矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換與線性方程組第1頁(yè)共92頁(yè)第1頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第2頁(yè)共92頁(yè)一、消元法解線性方程組二、矩陣的初等變換第一節(jié)矩陣的初等變換第2頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第3頁(yè)共92頁(yè)1、引例求解線性方程組：一、消元法解線性方程組第3頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第4頁(yè)共92頁(yè)解：1)消元第4頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第5頁(yè)共92頁(yè)2)回代（4個(gè)未知數(shù)3個(gè)方程，無(wú)窮解。可取每一行的第一個(gè)未知數(shù)為非自由未知數(shù)，進(jìn)行回代）(B4)第5頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第6頁(yè)共92頁(yè)則（2）解得第6頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第7頁(yè)共92頁(yè)方程組的同解變換(消元過(guò)程)：1）對(duì)換兩個(gè)方程3）2）對(duì)增廣矩陣B=(A|b)進(jìn)行相應(yīng)的三種初等行變換第7頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第8頁(yè)共92頁(yè)(B4)(B1)行階梯形：第8頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第9頁(yè)共92頁(yè)(B4)(B5)行最簡(jiǎn)形第9頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第10頁(yè)共92頁(yè)對(duì)增廣矩陣（A|b）施行初等行變換，變成行最簡(jiǎn)形。方程組的求解注意：初等列變換不能求解方程組，因?yàn)榱凶儞Q是對(duì)變?cè)M(jìn)行變換，并不是方程的同解變換。第10頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第11頁(yè)共92頁(yè)1）2）3）jikrr+初等變換的逆變換第11頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)共92頁(yè)行等價(jià)：列等價(jià)：等價(jià)：性質(zhì)：矩陣的等價(jià)關(guān)系A(chǔ)～B反身性、對(duì)稱性、傳遞性第12頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第13頁(yè)共92頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)形：第13頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)共92頁(yè)如：第14頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)共92頁(yè)初等矩陣的概念單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到的矩陣1、定義2、三種初等矩陣三種初等變換三種初等方陣第15頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)共92頁(yè)jirr?1)|第16頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)共92頁(yè)第17頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第18頁(yè)共92頁(yè)第18頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第19頁(yè)共92頁(yè)1(k0)2)|第19頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第20頁(yè)共92頁(yè)第20頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)共92頁(yè)3）|第21頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第22頁(yè)共92頁(yè)第22頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)共92頁(yè)第23頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第24頁(yè)共92頁(yè)))((nkjiAE第24頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第25頁(yè)共92頁(yè)定理11）行變換，A’為A左乘相應(yīng)的m階初等矩陣2）列變換，A’為A右乘相應(yīng)的n階初等矩陣第25頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第26頁(yè)共92頁(yè)初等矩陣均可逆，且逆都是同類的初等矩陣：初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣；第26頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第27頁(yè)共92頁(yè)解：記B＝第27頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)共92頁(yè)定理2證:A可逆存在有限個(gè)初等矩陣(充分性)(必要性)顯然.第28頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第29頁(yè)共92頁(yè)證明：推論1A可逆A經(jīng)有限次初等行變換E可逆矩陣的行最簡(jiǎn)型為E第29頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)共92頁(yè)初等行變換同理，對(duì)方程組▲若A可逆第30頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)共92頁(yè)（作業(yè)）推論2第31頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)共92頁(yè)解例2第32頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)共92頁(yè)第33頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第34頁(yè)共92頁(yè)例3解：……第34頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)共92頁(yè)第35頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)共92頁(yè)小結(jié)1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:第36頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第37頁(yè)共92頁(yè)一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣秩的一些結(jié)論第三節(jié)矩陣的秩第37頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第38頁(yè)共92頁(yè)矩陣的秩一、矩陣秩的概念第38頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)共92頁(yè)1.矩陣的子式k階子式(k≤{m,n})：任取k行、k列交叉得到的矩陣的行列式相應(yīng)的位置保持不變第39頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第40頁(yè)共92頁(yè)2.最高階非零子式和秩A的秩＝A的最高階非0子式的階＝R(A)或r(A)第40頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第41頁(yè)共92頁(yè)第41頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第42頁(yè)共92頁(yè)例1解第42頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第43頁(yè)共92頁(yè)例2解第43頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)共92頁(yè)問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法第44頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第45頁(yè)共92頁(yè)1、初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2、第45頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第46頁(yè)共92頁(yè)顯然，非零行的行數(shù)為2，第46頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)共92頁(yè)例4解第47頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)共92頁(yè)A……得第48頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第49頁(yè)共92頁(yè)取行階梯形中的1、2、4列及1、2、3行對(duì)應(yīng)于原矩陣中的行和列，即可得到A的一個(gè)最高階非0子式注：求解最高階非0子式時(shí)，應(yīng)注意初等變換過(guò)程中行、列的對(duì)換情況。第49頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第50頁(yè)共92頁(yè)例5解分析：第50頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第51頁(yè)共92頁(yè)……第51頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第52頁(yè)共92頁(yè)1、n階方陣A可逆2三、矩陣秩的一些結(jié)論第52頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第53頁(yè)共92頁(yè)3、4、5、Sylverster不等式:第53頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第54頁(yè)共92頁(yè)例1例2例3第54頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第55頁(yè)共92頁(yè)矩陣的秩的性質(zhì)1.2.3.～4.5.6.7.(見(jiàn)下節(jié))8.(見(jiàn)下節(jié))第55頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第56頁(yè)共92頁(yè)一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程組的解法第四節(jié)線性方程組的解第56頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第57頁(yè)共92頁(yè)線性方程組系數(shù)矩陣為線性方程組可記為：相容線性方程組。（不）一、線性方程組有解的判定條件第57頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第58頁(yè)共92頁(yè)1)m=n時(shí),A是n階方陣,若|A|則可用克萊默法則求解,或用A的逆矩陣表示解.0,2)對(duì)一般的情況如何判定有沒(méi)有解?有解時(shí)如何求解?問(wèn)題：第58頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第59頁(yè)共92頁(yè)1、非齊次線性方程組推：若方程組的個(gè)數(shù)小于變?cè)膫€(gè)數(shù)，則不可能有唯一解。則方程組：1）無(wú)解2）唯一解3）無(wú)窮解第59頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第60頁(yè)共92頁(yè)證：（充分性）…第60頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第61頁(yè)共92頁(yè)第61頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第62頁(yè)共92頁(yè)Onn個(gè)m-n個(gè)第62頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第63頁(yè)共92頁(yè)第63頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第64頁(yè)共92頁(yè)第64頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第65頁(yè)共92頁(yè)方程組的通解，自由度為n-r，r越小，解的自由度越大第65頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第66頁(yè)共92頁(yè)2、齊次方程方程組第66頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第67頁(yè)共92頁(yè)齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；3、求解線性方程組步驟:第67頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第68頁(yè)共92頁(yè)例1求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法第68頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第69頁(yè)共92頁(yè)第69頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第70頁(yè)共92頁(yè)例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．第70頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第71頁(yè)共92頁(yè)例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換第71頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第72頁(yè)共92頁(yè)故方程組有解，且有無(wú)窮解第72頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第73頁(yè)共92頁(yè)例４

第73頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第74頁(yè)共92頁(yè)例５設(shè)有線性方程組解第74頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第75頁(yè)共92頁(yè)第75頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第76頁(yè)共92頁(yè)其通解為第76頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第77頁(yè)共92頁(yè)這時(shí)又分兩種情形：第77頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第78頁(yè)共92頁(yè)第78頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第79頁(yè)共92頁(yè)解二:由于方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)可考慮用下面的方法:第79頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第80頁(yè)共92頁(yè)第80頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第81頁(yè)共92頁(yè)第81頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第82頁(yè)共92頁(yè)第82頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第83頁(yè)共92頁(yè)三、推廣到矩陣方程Th7

AX=B有解R(A)=R(A,B).證：將X，B按列分塊，得第83頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第84頁(yè)共92頁(yè)（充分性）R(A)=R(A,B)第84頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第85頁(yè)共92頁(yè)（必要性）AX＝B有解第85頁(yè)，課件共90頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第86頁(yè)共92頁(yè)Th9第86頁(yè)