高三新課標(biāo)版原創(chuàng)配套月考試題數(shù)學(xué)4A卷

試卷類型：A2013屆高三原創(chuàng)月考試題四數(shù)學(xué)適用地區(qū)：新課標(biāo)地區(qū)考查范圍：集合、邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例、計數(shù)原理（僅理科有），概率、隨機變量及其分布（僅理科有）建議使用時間：2011年11月底本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.（2012·哈爾濱第六中學(xué)三模）已知全集，集合，則（） A. B. C. D.2.（2012·大連沈陽聯(lián)考）圖1中的莖葉圖表示的是某城市一臺自動售貨機的銷售額情況(單位：元)，圖中的數(shù)字表示的意義是這臺自動售貨機的銷售額為()圖1A.元B.元C.元D.元3.（理）（2012·北京東城二模）的展開式中的常數(shù)項為（）A.B.C.D.（文）（2012·北京海淀二模）函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.4.（2012·長春三模）數(shù)學(xué)文）對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是（） 相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為 5.(2012·銀川一中第三次月考)等差數(shù)列滿足:,則=（） A. B.0 C.1 D.6.(2012·石家莊二模)從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此模型預(yù)報身高為172cm的高三男生的體重為（）A.70.09kgB.70.12kgC.70.55kg7.[2012·天津卷]設(shè)x∈R，則“x＞eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1＞0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.（理）(2012·石家莊二模)的展開式中的常數(shù)項為（）A.-60B.-50C.50（文）（2012·大連沈陽聯(lián)考）若利用計算機在區(qū)間上產(chǎn)生兩個不等的隨機數(shù)和，則方程有不等實數(shù)根的概率為（）A.B.C.D.9.（2012·鄭州質(zhì)檢）函數(shù)圖象的一個對稱軸方程是()A.B.C.D.10.(2012·石家莊二模)若滿足約束條件則（）A.有最小值-8，最大值0B.有最小值-4，最大值0C.有最小值-4，無最大值D.有最大值-4，無最小值11.（2012·瓊海模擬）一只螞蟻在邊長分別為3，4，5的三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則其恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率為（） A. B.C.D.12.（2012·北京東城二模）設(shè)為拋物線上一點，為拋物線的焦點，若以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則的取值范圍是（）A. B.C.D.第Ⅱ卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卷相應(yīng)位置上.）13.(2012·銀川一中第三次月考)已知a=(2,3),b=(-1,5)，則a+3b=_________.14.[2012`遼寧卷]一個幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的表面積為______________.圖315.（2012·北京東城二模）將容量為的樣本中的數(shù)據(jù)分成組，若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于，則的值為.16.（理）（2012·瓊海模擬）若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”.現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有個.（文）(2012·石家莊二模)在區(qū)間[1，3]上隨機選取一個數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)）的值介于e到e2之間的概率為________.三、解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）17.（本小題滿分10分）（2012·瓊海模擬）如圖4平面四邊形ABCD中，AB=AD=，BC=CD=BD，設(shè).（1）將四邊形ABCD的面積S表示為的函數(shù)；（2）求四邊形ABCD面積S的最大值及此時值.圖418.（本小題滿分12分）（2012·北京海淀二模）已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和公式.19.（本小題滿分12分）(理)[2012·課標(biāo)全國卷]某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.(文)[2012·課標(biāo)全國卷]某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)；②若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.20.（本小題滿分12分）（理）[2012·廣東卷]如圖5所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.（1）證明：BD⊥平面PAC； （2）若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值.圖5（文）[2012·廣東卷]如圖5所示，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點，F(xiàn)是DC上的點且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH⊥平面ABCD；（2）若PH＝1，AD＝eq\r(2)，F(xiàn)C＝1，求三棱錐E－BCF的體積；(3)證明：EF⊥平面PAB.圖521.（本小題滿分12分）[2012·安徽卷]設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,ax)＋b(a>0).（1）求f(x)的最小值；（2）若曲線y＝f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y＝eq\f(3,2)x，求a，b的值.22.（本小題滿分12分）（理）[2012·廣東卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\r(\f(2,3))，且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3.（1）求橢圓C的方程；（2）在橢圓C上，是否存在點M(m，n)，使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由.（文）[2012·廣東卷]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－1,0)，且點P(0,1)在C1上.（1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程.試卷類型：A2013屆高三原創(chuàng)月考試題四答案數(shù)學(xué)1.B【解析】因為集合，又，所以.所以.2.C【解析】樹干表示的是十位數(shù)字，故7表示為27.3.（理）D【解析】展開式中的通項為，令，得.所以展開式中的常數(shù)項為.（文）B【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞增減,且,所以函數(shù)在區(qū)間上的值域是.故選B.4.A【解析】由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點圖所表達(dá)的含義可知.5.B【解析】因為①，又由等差中項公式得②，由①②得，所以.6.B【解析】，.因為回歸直線過點，所以將點(170,69)代入回歸直線方程，得，故回歸方程為.代入cm，得其體重為70.12kg.7.A【解析】當(dāng)x>eq\f(1,2)時，2x2＋x－1>0成立；但當(dāng)2x2＋x－1>0時，x>eq\f(1,2)或x<－1.所以“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的充分不必要條件．8.（理）D【解析】展開式的通項為，令,解得.故常數(shù)項為.（文）B【解析】方程可化為，因其有兩個不等實數(shù)根，所以，以為橫軸，為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，區(qū)域即為陰影區(qū)域.故由幾何概型得，所求事件的概率為.9.B【解析】因為，當(dāng)時，取得最大值，故一個對稱軸方程是.10.C【解析】對應(yīng)的可行域如圖.當(dāng)直線過點時，z有最小值-4；由圖可知z沒有最大值.11.B【解析】作出滿足題意的區(qū)域如下圖，則由幾何概型得，所求概率為.12.A【解析】若以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相交，則.根據(jù)拋物線的定義知,點到準(zhǔn)線的距離大于4，即，所以.13.【解析】a+3b.14.38【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為.15.【解析】根據(jù)已知條件知，所以.16.（理）40【解析】六個數(shù)中任取3個數(shù)共有種情況，每一種情況下將最大的一個數(shù)放在中間，又可以組成兩個不同的三位數(shù)，所以符合“傘數(shù)”的情況共有種.（文）【解析】數(shù)的可取值長度為，滿足在e和之間的的取值長度為1，故所求事件的概率為.17.解:（1）△ABD中,由余弦定理，得.由已知可得△BCD為正三角形，所以.又.故四邊形ABCD面積.（2）當(dāng)，即時，四邊形ABCD的面積S取得最大值，且.18.解:（1）因為，所以.①……3分因為成等比數(shù)列，所以.②……5分由①②及，可得.……6分所以.……7分（2）由，可知.……9分所以，……11分所以，……13分所以數(shù)列的前項和為.19.解：（1）當(dāng)日需求量n≥16時，利潤y＝80；當(dāng)日需求量n<16時，利潤y＝10n－80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80，n<16，,80，n≥16))(n∈N).（2）①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差為DX＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②答案一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差為DY＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的計算結(jié)果可以看出，DX<DY，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.另外，雖然EX<EY，但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.答案二：花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為EY＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的計算結(jié)果可以看出，EX<EY，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.(文)解：（1）當(dāng)日需求量n≥17時，利潤y＝85.當(dāng)日需求量n<17時，利潤y＝10n－85.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－85，n<17，,85，n≥17))(n∈N).（2）①這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這100天的日利潤的平均數(shù)為eq\f(1,100)(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4.②利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝.故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.20.解：（1）證明：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PC⊥平面BDE,BD?平面BDE))?PC⊥BD.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD))?PA⊥BD.因為PA∩PC＝P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.（2）法一：如圖所示，記BD與AC的交點為F，連接EF.由PC⊥平面BDE，BE?平面BDE，EF?平面BDE，所以PC⊥BE，PC⊥EF.即∠BEF為二面角B－PC－A的平面角.由（1）可得BD⊥AC，所以矩形ABCD為正方形，AB＝AD＝2，AC＝BD＝2eq\r(2)，F(xiàn)C＝BF＝eq\r(2).在Rt△PAC中，PA＝1，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝3，即二面角B－PC－A的正切值為3.法二：以A為原點，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AP,\s\up6(→))的方向分別作為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)AB＝b，則：A(0,0,0)，B(b,0,0)，C(b,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).于是eq\o(PC,\s\up6(→))＝(b,2，－1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(b，－2,0).因為PC⊥DB，所以eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝b2－4＝0，從而b＝2.結(jié)合（1）可得eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2，－2,0)是平面APC的法向量.現(xiàn)設(shè)n＝(x，y，z)是平面BPC的法向量，則n⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，n⊥eq\o(PC,\s\up6(→))，即n·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2,2，－1)，所以2y＝0,2x－z＝0.取x＝1，則z＝2，n＝(1,0,2).令θ＝〈n，eq\o(DB,\s\up6(→))〉，則cosθ＝eq\f(n·\o(DB,\s\up6(→)),|n||\o(DB,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(5)·2\r(2))＝eq\f(1,\r(10))，sinθ＝eq\f(3,\r(10))，tanθ＝3.由圖可得二面角B－PC－A的正切值為3.（文）解：（1）由于AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，故AB⊥PH.又因為PH為△PAD中AD邊上的高，故AD⊥PH.因為AB∩AD＝A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.（2）由于PH⊥平面ABCD，E為PB的中點，PH＝1，故E到平面ABCD的距離h＝eq\f(1,2)PH＝eq\f(1,2).又因為AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD.故S△BCF＝eq\f(1,2)·FC·AD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).因此VE－BCF＝eq\f(1,3)S△BCF·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),12).(3)證明：過E作EG∥AB交PA于G，連接DG.由于E為PB的中點，所以G為PA的中點.因為DA＝DP，故△DPA為等腰三角形，所以DG⊥PA.因為AB⊥平面PAD，DG?平面PAD，所以AB⊥DG.又因為AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，所以DG⊥平面PAB.又因為，所以.所以四邊形DFEG為平行四邊形，故DG∥EF.于是EF⊥平面PAB.21.解:（1）(方法一)由題設(shè)和均值不等式可知，f(x)＝ax＋eq\f(1,ax)＋b≥2＋b.其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ax＝1.即當(dāng)x＝eq\f(1,a)時，f(x)取最小值為2＋b.(方法二)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a－eq\f(1,ax2)＝eq\f(a2x2－1,ax2).當(dāng)x>eq\f(1,a)時，f′(x)>0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上遞增；當(dāng)0<x<eq\f(1,a)時，f′(x)<0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上遞減.所以當(dāng)x＝eq\f(1,a)時，f(x)取最小值為2＋b.（2）f′(x)＝a－eq\f(1,ax2).由題設(shè)知，f′（1）＝a－eq\f(1,a)＝eq\f(3,2)，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(不合題意，舍去).將a＝2代入f（1）＝a＋eq\f(1,a)＋b＝eq\f(3,2)，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.22.（理）解:（1）因為e＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)，所以a2＝3b2，即橢圓C的方程可寫為eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.設(shè)P(x，y)為橢圓C上任意給定的一點，|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝－2(y＋1)2＋6＋3b2≤6＋3b2，y∈[－b，b].由題設(shè)存在點P1滿足|P1Q|＝3，則9＝|P1Q|2≤6＋3b2，所以b≥1.當(dāng)b≥1時，由于y＝－1∈[－b，b]，此時|PQ|2取得最大值6＋3b2,所以6＋3b2＝9?b2＝1，a2＝3.故所求橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.（2）存在點M滿足要求，使△OAB的面積最大.假設(shè)直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點A、B，則圓心O到l的距離d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))<1.因為點M(m，n)∈C，所以eq\f(m2,3)＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.因為|AB|＝2eq\r(1－d2)＝2eq\r(\f(m2＋n2－1,m2＋n2))，所以S△OAB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(\r(m2＋n2－1),m2＋n2)＝eq\f(\r(\f(2,3))|m|,1＋\f(2,3)m2)≤eq\f(\r(\f(2,3))|m|,2\r(1·\f(2,3)m2))＝eq\f(1,2).上式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)1＝eq\f(2,3)m2?m2＝eq\f(3,2)∈(0,3]，因此當(dāng)m＝±e