電磁場矢量分析

電磁場矢量分析第1頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算

1.2圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)

1.3矢量場*

1.4標(biāo)量場*1.5亥姆霍茲定理第2頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1矢量及其代數(shù)運(yùn)算1.1.1.標(biāo)量（Scalar）與矢量(Vector)1.標(biāo)量：實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量，只表示該代數(shù)量大小。矢量：既表示大?。＃?，又表示方向。物理學(xué)中，賦予單位，具有物理意義，稱為物理量。例如：標(biāo)量有電壓、電流、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等；矢量有電場、磁場、力、速度、力矩等。2.矢量的表示：矢量可以表示為其中，A是矢量

的大小;

代表矢量

的單位矢量。第3頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

零矢(ZeroVector)：大小為零的矢量，又稱空矢(NullVector)。單位矢量（UnitVector)：大小為1的矢量。3.位置矢量：從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量，用表示。即空間中點(diǎn)P(X,Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。4.直角坐標(biāo)系中，矢量可以表示為第4頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2矢量的代數(shù)運(yùn)算

設(shè)兩個(gè)矢量為，，則1.標(biāo)量積(ScalarProduct)：－－－－標(biāo)量標(biāo)量積服從交換律和分配律，即第5頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月（右手螺旋）2.矢量積(VectorProduct)：又稱矢量的叉積(CrossProduct)。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即

第6頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3.矢量和：4.矢量差：5.直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式：

第7頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3矢量場本節(jié)要點(diǎn)：－－考察矢量場在空間的分布及變化規(guī)律。

矢量線

通量和散度

環(huán)量與旋度第8頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.1矢量場的矢量線(VectorLine)

例如：靜電場的電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線。圖1-10力線圖所謂矢量線就是這樣一些曲線：在曲線的每一點(diǎn)處，場的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。第9頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量線方程：－－－－定義式直角坐標(biāo)系中，結(jié)論：

矢量線可以使我們直觀、形象地了解矢量場在空間的分布狀況。第10頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1-1求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。第11頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1-2設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P（x,y,z)處所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度矢量為求的矢量線方程畫出矢量線圖。解：由式（1－3－5）得矢量線方程為c1和c2是積分常數(shù)。此方程解為第12頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖可見，電力線是一簇從點(diǎn)電荷出發(fā)向空間發(fā)散的徑向輻射線，它形象地描述點(diǎn)電荷的電場在空間的分布狀況。第13頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.2矢量場的通量及散度

1.矢量場的通量(Flux)面元矢量：單位矢量是面元外法線方向。－－標(biāo)量積稱為矢量穿過的通量。第14頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量場穿過整個(gè)曲面的通量為：如果是一個(gè)閉合曲面，則其通量為：通量的物理意義：（假設(shè)矢量場為流體的速度）通量表示在單位時(shí)間內(nèi)流體從閉合曲面內(nèi)流出曲面的正流量與流入閉合曲面內(nèi)部的負(fù)流量代數(shù)和，即凈流量。第15頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月若，表示有凈通量流出，說明封閉曲面內(nèi)必定有產(chǎn)生流體的正源（Source）；若，表示有凈通量流入，說明封閉曲面內(nèi)有吸收流體的負(fù)源（Sink,稱之為溝）；若，表示流入等于流出，此時(shí)內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，即沒有源。φ>0(有正源)φ

<0(有負(fù)源)φ=0(無源)第16頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)論：矢量場在閉合面上的通量是由面內(nèi)的源決定的，它是一個(gè)積分量。它描繪閉合面內(nèi)較大范圍內(nèi)的源的分布情況。描述場中每一個(gè)點(diǎn)上源的性質(zhì)，必須引入新的矢量，故引入矢量場的散度的概念。第17頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月稱此極限為矢量場在點(diǎn)P處的散度。

設(shè)有矢量場，在場中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面，設(shè)所限定的體積為ΔV，當(dāng)體積ΔV以任意方式縮向P點(diǎn)（）時(shí)，取下列極限:2.矢量場的散度（divergence）1)散度定義記作－－定義式第18頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2)哈密爾頓（Hamilton)算子哈密頓算子是一個(gè)矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中有：故在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可寫為－－－計(jì)算式即第19頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式分別為第20頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：散度表示場中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率。也就是說在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來說所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。散度是一個(gè)標(biāo)量，它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。故散度用于研究矢量場標(biāo)量源在空間的分布狀況。在P點(diǎn)處，，表明在該點(diǎn)有散發(fā)通量之正源，稱為源點(diǎn)；，表明在該點(diǎn)有吸收通量之負(fù)源，稱為匯點(diǎn)；，表明在該點(diǎn)無通量源，稱為連續(xù)或無散的。第21頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3)高斯散度定理（DivergenceTheorem）

即矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量第22頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月【例1-3】在矢量場中，有一個(gè)邊長為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，如圖示。試求：(1)矢量場的散度；(2)從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。解：(1)根據(jù)散度計(jì)算公式得，(2)從單位立方體穿出的通量：第23頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月故從單位立方體內(nèi)穿出的通量為2，且高斯散度定理成立，即第24頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3.3矢量場的環(huán)量和旋度

1.環(huán)量定義(Circulation)設(shè)有矢量場，

為場中的一條封閉的有向曲線，則定義矢量場環(huán)繞閉合路徑

的線

積分為該矢量的環(huán)量，記作圖1-14矢量場的環(huán)量第25頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月環(huán)量是矢量在大范圍閉合曲線上的線積分，反映了閉合曲線內(nèi)旋渦場的分布情況。要分析每個(gè)點(diǎn)附近旋渦源的分布情況，引入旋度。矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場

性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。矢量的環(huán)量也是一標(biāo)量，如果，則表示閉合曲線內(nèi)有產(chǎn)生這種場的旋渦源；如果，則表示該封閉曲線內(nèi)無渦旋源。第26頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1)環(huán)量密度2.矢量場的旋度(curl)圖1-15閉合曲線方向與面元方向示意圖此極限值就是環(huán)量的面密度（即環(huán)量對(duì)面積的變化率）。第27頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月環(huán)量面密度與所圍成的面元的方向有關(guān)：如果圍成的面元矢量與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大；如果所取面元矢量與旋渦面的方向之間有一夾角，則環(huán)量面密度總小于最大值；如果面元矢量與旋渦面的方向相垂直，則環(huán)量面密度為零。

即在給定點(diǎn)上，不同路徑，環(huán)量面密度不同。故引入旋度來限制給定點(diǎn)上的環(huán)量面密度。2）旋度的定義旋渦面P第28頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月矢量場的旋度描述了矢量在該點(diǎn)的旋渦源強(qiáng)度，若在某區(qū)域中各點(diǎn)則稱矢量場無無旋場或者保守場。旋度的一個(gè)重要性質(zhì)是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即

旋度是一個(gè)矢量，模值等于矢量在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度；方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)，該面元的方向,它描述的是場分量沿著與它相垂直方向上的變化規(guī)律。第29頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為注：矢量在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式見附錄1（P237）。第30頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月3)斯托克斯定理（StokesTheorem）

斯托克斯定理完成矢量旋度的面積分與該矢量的線積分之間的互換。式中的方向與的方向成右手螺旋關(guān)系（證明略）。矢量場在閉合曲線上的環(huán)量等于閉合曲線

所包圍曲面

上旋度的總和。第31頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月【例1-4】已知一矢量場試求：(1)該矢量場的旋度；(2)該矢量場沿半徑為3的四分之一圓盤邊界的線積分，如圖示，驗(yàn)證斯托克斯定理。解：(1)(2)矢量沿四分之一圓盤邊界的線積分：第32頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系得：可見，斯托克斯定理成立。第33頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1-5在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點(diǎn)處的電位移矢量為求：1)穿過原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見下圖)。2)電位移矢量

的散度。解：1)由于球面的法線方向與的方向一致，所以第34頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4標(biāo)量場本節(jié)要點(diǎn)：－－考察標(biāo)量場在空間的分布及變化規(guī)律。等值面

方向?qū)?shù)梯度第36頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.1標(biāo)量場的等值面指在標(biāo)量場u(x,y,z)中，使其函數(shù)取相同數(shù)值的所有點(diǎn)組成的曲面，稱等值面。等值面方程表示為c為任意常數(shù)等值線（面）標(biāo)量場的等值面可以直觀地幫助我們了解標(biāo)量場在空間的分布情況。第37頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.2方向?qū)?shù)(DirectionalDerivative)1.方向?qū)?shù)的定義設(shè)P0是標(biāo)量場φ=φ(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上P0的鄰近取一點(diǎn)P，，如圖1-19所示。圖1-19u沿不同方向的變化率

如果當(dāng)P趨于P0時(shí)，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為第38頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月方向?qū)?shù)是函數(shù)在點(diǎn)P0處沿l方向?qū)嚯x的變化率。當(dāng)時(shí)表示在點(diǎn)p0處沿l方向是增加的，反之就減小。2.方向?qū)?shù)的計(jì)算公式在直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)u=u(x,y,z)在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處可微，則有第39頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦。1.4.3標(biāo)量場的梯度（Gradient）－－變化率最大的方向1.梯度的定義矢量的方向?yàn)楹瘮?shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向其大小就是這個(gè)最大變化率的值。第40頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中，梯度用哈密頓微分算子又可以表示為注：拉普拉斯算子，即直角系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式見附錄1（P237）。第41頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月2.梯度的性質(zhì)(1)方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即

(2)標(biāo)量場u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向，也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。(3)－－梯度的旋度為零。表明：如果一個(gè)矢量場滿足，即是一個(gè)無旋場，則矢量場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度來表示，即第42頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月該標(biāo)量函數(shù)稱為勢函數(shù)，對(duì)應(yīng)的矢量場稱有勢場。

例如，靜電場中的電場強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。3.梯度的積分標(biāo)量場的梯度是一個(gè)無旋場，有斯托克斯定理知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零。第43頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月積分與路徑無關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。如果一直一個(gè)無旋場，選定一個(gè)參考點(diǎn)(P1)，可求出標(biāo)量場u。

總之，一個(gè)標(biāo)量場，其梯度矢量一定為無旋場，無旋場沿閉合路徑的積分一定為零，故稱無旋場為保守場。第44頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。

解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或第45頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2求數(shù)量場在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為第46頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月而數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù)第47頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月證：因?yàn)槔?設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量的模，證明：第48頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月所以第49頁，課件共54頁，創(chuàng)作于2023年2月例4已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為，其中矢徑

為，且已知電場強(qiáng)度與電位的關(guān)系是，求電場強(qiáng)度。解：根據(jù)