空間二面角的求法

立體幾何二面角求法練習(xí)題第7頁立體幾何二面角求法練習(xí)題1、正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為____2、將∠A為60°的棱形ABCD沿對角線BD折疊，使A、C的距離等于BD，則二面角A-BD-C的余弦值是__；3、正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC所成的為30°，則二面角C1—BD1—B1的大小為______；4、從點P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC，每兩條的夾角都是60°，則二面角B-PA-C的余弦值是______；5、二面角α--β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，則CD的長______；6、ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，則面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小為______。7、空間三條射線CA、CP、CB，∠PCA=∠PCB=600，∠ACB=900，求二面角B-PC-A的大小。PPBαCAEFD8、如圖：Rt∠ABC中，斜邊AB在平面α內(nèi)，Cα,AC、BC與α所成角分別為450和300，求平面ABC與α所成角。DDαCBAH

1、P是二面角的棱AB上一點，分別在上引射線PM、PN，若，，則二面角的大小為（）A.B.C.D.2、正方體中二面角的大小為。3、在一個的二面角的一個面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成，則此直線與二面角的另一個面所成的角為。4、如圖，立體圖形V-ABC的四個側(cè)面是全等的正三角形，則二面角V-AB-C的度數(shù)為（）A.B.C.D.ACBACBVOABMNPl5、如圖，若P為二面角M-l-N的面N內(nèi)一點，PB⊥l，B為垂足，A為l上一點，且∠PAB=α，PA與平面M所成角為β，二面角M-l-N的大小為γ，則有（）Asinα=sinβsinγBsinβ=sinαsinγCsinγ=sinαsinβD以上都不對6、在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。7、過正方形ABCD所在平面外一點P作平面ABCD，設(shè)PA=AB=，求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小。

8、如圖所示，已知四棱錐P-ABCD，PB，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為。求二面角A-PB-C的大小。DDBAPC1、如圖，在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1與面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。AABCDA1D1C1B12、如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?(I)求證：；(II)若直線與平面所成的角為,二面角的大小為，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明.

3、如圖所示，多面體中，是梯形，，是矩形，平面平面，，。（1）求證：平面；（2）若是棱上一點，平面，求；（3）求二面角的平面角的余弦值。4、如圖，在六面體中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，平面ABCD，。（1）求證：與AC共面，與BD共面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。DDCBAA

必考問題7：二面角參考答案PBαCAEFD(I)1、2、3、4、5、PBαCAEFD7、過PC上的點D分別作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連EF，∴∠EDF為二面角B-PC-A的平面角，設(shè)CD=a，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a，DE=DF=，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=，8、過點C作CD⊥α于D，連AD、BD，∴∠DAC和∠CBD分別為AC、BC與α所成角，即∠DAC=450，∠CBD=300，過點D作DH⊥AB于H，連CH，∴CH⊥AB，即∠CHD為平面ABC與α所成角，設(shè)CD=a，∴AC=，BC=2a，AB=，CH=，∠CHD=600，即為平面ABC與α所成的角。(II)1、D2、3、4、A5、B6、解：如圖PA⊥平面BD，過A作AH⊥BC于H，連結(jié)PH，則PH⊥BC

又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，

在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=

在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=，BADCPBADCPQ7、解：過P作PQ//AB，則PQ平面PAB，因為AB//CD，所以PQ//CD，PQ平面PCD。所以PQ為平面PAB與平面PCD的交線。因為PAAB，所以PAPQ。又因為PA面ABCD，CDAD，所以CDPD。故即為所求。由于PA=AB=AD，所以。故平面PAB與平面PCD所成二面角的大小為或。8、解：取PB的中點G，PC的中點F，連結(jié)EG，AG，GF，則AGPB,所以BCPB,且,在直角三角形PEG中：EG=，在直角三角形GAE中：AE=。于是,又,所以所求角為。(III)1、(1)900(2)正切值為2、解（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.因為三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC.（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1—BC—A的平面角，即于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，由AB＜AC，得又所以解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a,AC=b,AB=c,則B(0,0,0),A(0,c,0),于是設(shè)平面A1BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則由得可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.所以于是由c＜b，得即又所以3、解：（1）平面，，從而。又因為面，，即解得同理可得平面BEF的一個法向量為觀察知二面角的平面角為銳角，所以其余弦值OEFDCBAA4、（1）證明：因為平面OEFDCBAA所以DA，DC，而平面ABCD//平面，于是//CD，//DA。設(shè)E、F分別為DA、DC的中點，連結(jié)EF，，,有//，//，所以//，于是。由DE=DF=1，得EF//AC，故//AC，與AC共面。過點作平面ABCD于點O，則。連結(jié)OE，OF，于是，所以O(shè)E=OF。因為。因為。所以點O在BD上，故與BD共面。（2）證明：因為平面ABCD，所以AC，又B