2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分子分母同乘以即可.【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，基礎(chǔ)題.2．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由且，可得，所以.故選：D.3．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，若前4次出現(xiàn)正面朝上，則第5次出現(xiàn)正面朝上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣有兩種情況，正面朝上和反面朝上的概率都是，與拋擲次數(shù)無(wú)關(guān).【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，有正面朝上和反面朝上兩種可能，概率均為，與拋擲次數(shù)無(wú)關(guān).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法，考查了等可能事件及等可能事件的概率知識(shí)，屬基礎(chǔ)題.4．若圓錐母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出圓錐的側(cè)面積和底面積，即可求出圓錐的表面積.【詳解】因?yàn)閳A錐母線長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為1，所以該圓錐的側(cè)面積為：.該圓錐的底面積為，所以該圓錐的表面積為.故選：A.5．樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，方差為1，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為（

）A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為4，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為1，所以樣本數(shù)據(jù)的方差為.故選：A6．在中，角所對(duì)的邊分別為，且．若有兩解，則的值可以是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】由題意畫(huà)出圖形，可得，求出的范圍，結(jié)合選項(xiàng)得出答案.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為,則.

若有兩解，所以，則，即，得.故選：B7．在正四棱錐中，，M為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線AC，BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線AC，BM的方向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與異面直線所成角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，，，方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，，，，所以，，設(shè)異面直線AC，BM所成角為，則．故選：D．8．已知中，，且，則（

）A． B． C．8 D．9【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)橹?，，所?故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.二、多選題9．甲、乙兩位射擊愛(ài)好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10．則（

）A．甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7 B．甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小C．這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為6.6 D．甲的成績(jī)比乙的成績(jī)更穩(wěn)定【答案】BCD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可求解A選項(xiàng)；根據(jù)平均數(shù)的公式可求解B、C選項(xiàng)；根據(jù)方差的公式可求解D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，故C正確；對(duì)于,，故D正確．故選：BCD．10．某圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形，則該圓柱的體積可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由圓柱體積公式計(jì)算，注意分類(lèi)討論．【詳解】設(shè)該圓柱的底面半徑為.若該圓柱的高為2，則，即，該圓柱的體積；若該圓柱的高為4，則，即，該圓柱的體積.故選：AC．11．如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．事件與互斥B．C．事件與相互獨(dú)立D．【答案】BD【分析】根據(jù)古典概型與事件獨(dú)立的乘法公式進(jìn)行計(jì)算與判斷.【詳解】由題意得，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，對(duì)于A，事件與共有樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件樣本點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，，，事件樣本點(diǎn)，所以，所以事件與不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件樣本點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BD12．在水平放置的中，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是的斜二測(cè)直觀圖，則的面積是的面積的2倍B．若，則為直角三角形C．，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則D．已知，且，則為等邊三角形【答案】BD【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)可知原圖面積與直觀圖面積比，即可判斷A；根據(jù)向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的概念與運(yùn)算性質(zhì)，即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的定義、運(yùn)算律整理已知等式，可判斷得形狀，即可判斷D.【詳解】對(duì)A，是的斜二測(cè)直觀圖，則的面積是的面積的倍，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，即，解得，故，故B正確；對(duì)C，設(shè)，則，，，，．，，則，，則不一定成立．故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)椋?，即，又，所以，故，故同理，結(jié)合可得，故為等邊三角形，故D正確；故選：BD.三、填空題13．一個(gè)容量為的樣本，已知某組的頻率為，頻數(shù)為10，則．【答案】40【分析】解方程即得解.【詳解】由題得.故答案為：4014．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件即可求解.【詳解】由題意可知，，解得,所以實(shí)數(shù).故答案為：.15．，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】先表示出，然后根據(jù)向量的共線定理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意得，，于是，由三點(diǎn)共線可知，存在，使得，即，由于，是兩個(gè)不共線的向量，則，解得.故答案為：16．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，，△ABC是邊長(zhǎng)為的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，，則球O的體積為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合余弦定理求得，進(jìn)而可得兩兩垂直，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方體，利用正方體的性質(zhì)求外接球的半徑.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，在中，因?yàn)椋瑒t，由余弦定理可得，即，解得，可知，即，所以?xún)蓛纱怪?，可以把三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方體，可知球O即為正方體的外接球，其體對(duì)角線即為外接球的直徑，即，所以球O的體積.故答案為：.四、解答題17．如圖，為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).在A點(diǎn)測(cè)得M，N的俯角分別為，在B點(diǎn)測(cè)得M，N的俯角分別為，同時(shí)測(cè)得(1)求AM的長(zhǎng)度；(2)求M，N之間的距離.【答案】(1)km(2)km【分析】（1）在中，利用正弦定理求解；（2）在中，利用余弦定理求解.【詳解】（1）解：在中，已知，由正弦定理得，所以；（2）因?yàn)?，所以，則，所以，，在中，由余弦定理得：，，解得18．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2.【分析】（1）由四邊形為平行四邊形證得，進(jìn)而證得//平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量，用空間向量求點(diǎn)C到平面的距離.【詳解】（1）易知，且，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故//平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,∴.設(shè)平面的法向量為,由得令,則,則.點(diǎn)C到平面的距離，所以點(diǎn)C到平面的距離為2.19．在安全常識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)安全常識(shí)的問(wèn)題，已知甲答對(duì)這道題的概率是，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．設(shè)每人回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立的．(1)求乙，丙各自答對(duì)這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有兩人答對(duì)這道題的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式求解即可；（2）分兩種情況，甲、乙、丙三人中，有兩個(gè)人答對(duì)一個(gè)人答錯(cuò)以及三個(gè)人都答對(duì)，分別求出概率相加即可.【詳解】（1）設(shè)A＝“甲答對(duì),”B＝“乙答對(duì)”，C＝“乙答對(duì)”∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴（2）甲、乙、丙三人中，至少有兩人答對(duì)這道題，分兩種情況：甲、乙、丙三人中，有兩個(gè)人答對(duì)一個(gè)人答錯(cuò)，概率為；三個(gè)人都答對(duì)，概率為，所以，甲、乙、丙三人中，至少有兩人答對(duì)這道題的概率為：.20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大??；(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案；（2）根據(jù)，再利用三角形面積公式得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】（1）由正弦定理可知.由余弦定理可得，又，所以.（2）由題意知，所以，所以，解得.21．某村為響應(yīng)國(guó)家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，扎實(shí)推動(dòng)鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)，提高村民收益，種植了一批琯溪蜜柚.現(xiàn)為了更好地銷(xiāo)售，從該村的蜜柚樹(shù)上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，測(cè)得其質(zhì)量（單位：千克）均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間，的蜜柚中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量至少有一個(gè)小于3.5千克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹(shù)上大約還有5000個(gè)蜜柚待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：A．所有蜜柚均以20元/千克收購(gòu)；B．低于4.5千克的蜜柚以70元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.【答案】(1)(2)方案A【分析】（1）依題意可得蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2：3，則分別在質(zhì)量為，的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè)，求出從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的可能情況，再求出至少有一個(gè)小于3.5千克的方法種數(shù)，由古典概率公式代入即可得出答案.（2）分別計(jì)算兩種方案的收益，比較兩者的大小即可得出答案.【詳解】（1）由題意得：所以蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2：3，所以應(yīng)分別在質(zhì)量為，的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè).記抽取的2個(gè)蜜柚中質(zhì)量至少有一個(gè)小于3.5千克為事件A抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別記為，，，則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)解法一：事件，共7個(gè)樣本點(diǎn)，所以.解法二：事件A對(duì)立事件，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以.（2）方案A好，由題中頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間，，，，，的頻率依次為0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A收購(gòu)：由題意知各區(qū)間的蜜柚個(gè)數(shù)依次為500，500，750，2000，1000，250，于是總收益為（元）.若按方案B收購(gòu)：由題意知蜜柚質(zhì)量低于4.5千克的個(gè)數(shù)為1750，蜜柚質(zhì)量高于或等于4.5千克的個(gè)數(shù)為，所以總收益為（元）.因?yàn)椋苑桨窤的收益比方案B的收益高，應(yīng)該選擇方案A.22．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，由此證明，再證明，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點(diǎn)的位置；【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)