計(jì)算機(jī),并出現(xiàn)了有限元素法,再?gòu)?fù)雜的情況也可以方便地求解,后來(lái)更有了商用的標(biāo)準(zhǔn)軟件,求解有關(guān)的問(wèn)題就不再有任何技術(shù)上的難度了。我當(dāng)年曾親眼目睹并親身參與了這一發(fā)展的過(guò)程,感受特別深刻。20世紀(jì)70年代初,有限元素法剛剛引入我們國(guó)家,在數(shù)學(xué)技術(shù)上是一個(gè)突破,一段時(shí)間中真正是如魚(yú)得水,非常紅火,培訓(xùn)班此起彼伏,培訓(xùn)任務(wù)應(yīng)接不暇,真有“學(xué)會(huì)有限元,走遍天下都不怕”的感覺(jué)。但隨著該方法的迅速普及,特別是商業(yè)通用軟件的出現(xiàn),又迅速走向低潮,無(wú)人問(wèn)津了。這充分說(shuō)明,一個(gè)成熟的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的半衰期是很短的,搞數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用的同志,如果死抱住一個(gè)模型或方法不放,不與時(shí)俱進(jìn),不向問(wèn)題的深度及廣度進(jìn)軍,必然會(huì)被淘汰,是沒(méi)有前途的。這樣一來(lái),搞強(qiáng)度計(jì)算的人是不是注定要失業(yè),沒(méi)有飯吃了呢?當(dāng)然不是。世界發(fā)展無(wú)止境,認(rèn)識(shí)也無(wú)止境,在現(xiàn)實(shí)世界中總會(huì)不斷提出新的問(wèn)題,推動(dòng)人們進(jìn)一步研究。彈性力學(xué)的框架,假設(shè)物體受力作用后會(huì)變形,而在作用力卸載后又會(huì)恢復(fù)到原先的形狀,同時(shí)假設(shè)應(yīng)力與應(yīng)變成正比。這使彈性力學(xué)所反映的是一種線性關(guān)系,使彈性力學(xué)方程組是一個(gè)線性的偏微分方程組。它雖然看起來(lái)復(fù)雜,但還是容易討論與求解的,且也有了相當(dāng)完整的理論和求解方法。但是,如果面對(duì)的是一種非線性材料,或者物體的變形相當(dāng)大,彈性力學(xué)中應(yīng)力與應(yīng)變的線性關(guān)系要由相應(yīng)的非線性關(guān)系來(lái)代替,人們就要由線性彈性力學(xué)轉(zhuǎn)向非線性彈性力學(xué),要求解的偏微分方程就變成非線性的了。對(duì)這種非線性彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)模型,在數(shù)學(xué)理論及計(jì)算方法方面加以深入的研究,現(xiàn)在也還是一個(gè)方興未艾的領(lǐng)域。進(jìn)一步,在研究彈性體的變形時(shí),有時(shí)還往往要同時(shí)考慮溫度的影響,就要建立相應(yīng)的熱彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型。這時(shí),還要將線性或非線性彈性力學(xué)方程組與溫度所滿足的熱傳導(dǎo)方程耦合在一起進(jìn)行研究,問(wèn)題就變得格外復(fù)雜了。不僅如此,考慮到材料具有記憶功能的粘彈性力學(xué)方程組,考慮到物體受力變形、在力卸載后不會(huì)完全恢復(fù)到原來(lái)的形狀所要研究的塑性力學(xué)……等等,都是材料強(qiáng)度研究及新材料研制中一直要考慮的問(wèn)題。問(wèn)題一步步深化,難度一步步提高,數(shù)學(xué)建模的任務(wù)也越來(lái)越繁重,這是一個(gè)永無(wú)休止的過(guò)程。這充分地說(shuō)明,同一個(gè)物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建?？倳?huì)呈現(xiàn)與時(shí)俱進(jìn)、生動(dòng)活潑的狀態(tài),隨著精度要求的提高,隨著情況的變化,會(huì)出現(xiàn)不斷深入、不斷提高的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。數(shù)學(xué)建模工作者決不能使自己的認(rèn)識(shí)停留在一個(gè)特定的位置上,抱殘守缺,止步不前,而應(yīng)該順應(yīng)數(shù)學(xué)建模生動(dòng)、進(jìn)取、不斷深入的特點(diǎn),不斷加深自己的認(rèn)識(shí),提高自己的水平。只有這樣,才能深切地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模生氣蓬勃的創(chuàng)新精神和推動(dòng)力量,才能深切感受到數(shù)學(xué)建模的生命力,才能真正提升自己的境界,理解數(shù)學(xué)建模的精髓。從這個(gè)意義上看,我一直覺(jué)得我們現(xiàn)在從事數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究的同志們的專業(yè)提高方向是有值得商榷之處的。大家的著力點(diǎn),不能僅僅滿足于收集和整理各種各樣建模的實(shí)例,面面俱到,再分門別類地編出教材或培訓(xùn)讀物,搞一個(gè)數(shù)學(xué)建模100例之類的材料。當(dāng)然,從對(duì)學(xué)生培訓(xùn)的角度看,這還是有其必要的,也已經(jīng)起了積極的作用,但只能算是初級(jí)階段的成績(jī)和做法,是有待深化和發(fā)展的。首先,那兒所列出的數(shù)學(xué)模型基本上都是在做了相當(dāng)多的假設(shè)之下的最最基本而簡(jiǎn)化了的模型,其適用程度是有很大限制的。而這些模型的局限性,它應(yīng)該向哪些方向深化和發(fā)展,才能更有效地反映相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)世界?其進(jìn)一步的挑戰(zhàn)與機(jī)遇在哪里?這些往往都略而不提,最多也只是一筆帶過(guò)。這會(huì)使學(xué)生誤以為這就是終極的真理,將一個(gè)個(gè)這些建模的知識(shí)像學(xué)習(xí)其他課程一樣生吞活剝地接受下來(lái),而很少可能親身體會(huì)建模的曲折、艱辛、趣味和意境。如果將建模比喻成建房子,這樣訓(xùn)練出來(lái)的學(xué)生只會(huì)造各種各樣的茅草屋,而不會(huì)造一些堅(jiān)實(shí)的建筑,更不會(huì)建高樓大廈,甚至也沒(méi)有任何高樓大廈的概念。這是很不理想的,和數(shù)學(xué)建模課的初衷也大相徑庭。其實(shí),數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練,數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),不是靠知識(shí)的灌輸,不是靠這樣的100例堆積起來(lái)的,而更多地應(yīng)該是靠深入的體驗(yàn),靠舉一反三的觸類旁通和感悟來(lái)實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)選擇一個(gè)有意義的模型,由簡(jiǎn)單到復(fù)雜,展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的逐步深入和發(fā)展的過(guò)程,學(xué)生才能真正學(xué)到數(shù)學(xué)建模的方法,真正領(lǐng)悟到建模的豐富內(nèi)涵和無(wú)限的發(fā)展生機(jī),感受到數(shù)學(xué)建模的威力和魅力,起到一通百通的效果。對(duì)其他一些建模的案例,雖然沒(méi)有講得那么細(xì)致,學(xué)生也可以很容易地把握其內(nèi)涵,對(duì)建模有一個(gè)恰如其分的認(rèn)識(shí)和理解。因此,數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練,數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐,著重點(diǎn)不在廣度,而在于深度;不在于面面俱到、廣為收集,從100例變?yōu)?00例甚至300例,而在于有選擇地抓住適當(dāng)?shù)闹黝}向深處進(jìn)軍,從不同的層面上充分展示數(shù)學(xué)建模的風(fēng)采,引領(lǐng)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展,占領(lǐng)數(shù)學(xué)建模的制高點(diǎn),并為其他方面的數(shù)學(xué)建模提供參考和借鑒。這樣做,數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐就不僅是一種教學(xué),而且是一種科研;就不僅是一種僅僅傳授知識(shí)的教學(xué),而且會(huì)對(duì)學(xué)生知識(shí)、能力及素質(zhì)的培養(yǎng)真正帶來(lái)巨大的促進(jìn),說(shuō)數(shù)學(xué)建模對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的推動(dòng)作用,就會(huì)更加明確,也更加理直氣壯了。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模要不斷深入,向深度進(jìn)軍,就不能認(rèn)為現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型,包括那些已經(jīng)行之有效、目前可能有口皆碑的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)是最終的模型,已經(jīng)到了十全十美的境地,可以永遠(yuǎn)畫(huà)上句號(hào)了。這是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)顯著的特點(diǎn),是數(shù)學(xué)建模永遠(yuǎn)生氣蓬勃的標(biāo)志,是搞數(shù)學(xué)建模的老師和學(xué)生應(yīng)該樹(shù)立的堅(jiān)定的信念,也是大家應(yīng)該永不停步,堅(jiān)持奮斗的動(dòng)力。近幾年,我們鼓勵(lì)在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽后進(jìn)行后續(xù)研究,也是基于這樣的考慮。這方面目前的反應(yīng)不是很熱烈,說(shuō)明大家的認(rèn)識(shí)并沒(méi)有得到很好的統(tǒng)一,也說(shuō)明大家的興奮點(diǎn)還是更多地停留在“得不得獎(jiǎng)”這樣一些淺表而功利的目標(biāo)上。為了推動(dòng)這一后續(xù)研究工作,我在上次頒獎(jiǎng)儀式的發(fā)言中專門加了一大堆話。當(dāng)時(shí)我是這么說(shuō)的:“數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的時(shí)間只有三天,要求參賽隊(duì)在這一段時(shí)間中將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題解決到盡善盡美的程度是不切實(shí)際的。每個(gè)成功的參賽隊(duì),都有其獨(dú)特的視角和成功的表現(xiàn),但也一定會(huì)留下不少缺憾,甚至還有一些更好的想法因時(shí)間關(guān)系來(lái)不及實(shí)施。這一點(diǎn),即使得到高教社杯的隊(duì)也不可能例外。如果認(rèn)為自己的解答已經(jīng)天衣無(wú)縫、十全十美了,對(duì)這種用“程咬金的三斧頭”在短期內(nèi)提供的答案心滿意足,那就是一種認(rèn)識(shí)上的局限性,反映了在學(xué)術(shù)上缺乏高超的境界和進(jìn)一步的追求,也反映了對(duì)從事科研、探索未知的艱苦性與長(zhǎng)期性缺乏足夠的心理準(zhǔn)備,今后就很難走得更遠(yuǎn)。為了將數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐進(jìn)一步引向深入,全國(guó)組委會(huì)近年來(lái)設(shè)定了一些賽后繼續(xù)研究的課題,希望各個(gè)賽區(qū)充分利用這一個(gè)條件,促進(jìn)廣大師生積極參與賽后的繼續(xù)研究,進(jìn)一步充實(shí)、提高自己。在今后的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中,是否可明確要求每個(gè)參賽隊(duì)都必須寫出有哪些不足之處及今后可以深入研究的設(shè)想和打算,并將這一內(nèi)容作為評(píng)選的一項(xiàng)重要的標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)一步檢測(cè)我們參賽隊(duì)的境界和水平?！边@段話是說(shuō)給參賽的同學(xué)們聽(tīng)的,有了我前面的這一大段發(fā)言,它的意思應(yīng)該更加清楚了吧!4結(jié)語(yǔ):全面認(rèn)識(shí)參與問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的必要性前面說(shuō)到數(shù)學(xué)建模如果注意向縱深發(fā)展,就不僅是一種教學(xué),而且是一種科研。從單純橫向地收集各種案例,到有選擇性地縱向深入,跨出了這一步,就應(yīng)該進(jìn)入了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的范圍。我們國(guó)家自2005年起,在國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)(NationalNaturalScienceFoundationofChina)的支持和推動(dòng)下,大力提倡“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”,鼓勵(lì)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家與青年才俊直面國(guó)民經(jīng)濟(jì)、高新技術(shù)及其他科學(xué)領(lǐng)域中的現(xiàn)實(shí)需求,積極投身相關(guān)應(yīng)用項(xiàng)目的研究。這種以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)而不是以論文驅(qū)動(dòng)的研究方式,是工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志和特有優(yōu)勢(shì),其核心是緊密結(jié)合與服務(wù)于實(shí)際的需要,突出對(duì)數(shù)學(xué)建模及算法的重視與創(chuàng)新,并在此基礎(chǔ)上在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面做出獨(dú)創(chuàng)的貢獻(xiàn)。這樣做,相信不僅會(huì)極大地推進(jìn)數(shù)學(xué)與工業(yè)之間的密切結(jié)合,而且會(huì)別開(kāi)生面地推動(dòng)數(shù)學(xué)概念、方法及理論的原始創(chuàng)新,有助于在數(shù)學(xué)與工業(yè)之間架設(shè)橋梁,也有助于跨學(xué)科、復(fù)合型人才的培養(yǎng)。我國(guó)的工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者現(xiàn)在已愈來(lái)愈認(rèn)識(shí)到開(kāi)展問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的重要性,開(kāi)始自覺(jué)地轉(zhuǎn)移自己的研究模式。而一些有遠(yuǎn)見(jiàn)的企業(yè)更明確提出了算法是它們的核心競(jìng)爭(zhēng)力,從企業(yè)的角度回應(yīng)和支持了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究模式。在統(tǒng)一認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,中國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)已先后推出了支持問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的一系列項(xiàng)目,包括1項(xiàng)重大研究計(jì)劃、2項(xiàng)重大項(xiàng)目、21項(xiàng)重點(diǎn)項(xiàng)目及一批面上項(xiàng)目,總金額近2.5億元人民幣,有力地推動(dòng)了這一研究,已形成了一定的聲勢(shì)和規(guī)模,并相信能持之以恒、蔚然成風(fēng)。最近,天津市已決定籌建天津應(yīng)用數(shù)學(xué)中心,這無(wú)疑將會(huì)是對(duì)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的一個(gè)有力的推動(dòng)與促進(jìn)。應(yīng)該指出,現(xiàn)在大力提倡與推動(dòng)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,并不是心血來(lái)潮的產(chǎn)物,而是有著深刻的原因和依據(jù)的。一方面,今天的應(yīng)用數(shù)學(xué)正處于迅速?gòu)膫鹘y(tǒng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)入現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的階段,一個(gè)突出的標(biāo)志是數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍空前擴(kuò)展,從傳統(tǒng)的力學(xué)、物理等領(lǐng)域拓展到化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)、金融、信息、材料、環(huán)境、能源……等各個(gè)學(xué)科及種種高科技甚至社會(huì)領(lǐng)域。由于很多新領(lǐng)域的規(guī)律還在探索之中,有關(guān)的數(shù)學(xué)建模不僅并非輕而易舉,而且具有實(shí)質(zhì)性的困難,至今仍是我們面臨的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。因此,數(shù)學(xué)建模不僅進(jìn)一步凸顯了它的重要性,而且已成為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,并為應(yīng)用數(shù)學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展提供了進(jìn)一步的機(jī)遇和無(wú)限的生機(jī)?；仡櫼幌露?zhàn)期間,由于高速飛行、核彈設(shè)計(jì)、火炮控制、物資調(diào)運(yùn)、密碼破譯及軍事運(yùn)籌等方面迫切需要的有力推動(dòng),數(shù)學(xué)不僅在其中發(fā)揮了重大的作用,而且?guī)?dòng)了一批新的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科(控制論、運(yùn)籌學(xué)、對(duì)策論、密碼學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)等)的迅速興起?，F(xiàn)在,我們面臨的是綜合國(guó)力競(jìng)爭(zhēng)這一場(chǎng)新的“戰(zhàn)爭(zhēng)”,其對(duì)科技發(fā)展的需要實(shí)際上更為深入和迫切。在這新一輪的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)面前,我們有理由相信,新的數(shù)學(xué)概念、思想和方法,甚至新的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支將可能應(yīng)運(yùn)而生,富有活力的原始創(chuàng)新也將由此發(fā)源。只有抓住這樣的挑戰(zhàn)和機(jī)遇,我們才能抓住現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的主流和脈搏,才能在這些新穎而豐富多彩的客觀需要的推動(dòng)下,迎來(lái)我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)的一次跨越式的大發(fā)展。另一方面,從我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)隊(duì)伍的實(shí)際狀況來(lái)看,有相當(dāng)一些人打的雖是應(yīng)用數(shù)學(xué)的旗號(hào),但和應(yīng)用基本不搭界,對(duì)問(wèn)題的模型及來(lái)龍去脈也不甚了解,對(duì)新興而豐富多彩的應(yīng)用需求視而無(wú)睹,主要還是靠文獻(xiàn)驅(qū)動(dòng)從事一些第二手的研究,做的大多只能是二流、三流甚至不入流的工作。其結(jié)果必然會(huì)割斷數(shù)學(xué)與實(shí)際生活、與外部世界的生動(dòng)活潑的血肉聯(lián)系,大大限制了數(shù)學(xué)對(duì)科技發(fā)展、經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會(huì)進(jìn)步所能發(fā)揮的作用,大大抑制了原創(chuàng)性數(shù)學(xué)概念、方法和理論產(chǎn)生的源頭,也造成了我國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)與發(fā)達(dá)國(guó)家之間的明顯差距,這已成為目前我國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要的瓶頸。這樣看來(lái),強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”應(yīng)該是迫在眉睫。從事數(shù)學(xué)建模的工作者,不要抱怨說(shuō)沒(méi)有研究方向和課題,不要捧著金飯碗討飯。只要你對(duì)經(jīng)過(guò)選擇的數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵著意向縱深方面發(fā)展,無(wú)論是數(shù)學(xué)建模本身,還是對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論分析或提供算法,都會(huì)愈來(lái)愈走向高級(jí)的程度和深入的境界,都會(huì)愈來(lái)愈顯示出自己的創(chuàng)新能力和貢獻(xiàn)。這是一種有意義的科學(xué)研究,而且是貨真價(jià)實(shí)的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。如果在這個(gè)過(guò)程中,能有意識(shí)地創(chuàng)造條件和有關(guān)應(yīng)用部門的同志們聯(lián)手,建立起比較經(jīng)常、可靠而且穩(wěn)定的協(xié)作關(guān)系,更可以得到來(lái)自實(shí)際需求的推動(dòng),將研究工作不斷引向深入,并可望將研究成果在實(shí)際中得到應(yīng)用,并經(jīng)受考驗(yàn),從而轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)力,為國(guó)民經(jīng)濟(jì)和科技發(fā)展做出貢獻(xiàn)。從這個(gè)意義上說(shuō),從事數(shù)學(xué)建模的工作者無(wú)疑最貼近問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)這一研究模式,也一定能通過(guò)堅(jiān)持不懈的努力,對(duì)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究做出突出的貢獻(xiàn),同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐與競(jìng)賽也會(huì)做出更大的貢獻(xiàn)。我在上次的頒獎(jiǎng)會(huì)說(shuō):希望我們現(xiàn)有的一大批熱心從事數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽工作的教師,包括全國(guó)組委會(huì)及專家組的成員,以積極從事數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為契機(jī),挑選適當(dāng)?shù)闹黝}深入鉆研,為我國(guó)發(fā)展問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究努力做出自己的貢獻(xiàn),為進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的質(zhì)量注入新的生機(jī)和活力。這一番話,我的確是有感而發(fā),不是隨口說(shuō)說(shuō)的。我希望并相信,參加數(shù)學(xué)建模實(shí)踐及競(jìng)賽的廣大老師和同學(xué),應(yīng)該積極投入到問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中,并努力成為開(kāi)展問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的生力軍,甚至是主力軍。真正做到了這一點(diǎn),我們國(guó)家在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究方面一定會(huì)出現(xiàn)一個(gè)嶄新的面貌,而數(shù)學(xué)建模的教學(xué)、科研與競(jìng)賽,也必然會(huì)更上層樓,在本質(zhì)上提高到一個(gè)新的水平。5從數(shù)學(xué)模型的對(duì)象看數(shù)學(xué)對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型的好壞,應(yīng)該有判別的規(guī)則。這樣做,難免仁者見(jiàn)仁,智者見(jiàn)智,也可能會(huì)提出好多條不同的標(biāo)準(zhǔn)。這兒,我只想從兩個(gè)方面簡(jiǎn)單歸納一下我自己的看法。首先,從數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是相應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界的近似反映這個(gè)角度看。一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)該能充分體現(xiàn)所反映的現(xiàn)實(shí)世界的特點(diǎn),這是反映現(xiàn)實(shí)世界某一方面的數(shù)學(xué)模型不同于反映現(xiàn)實(shí)世界另一方面的數(shù)學(xué)模型的最根本的依據(jù)。將這一特點(diǎn)充分體現(xiàn)出來(lái),相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也就有了自己的特點(diǎn)或特色,才能很好地反映那一部分現(xiàn)實(shí)世界,也才可能提出有獨(dú)特要求的數(shù)學(xué)研究任務(wù)。當(dāng)然,說(shuō)很好地反映相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)世界,不是靠自己主觀的愿望,更不是靠個(gè)人武斷的結(jié)論,而歸根結(jié)底要靠實(shí)踐的檢驗(yàn)。建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型以后,如果經(jīng)過(guò)分析與計(jì)算,所導(dǎo)致的結(jié)論在定性或者定量方面和實(shí)際情況還有很大的差距,那就還要回過(guò)頭來(lái)修正原先建立的數(shù)學(xué)模型,一直到取得比較滿意的結(jié)果為止。只有最后經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)為有效的數(shù)學(xué)模型,才能算是成功的數(shù)學(xué)模型。因此,數(shù)學(xué)建模不僅要顧“頭”,而且要顧“尾”,要照顧到全過(guò)程。一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的建立,通常不可能一蹴而就,而是要經(jīng)過(guò)反復(fù)的試驗(yàn)與迭代,才能夠形成。從應(yīng)用的觀點(diǎn)看,最后的效果能不能符合實(shí)際的情況和需求,能不能對(duì)有關(guān)的實(shí)踐提出積極而有效的建議,是判定一個(gè)數(shù)學(xué)模型好壞的最終的標(biāo)準(zhǔn)。接下來(lái),我們換一個(gè)角度,從數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象這一個(gè)角度來(lái)看。既然數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象,它就要符合數(shù)學(xué)上的規(guī)矩及特點(diǎn)。首先,它在數(shù)學(xué)上應(yīng)該是自洽、相容、沒(méi)有矛盾的。對(duì)于一個(gè)用偏微分方程描述的數(shù)學(xué)模型,由它所提供并希望求解的問(wèn)題(稱為定解問(wèn)題),通常要求其解應(yīng)該是存在的、唯一的,而且要經(jīng)得起小的擾動(dòng),即具有存在性、唯一性及穩(wěn)定性。這三者合起來(lái)稱為適定性,其英文為wellposedness,就是說(shuō)是一個(gè)提得好的問(wèn)題。否則,在數(shù)學(xué)上就顯得不合理,而相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型就存在這樣或那樣的問(wèn)題了。這就是一個(gè)重要的原則:所建立的數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)上看應(yīng)該是一個(gè)好的合理的模型,否則就沒(méi)有資格成為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象,也就不可能對(duì)它進(jìn)行研究了。如果所建立的數(shù)學(xué)模型能夠?qū)е滦碌臄?shù)學(xué)思想、新的數(shù)學(xué)概念、新的數(shù)學(xué)方法或新的數(shù)學(xué)理論,能夠促進(jìn)原則性的數(shù)學(xué)研究工作,那就格外值得看重了。此外,建立了數(shù)學(xué)模型,通常不僅要對(duì)其進(jìn)行定性方面的研究,更要達(dá)到“胸中有數(shù)”,要對(duì)其進(jìn)行定量方面的研究,即求出它的解。這就要求這個(gè)模型應(yīng)該是可以計(jì)算的,而且是可以方便地進(jìn)行計(jì)算的。這就提出了又一個(gè)重要的原則:所建立的數(shù)學(xué)模型從計(jì)算的角度看應(yīng)該是一個(gè)好的模型。一個(gè)模型盡管單純從數(shù)學(xué)的角度看是合適的,但如果不方便計(jì)算或無(wú)法控制實(shí)際計(jì)算時(shí)出現(xiàn)的誤差,就還要從減低計(jì)算復(fù)雜性或計(jì)算誤差的角度,對(duì)其進(jìn)行化約或改造,而提出新的數(shù)學(xué)模型。這樣做,有時(shí)會(huì)導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生,其意義不可低估。在對(duì)多尺度現(xiàn)象的研究中,為了將一個(gè)多尺度的模型近似地簡(jiǎn)化為一個(gè)單尺度的模型,促成了均勻化理論與方法的提出與發(fā)展,就是一個(gè)突出的例子。近年來(lái)更出現(xiàn)了可計(jì)算數(shù)學(xué)建模這一提法,這是著重關(guān)心科學(xué)計(jì)算的同志們提出來(lái)的,而且國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)還建立了一個(gè)重大研究計(jì)劃,對(duì)此專門進(jìn)行研究。當(dāng)然,這兩個(gè)重要的原則,應(yīng)該是一個(gè)與時(shí)俱進(jìn)的標(biāo)準(zhǔn),在具體判別時(shí),要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)科學(xué)和計(jì)算科學(xué)當(dāng)時(shí)的發(fā)展程度,并不是一成不變的。偏微分方程模型通常強(qiáng)調(diào)的適定性要求固然非常重要,一直是一個(gè)重要的判別標(biāo)準(zhǔn),但是不適定的問(wèn)題,特別是以不適定性為特征的反問(wèn)題,近年來(lái)的研究已轟轟烈烈地開(kāi)展起來(lái),就是一個(gè)明顯的例子。至于計(jì)算的能力及效率,更密切依賴于科學(xué)技術(shù)和計(jì)算工具的進(jìn)步以及計(jì)算科學(xué)的發(fā)展。我這兒只舉一個(gè)例子。歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家,在他眾多的卓越貢獻(xiàn)中,有一個(gè)重要的貢獻(xiàn)就是他基于質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒原理,建立了流體力學(xué)的方程組。這是一個(gè)用非線性偏微分方程組描述流體力學(xué)的數(shù)學(xué)模型,即流體力學(xué)的基本方程組。這個(gè)方程組一直都在發(fā)揮重要的作用,現(xiàn)在的流體力學(xué)教科書(shū)上所寫的也還是歐拉當(dāng)年的方程組,并通稱為歐拉方程組。這個(gè)數(shù)學(xué)模型是由一些非線性偏微分方程所耦合起來(lái)的復(fù)雜的方程組,在歐拉所處的18世紀(jì),對(duì)偏微分方程的研究才剛剛起步,求解偏微分方程的能力也很低,更沒(méi)有電子計(jì)算機(jī)這樣的先進(jìn)計(jì)算工具,因此不僅重要的定性研究無(wú)法進(jìn)行,而且定量的計(jì)算也是不可設(shè)想的。由此可以說(shuō),歐拉的這一工作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所處的時(shí)代,是真正的創(chuàng)新。在當(dāng)時(shí),這一數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)上是否是一個(gè)自洽的、合適的模型應(yīng)該說(shuō)是還不清楚的,更談不上是一個(gè)可計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。但是到了現(xiàn)代,有了偏微分方程和計(jì)算方法方面的長(zhǎng)足發(fā)展,有了計(jì)算機(jī)的飛速進(jìn)步,歐拉方程組的計(jì)算已經(jīng)不成問(wèn)題,且已被用于很多高科技領(lǐng)域,同時(shí)有關(guān)歐拉方程組的適定性方面的研究雖還一直方興未艾,但已有了很多深入的成果了。這就是說(shuō),歐拉為流體力學(xué)所建立的偏微分方程的數(shù)學(xué)模型,不僅已公認(rèn)是一個(gè)數(shù)學(xué)上合適的模型,而且在當(dāng)代還是一個(gè)可計(jì)算的數(shù)學(xué)模型。我們對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)和評(píng)判,因而必然是一個(gè)與時(shí)俱進(jìn)的過(guò)程;我們對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)、實(shí)踐與研究,也應(yīng)該不斷深化,決不能停留在一點(diǎn)上,這又回到我在前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)的內(nèi)容了。從數(shù)學(xué)的角度看待一個(gè)數(shù)學(xué)模型的好壞,還應(yīng)該有一個(gè)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)。在數(shù)學(xué)上,天衣無(wú)縫是一種美,簡(jiǎn)潔明了也是一種美。究竟什么是美呢?蘿卜青菜,各有所愛(ài),對(duì)美的看法和感受各人是不同的,也不必強(qiáng)求一律。我這兒只想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)。對(duì)客觀世界中的同一件事物,可能有種種不同的數(shù)學(xué)模型,如果根據(jù)實(shí)際應(yīng)用的需要,要你選擇一個(gè)最好的,那時(shí)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)就可能發(fā)揮作用了。我的看法是:在符合實(shí)際需要的前提下,最簡(jiǎn)單明了的那一個(gè)模型就是最好的一個(gè)。道理很簡(jiǎn)單。利用數(shù)學(xué)模型來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界,目的是為了說(shuō)明或改造現(xiàn)實(shí)世界,如果能夠刺刀見(jiàn)紅,一下子直奔主題,又何樂(lè)而不為呢?!我的老師、著名數(shù)學(xué)家陳建功教授在給我們上課時(shí)曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“最簡(jiǎn)單的證明,就是最好的證明?！蔽沂前堰@句話作為一種美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)接受下來(lái)的,并且成了我在數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中的一個(gè)座右銘。我覺(jué)得,這個(gè)原則,也適用于對(duì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)劣的判斷。首先,符合實(shí)際需要是一個(gè)大的前提,決不能隨心所欲、為簡(jiǎn)化而簡(jiǎn)化,決不能為了便于處理,做那種大刀闊斧、面目全非的簡(jiǎn)化,建立一些與現(xiàn)實(shí)世界風(fēng)馬牛不相及的“數(shù)學(xué)模型”。一切應(yīng)該從實(shí)際出發(fā),能簡(jiǎn)單時(shí)就簡(jiǎn)單,該復(fù)雜時(shí)就復(fù)雜,不能有主觀隨意性。其次,在建模時(shí)要注意抓主要矛盾,不要為復(fù)雜而復(fù)雜,更不能故弄玄虛、畫(huà)蛇添足,自己給自己添麻煩。為現(xiàn)實(shí)世界做近似建立數(shù)學(xué)模型,不能胡子眉毛一把抓,要抓住那些起關(guān)鍵作用的因素,而排除那些次要因素,才能建立起切中要害的數(shù)學(xué)模型,并發(fā)揮重要作用。主次不分、以次充好,不僅會(huì)增加難度,而且會(huì)影響精度,是很不合算的。如果把一些次要因素增加進(jìn)來(lái),人為地使問(wèn)題復(fù)雜化,還認(rèn)為是自己的創(chuàng)新或發(fā)明,甚至自吹自擂,那就更可笑了。再次,看一個(gè)模型的好壞,不能只看所采用的數(shù)學(xué)工具,認(rèn)為用了高深工具的就好,用了常規(guī)武器的就不好。其實(shí),一個(gè)模型如果能用比較簡(jiǎn)單的工具干凈利落地解決問(wèn)題,能對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供可靠而有用的解答,就應(yīng)該得到稱贊,別人就不應(yīng)該挑剔其所用數(shù)學(xué)工具是否不夠先進(jìn)。該用先進(jìn)工具的時(shí)候就要用先進(jìn)工具,但不必用先進(jìn)工具、用常規(guī)武器已經(jīng)可以搞定的時(shí)候,就不必“殺雞用牛刀”,而只需要用常規(guī)武器,并且應(yīng)該認(rèn)為這是自己的一個(gè)優(yōu)勢(shì),大可不必自慚形穢的。6不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要不斷提高數(shù)學(xué)建模工作的水平,并將其逐步引向深入,要從數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與實(shí)踐走向問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,對(duì)廣大數(shù)學(xué)建模工作者來(lái)說(shuō),關(guān)鍵的問(wèn)題是善于學(xué)習(xí)。毫無(wú)疑問(wèn),從事數(shù)學(xué)建模工作的同志,通過(guò)日常的教學(xué)與工作,努力收集各種建模的案例,并加以歸納整理,已經(jīng)起了明顯的作用。古人說(shuō):“熟讀唐詩(shī)三百首,不會(huì)吟詩(shī)也會(huì)吟?！爆F(xiàn)在,也可以說(shuō)是“熟悉建模三百例,不會(huì)建模也會(huì)建”。但只是熟讀唐詩(shī)三百首,生搬硬套,恐怕勉強(qiáng)湊出來(lái)的詩(shī)難免落套,甚至平庸,很難進(jìn)入佳作之列,所以,古人又有“功夫在詩(shī)外”這樣精辟的說(shuō)法。數(shù)學(xué)建模也是一樣,單靠熟悉建模三百例,刻意模仿,依樣畫(huà)葫蘆,也必定很難真正有所建樹(shù),難以將數(shù)學(xué)建模的工作做到出類拔萃。怎樣才能做到“功夫在詩(shī)外”呢?應(yīng)用數(shù)學(xué),就其本性來(lái)說(shuō),是生動(dòng)活潑、不斷進(jìn)取的。新的應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、方法與理論不斷出現(xiàn),而一個(gè)成熟的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法,前面已經(jīng)說(shuō)過(guò),其半衰期又往往很短,就像滾滾東流的長(zhǎng)江,一浪接著一浪,一浪高過(guò)一浪。從我工作以來(lái),自20世紀(jì)50年代中期開(kāi)始,就不時(shí)有一些應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的熱點(diǎn)甚至熱潮出現(xiàn),常常一下子獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷,不少人趨之若鶩,甚至蜂擁而上,但過(guò)一陣子,又會(huì)慢慢歸于平淡,甚至似乎銷聲匿跡。這些應(yīng)用數(shù)學(xué)的大大小小的浪潮,現(xiàn)在想得起來(lái)的,就有線性規(guī)劃、有限元素法、樣條插值、快速Fourier變換、統(tǒng)籌方法、優(yōu)選法、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、小波、混沌、分形、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)據(jù)挖掘、壓縮感知、大數(shù)據(jù)等等。這充分反映了應(yīng)用數(shù)學(xué)高度活躍的發(fā)展態(tài)勢(shì),也給應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者提出了不斷學(xué)習(xí)的任務(wù)。我們從事數(shù)學(xué)建模的工作者,為了跟上時(shí)代的步伐,為了將建模提到更高的水平,就不能不加速知識(shí)更新的步伐,就不能不關(guān)注這些應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的發(fā)展動(dòng)態(tài),對(duì)它們做一個(gè)哪怕是粗線條的了解和把握,努力擴(kuò)大自己的知識(shí)面。這就提出了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的任務(wù)。但是這樣的學(xué)習(xí),只注意跟著浪頭走,往往可能是很淺表的,也是難以發(fā)揮深入作用的。要學(xué)得深入,真正確有成效,還要注意兩個(gè)更基本方面的學(xué)習(xí)和提高。一方面,要不斷提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。搞數(shù)學(xué)建模,固然絕不是數(shù)學(xué)造詣高的人的專利,但也不是數(shù)學(xué)功底差的人的一個(gè)避風(fēng)港。新的應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、方法和理論雖然層出不窮,看上去琳瑯滿目,但萬(wàn)變不離其宗,其深刻的根源仍是根植在數(shù)學(xué)本身這塊沃土上。只有加深數(shù)學(xué)方面的修養(yǎng),才能深刻領(lǐng)悟有關(guān)的變化,才能抓住新概念和新方法的實(shí)質(zhì),從而真正地理解它、駕馭它、應(yīng)用它。我這兒舉一個(gè)親身經(jīng)歷的例子。在20世紀(jì)70年代初,當(dāng)時(shí)我在解決實(shí)際問(wèn)題中已經(jīng)會(huì)用有限差分法來(lái)求解偏微分方程,只要將導(dǎo)數(shù)用差商來(lái)代替,就得到了相應(yīng)的計(jì)算格式,原理很清楚,用矩形的網(wǎng)格很規(guī)則,也很好用,但對(duì)形狀復(fù)雜的物體,卻難以很好地照顧到邊界。這時(shí),和我們協(xié)作的應(yīng)用部門的一個(gè)同志對(duì)我說(shuō),聽(tīng)說(shuō)國(guó)外有方法可以用任意的方式配置節(jié)點(diǎn),用大大小小的三角形組成的網(wǎng)格來(lái)進(jìn)行計(jì)算。我一時(shí)