第08講用空間向量解決立體幾何問題的六種題型（原卷）

第08講用空間向量解決立體幾何問題的六種題型考法呈現(xiàn)考法一：用空間向量證明平行或垂直例題分析【例1-1】如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=13BD，AN=【例1-2】在三棱臺(tái)A1B1C1-ABC中，∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,滿分秘籍用向量法證明異面直線垂直，可以用基向量法，也可以用空間直角坐標(biāo)系。通過方向向量（或法向量）之間的關(guān)系證明垂直或平行。變式訓(xùn)練【變式1-1】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E,F分別為線段AB,A【變式1-2】如圖，已知六面體ABCDPE的面ABCD為梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，CD=AD=4，棱PA⊥平面ABCD，PA//BE，PA=4,BE=2，F(xiàn)為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AF//平面PBC；(2)求直線BE與平面PCD所成角的大小.【變式1-3】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，

(1)證明：D1(2)當(dāng)AE=13AB時(shí)，求【變式1-4】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，

考法二：用空間向量解決異面直線成角問題例題分析【例2】已知三棱臺(tái)A1B1C1-ABC，A1A⊥面ABC，4A

(1)證明：BD⊥B(2)請(qǐng)選擇合適的基底向量，求直線B1C與A滿分秘籍圖示：計(jì)算公式：易錯(cuò)點(diǎn)：向量的夾角并不一定是異面直線的成角。變式訓(xùn)練【變式2-1】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E為

(1)證明：點(diǎn)F為B1(2)若點(diǎn)M為棱A1B1上一點(diǎn)，且直線MF與平面CDE所成角的正弦值為65【變式2-2】如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，平面CDD1C1⊥平面ABCD(1)證明：CD⊥AE；(2)點(diǎn)F在棱CC1上，AE//平面BDF，求直線AE與DF所成角的余弦值．【變式2-3】如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，平面A1B1BA⊥平面(1)求證：AA1⊥(2)求異面直線BA1與B【變式2-4】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.點(diǎn)D、E、N分別為棱PA、PC、BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，

(1)求證：MN//平面BDE(2)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721，求線段AH【變式2-5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AD=2CD=2BC=2，CD⊥BC，BC∥AD，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).

(1)證明：PE⊥CD；(2)若BF與CD所成的角為60°，求平面BEF和平面ABE夾角的余弦值.考法三：用空間向量解決線面夾角問題例題分析【例3】已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,A1

(1)求證：AB⊥EF；(2)設(shè)P是棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)△PBC的面積最小時(shí)，求直線PC滿分秘籍圖示：2.計(jì)算公式：3.易錯(cuò)點(diǎn)：線面夾角的正弦等于向量夾角余弦的絕對(duì)值。變式訓(xùn)練【變式3-1】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，AB=2，SC=22

(1)證明：平面SAD⊥平面ABCD；(2)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于217？若存在，求出點(diǎn)P【變式3-2】如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，A，B為底面圓O上兩點(diǎn)，∠AOB=2π3，E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB

(1)證明：平面AOP⊥平面OEF；(2)若OP=AB，求直線AP與平面OEF所成角的正弦值.【變式3-3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO=2，F(xiàn)，G分別是PB，PD的中點(diǎn)，E是PA上一點(diǎn)，且AP=3AE.

(1)求證：BD//平面EFG；(2)若∠DAB=2π3，求直線PA與平面【變式3-4】在圓柱O1O2中，等腰梯形ABCD為底面圓O1的內(nèi)接四邊形，且AD=DC=BC=1，矩形ABFE是該圓柱的軸截面，

(1)求證：平面O1CG∥平面(2)設(shè)DP=λDE，λ∈0,1，試確定λ的值，使得直線AP與平面ABG【變式3-5】如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，四邊形CDEF為平行四邊形，對(duì)角線CE和DF相交于點(diǎn)H，平面CDEF⊥平面ABCD，BC=2AD，∠DCF=60°，

(1)當(dāng)點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時(shí)，證明：AG//平面CDEF(2)若AD=1,CD=DE=2，且直線DG與平面CDEF成45°角，求二面角E-DG-F考法四：用空間向量解決面面夾角問題例題分析【例4】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB

(1)證明：平面ACB1⊥(2)求平面ACC1A1滿分秘籍1圖示：2計(jì)算公式：3易錯(cuò)點(diǎn)：兩個(gè)平面成角范圍是[0,π2]，二面角的范圍[0,π]變式訓(xùn)練【變式4-1】如圖，在四棱錐A-BCDE中，側(cè)面ADE⊥底面BCDE，底面BCDE為菱形，∠BCD=120°,AE⊥AD,∠ADE=30°．

(1)若四棱錐A-BCDE的體積為1，求DE的長；(2)求平面ABE與平面ACD所成二面角的正弦值．【變式4-2】如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，AB=12CD，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=(1)求證：平面ABE⊥平面ABCD；(2)求平面ADE與平面BCE所成二面角的余弦值.【變式4-3】如圖所示，在幾何體PABCD中，AD⊥平面PAB，點(diǎn)C在平面PAB的投影在線段PB上BC<PC，BP=6，AB=AP=23，DC=2，CD∥平面

(1)證明：平面PCD⊥平面PAD.(2)若二面角B-CD-P的余弦值為-714，求線段AD【變式4-4】在三棱臺(tái)ABC-DEF中，G為AC中點(diǎn)，AC=2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．

(1)求證：BC⊥平面DEG；(2)若AB=BC=2，CF⊥AB，平面EFG與平面ACFD所成二面角大小為π3，求三棱錐E-DFG【變式4-5】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1

(1)求D到BC(2)當(dāng)E是DD1的中點(diǎn)時(shí)，求直線AC與平面(3)若平面AA1D1D與平面BC考法五：用空間向量解決點(diǎn)到平面的距離問題例題分析【例5】如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn).(1)求證：EF//平面CPM；(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大??；(3)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為π6，求N到平面CPM的距離滿分秘籍1圖示：2計(jì)算公式：變式訓(xùn)練【變式5-1】已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，PA=AD=1.(1)求證：直線PB//平面MAC(2)求點(diǎn)P到平面MAC的距離.【變式5-2】如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點(diǎn)．(1)證明：BC⊥C1E．(2)設(shè)CM=λCE（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為255，求【變式5-3】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥面ABCD，AB⊥PC，BC=AP=2(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(2)求二面角C-PD-A的正弦值．【變式5-4】底面為菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1(1)在圖中作一個(gè)平面α，使得BD?α，且平面AEF//α.（不必給出證明過程，只要求作出α與直棱柱ABCD-A(2)若AB=AA1=2,∠BAD=60°，求平面AEF【變式5-5】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=22，M為(1)求證：AM⊥平面PBD；(2)求平面ABCD與平面APM所成角的余弦值；(3)求D到平面APM的距離.考法六：用空間向量解決點(diǎn)到直線距離問題例題分析【例6】如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和14個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C，E，D，G四點(diǎn)共面

(1)證明：平面BDF⊥平面BCG；(2)若平面BDF與平面ABG所成二面角的余弦值為155，且線段AB長度為2，求點(diǎn)G到直線DF的距離滿分秘籍1圖示：2計(jì)算公式變式訓(xùn)練【變式6-1】如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC，沿AE將△ADE折成△APE，如圖2所示，連接PB,PC，得到四棱錐P-ABCE.(1)若平面PAE∩平面PBC=l，求證：l//BC；(2)若點(diǎn)T是PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)T到直線EB的距離的取值范圍.【變式6-2】在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=22，AD=DC=2，如圖1．現(xiàn)將△ADC沿對(duì)角線AC折成直二面角P-AC-B，如圖2，點(diǎn)M在線段(1)求證：AP⊥CM；(2)若點(diǎn)M到直線AC的距離為255，求【變式6-3】異面直線l1、l2上分別有兩點(diǎn)A、B.則將線段AB的最小值稱為直線l1與直線l2之間的距離.如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面PBC，PB⊥PC，點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，AP=BP=CP=1.點(diǎn)E、F分別位于線段AB、(1)設(shè)點(diǎn)M為線段EF中點(diǎn)，線段EF所在直線與線段AC所在直線之間距離為d，證明：DM>d(2)若ABAE=PCFC=kk>1，用含k的式子表示線段【變式6-4】如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線FC1\到直線(2)求直線FC1到平面【變式6-5】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2.

(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)P到平面DEF的距離；(3)求點(diǎn)P到直線EF的距離．真題專練1．如圖，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90

(1)求異面直線AB與PC所成角的大小；(2)求二面角B-PC-D的余弦值.2．如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，AC=2，BE=3，點(diǎn)M

(1)求證：DE⊥AM；(2)若EM與平面ACD所成角為π3，求平面AMB與平面ACD所成銳3．如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C

(1)證明：CP∥平面A1(2)當(dāng)直線BP與平面A1BCD1所成的角正弦值為364．已知△ABC和△ADE所在的平面互相垂直，AD⊥AE，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，D是線段BC的中點(diǎn)，AD=3(1)求證：AD⊥BE；(2)設(shè)AE=2，在線段AE上是否存在點(diǎn)F（異于點(diǎn)A），使得二面角A-BF-C的大小為45°.5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面AB

(1)求證：MN//平面BCC(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．6．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面

(1)求證：AB⊥BC；(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為π6，E為線段A1C的中點(diǎn)，求平面ABE與平面7．如圖，在△ABC中，∠B=90°，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD//BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至(1)證明：平面CBA'⊥(2)若PB=CB=2PD=4，且A'P⊥AP，線段A'C上是否存在一點(diǎn)E（不包括端點(diǎn)），使得銳二面角E-BD-C的余弦值為314148．如圖，圓錐DO中，AE為底面圓O的直徑，AE=AD，△ABC為底面圓O的內(nèi)接正三角形，圓錐的高DO=18，點(diǎn)P為線段DO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)PO=36時(shí)，證明：PA⊥平面PBC(2)當(dāng)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，直線PE和平面PBC所成角的正弦值最大.9．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC，E，F(xiàn)分別為

(1)證明：BF⊥DE；(2)求平面BB1C1C與平面10．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，AD=2,SA=2,∠SAB=60°，∠SAD=45°，平面

(1)求證：直線l平行于平面ABCD；(2)求二面角D-SA-B的余弦值.11．如圖，在多面體ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均為正三角形，AC=4，BE=3，點(diǎn)F在AC上

(1)若BF//平面CDE，求CF(2)若F是AC的中點(diǎn)，求二面角F-DE-C的正弦值.12．如圖，在多面體ABCD-EFGH中，上底面EFGH與下底面ABCD平行，且都是正方形，該多面體各條側(cè)棱相等，且每條側(cè)棱與底面ABCD所成角都相等．已知AB=2,AE=5,CM⊥DG，垂足為點(diǎn)M，三棱錐C-ABE的體積為

(1)證明：AE⊥平面MBC；(2)求直線AE與平面BEF所成角θ的正弦值．13．如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

(1)求證：GH∥平面ABCD；(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．14．在長方體ABCD-A1B1C1D1

(1)求證：平面AA1C1(2)若點(diǎn)E為棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P在棱C1D1上什么位置時(shí)，平面BDE15．已知直角梯形形狀如下，其中AB⊥AD，DC=2AB=6AE，

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形ADFE沿EF翻折，形成幾何體A'B