高中數(shù)學(xué)必修1函數(shù)的基本性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)必修1函數(shù)的基本性質(zhì)高中數(shù)學(xué)必修1：函數(shù)的基本性質(zhì)1.奇偶性(1)定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性。如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：1.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；2.函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則-x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。(2)判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1.確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；2.確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；3.作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。(3)簡單性質(zhì)：1.一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；2.一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；3.設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）。注意：1.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2.必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)。(2)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。(3)設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x→u=g(x)的象集。1.若函數(shù)$u=g(x)$在區(qū)間$A$上是增（或減）函數(shù)，且函數(shù)$y=f(u)$在區(qū)間$B$上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)$y=f[g(x)]$在區(qū)間$A$上是增函數(shù)。2.若函數(shù)$u=g(x)$在區(qū)間$A$上是增（或減）函數(shù)，且函數(shù)$y=f(u)$在區(qū)間$B$上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)$y=f[g(x)]$在區(qū)間$A$上是減函數(shù)。判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：1.任取$x_1,x_2\inD$，且$x_1<x_2$。2.計算差$f(x_1)-f(x_2)$。3.進(jìn)行變形（通常是因式分解和配方）。4.判斷差$f(x_1)-f(x_2)$的正負(fù)。5.得出結(jié)論，即指出函數(shù)$f(x)$在給定的區(qū)間$D$上的單調(diào)性。簡單性質(zhì)如下：1.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同。2.偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。3.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)$f(x)+g(x)$是增函數(shù)，減函數(shù)$f(x)-g(x)$是減函數(shù)，增函數(shù)$f(x)-g(x)$是增函數(shù)，減函數(shù)$f(x)+g(x)$是減函數(shù)。函數(shù)的最大值和最小值的定義如下：最大值：一般地，設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的定義域為$I$，如果存在實數(shù)$M$滿足：①對于任意的$x\inI$，都有$f(x)\leqM$；②存在$x\inI$，使得$f(x)=M$。那么，稱$M$是函數(shù)$y=f(x)$的最大值。最小值：一般地，設(shè)函數(shù)$y=f(x)$的定義域為$I$，如果存在實數(shù)$M$滿足：①對于任意的$x\inI$，都有$f(x)\geqM$；②存在$x\inI$，使得$f(x)=M$。那么，稱$M$是函數(shù)$y=f(x)$的最小值。利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ㄈ缦拢?.利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?。2.利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?。3.利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[b,c]$上單調(diào)遞減，則函數(shù)$y=f(x)$在$x=b$處有最大值$f(b)$；如果函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[b,c]$上單調(diào)遞增，則函數(shù)$y=f(x)$在$x=b$處有最小值$f(b)$。4.周期性。定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)。性質(zhì)：①f(x+T)=f(x)常常寫作f(x)=f(x-T)，若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)，則稱它為T的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為T/|ω|。典例解析：【奇偶性典型例題】例1：以下五個函數(shù)：（1）y=x/(x^2+1)；（2）y=x+1；（3）y=2；（4）y=log2x；（5）y=log2(x+1/(4x))，其中奇函數(shù)是y=x/(x^2+1)，偶函數(shù)是y=log2x，非奇非偶函數(shù)是y=x+1和y=2。點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。題型二：奇偶性的應(yīng)用例2：設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=log3(1/5)。例3：已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f(x)=lg(1+x)，那么當(dāng)x∈（－1，0）時，f(x)的表達(dá)式是f(x)=-lg(1-x)。例4：若奇函數(shù)f(x)是定義在（－1，1）上的增函數(shù)，試求a的范圍：f(a-2)+f(a^2-4)<2。解：由已知得f(a-2)<-f(a-4)。因f(x)是奇函數(shù)，故-f(a-4)=f(4-a)，于是f(a-2)<f(4-a)。又f(x)是定義在（－1，1）上的增函數(shù)，從而-1<a-2<1，-1<a^2-4<1，即-3<a<3且-2<a^2-4<2。將這些不等式代入不等式f(a-2)+f(a^2-4)<2中，得到-2<f(a-2)+f(a^2-4)<2。因此，a的范圍是-2<a<2?！締握{(diào)性典型例題】例1：(1)設(shè)函數(shù)f(x)=(2a-1)x+b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為a≤1/2或a≥1；(2)函數(shù)y=x/(bx+c)(x∈[0，+∞))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是b<0。(3)已知f(x)在區(qū)間（－∞，+∞）上是減函數(shù)，a，b∈R且a+b≤0，則下列表達(dá)式正確的是f(a)+f(b)≥2f((a+b)/2)。C.$f(a)+f(b)\geq-[f(a)+f(b)]$D.$f(a)+f(b)\geqf(-a)+f(-b)$提示：$a+b\leq0$可轉(zhuǎn)化為$a\leq-b$和$b\leq-a$，利用函數(shù)單調(diào)性可得。(4)如右圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)$y=f(x)$的圖像，該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（圖略）。例2.畫出下列函數(shù)圖像并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)$y=-x+2|x|+1$(2)$y=|-x+2x+3|$例3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在$x>0$時是減函數(shù)。例4.設(shè)$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的函數(shù)，對$m,n\in\mathbb{R}$恒有$f(m+n)=f(m)\cdotf(n)$，且當(dāng)$x>0$時，$0<f(x)<1$。(1)求證：$f(0)=1$；(2)證明：對于$x\in\mathbb{R}$，恒有$f(x)>0$；(3)求證：$f(x)$在$\mathbb{R}$上是減函數(shù)；(4)若$f(x)\cdotf(2-x)>1$，求$x$的范圍。解：(1)取$m=0$，$n=x$，則$f(x)=f(0)\cdotf(x)$，因為$f(x)>0$，所以$f(0)=1$。(2)對于任意的$x\in\mathbb{R}$，取$m=x$，$n=-x$，則$f(0)=f(x)\cdotf(-x)$，因為$f(0)=1$，所以$f(x)>0$。(3)設(shè)$x_1<x_2$，則$f(x_1)-f(x_2)=f(x_1)-f(x_2-x_1+x_1)=f(x_1)-f(x_2-x_1)\cdotf(x_1)=f(x_1)\cdot[1-f(x_2-x_1)]$。因為$x_1<x_2$，所以$x_2-x_1>0$，所以$f(x_2-x_1)<1$，即$1-f(x_2-x_1)>0$，又因為$f(x_1)>0$，所以$f(x_1)\cdot[1-f(x_2-x_1)]>0$，即該函數(shù)在$\mathbb{R}$上是減函數(shù)。(4)因為$f(x)\cdotf(2-x)>1$，所以$f(x)\cdotf(-x+2)>1$。又因為$f(x)\cdotf(-x+2)=f(2x-x^2)$，所以$f(2x-x^2)>1$。因為$0<f(x)<1$，所以$f(2x-x^2)<1$的條件是$2x-x^2<0$，即$x^2-2x>0$，即$x<0$或$x>2$。所以$x\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)$。已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5。①證明：f(1)+f(4)=0；②求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；③求y=f(x)在[4,9]上的解析式。解：因為f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，所以f(4)=f(4-5)=f(-1)。又因為y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù)，所以f(1)=-f(-1)=-f(4)，因此f(1)+f(4)=0。當(dāng)x∈[1,4]時，由題意可設(shè)f(x)=a(x-2)-5(a>0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)-5+a(4-2)-5=0，因此a=2，于是f(x)=2(x-2)-5(1≤x≤4)。因為y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函數(shù)，所以f(0)=0。又知y=f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，因此可設(shè)f(x)=kx(0≤x≤1)，而f(1)=2(1-2)-5=-3，因此k=-3，于是當(dāng)0≤x≤1時，f(x