新高考數(shù)學復習考點知識歸類與題型專題講解訓練-專題7.4-數(shù)列求和

新高考數(shù)學復習考點知識歸類與題型專題講解訓練專題7.4數(shù)列求和【考綱要求】1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式及其應用.【知識清單】知識點1．數(shù)列求和1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項和公式一般地，設等比數(shù)列的前項和是，當時，或；當時，（錯位相減法）.3.數(shù)列前項和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.【考點梳理】考點一：公式法、分組轉(zhuǎn)化法求和【典例1】（2020屆山東省濟寧市第一中學高三二輪檢測）已知數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和.【典例2】（2019·湖南師大附中高考模擬（文））已知數(shù)列滿足，，其中為的前n項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【總結(jié)提升】1．公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和.2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．3．分組轉(zhuǎn)化求和法：有一類數(shù)列SKIPIF1<0，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列，則可以將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.4．倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前項和的公式的推導方法，如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前項和公式即是用此法推導的．5．并項求和法：一個數(shù)列的前項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如類型，可采用兩項合并求解．例如，.【變式探究】1.（2019·天津高考真題（理））設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.2.（2019·北京高考模擬（文））已知等比數(shù)列的首項為2，等差數(shù)列的前項和為，且，，.（Ⅰ）求，的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.考點二：錯位相減法求和【典例3】（2020·全國高考真題（理））設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【典例4】（2019·天津高考真題（文））設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設數(shù)列滿足求.【規(guī)律方法】1.錯位相減法求和的策略(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．2．錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前項和公式就是用此法推導的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0等比數(shù)列，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0兩式錯位相減并整理即得.【變式探究】1.（2020屆山東省六地市部分學校高三3月線考）數(shù)列滿足：（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.2.（2020屆山東省濰坊市高三模擬二）已知數(shù)列{an}的首項為a1＝1，且.（Ⅰ）證明：數(shù)列{an+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝log2（an+2）﹣log23，求數(shù)列的前n項和.考點三：裂項相消法求和【典例5】（2020屆山東省濰坊市高三下學期開學考試）已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．（1）在下列條件中選擇一個________使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列．（2）在（1）的條件下，當時，設，求數(shù)列的前n項和.【典例6】（2020·山東滕州市第一中學高三3月模擬）已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，證明：.【典例7】（2019·浙江高考真題）設等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記證明：【總結(jié)提升】1.裂項相消法求和的實質(zhì)和關鍵（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．2.常見“裂項”方法：【變式探究】1.（2018·天津高考真題（理））（2018年天津卷理）設{an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Sn(n∈N*)，{b（I）求{an}（II）設數(shù)列{Sn}的前n（i）求Tn（ii）證明k=1n2.（2019·天津南開中學高考模擬）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【總結(jié)提升】1．裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前SKIPIF1<0項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各項不為零的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等.用裂項相消法求和，2.需