人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義 同步教學(xué)課件3份打包

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第五章

5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

2.知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.

課標(biāo)要求

素養(yǎng)要求

根據(jù)具體的實(shí)例得到導(dǎo)數(shù)的概念，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)

課堂互動(dòng)

分層訓(xùn)練

內(nèi)容索引

課前預(yù)習(xí)

知識(shí)探究

1

1.平均變化率

對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，從x1到x2的平均變化率：

(1)自變量的改變量：Δx＝____________.

(2)函數(shù)值的改變量：Δy＝______________.

x2－x1

f(x2)－f(x1)

2.導(dǎo)數(shù)的概念

1.思考辨析，判斷正誤

×

(1)函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢程度.()

提示導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化的快慢程度，非在某區(qū)間上的.

(2)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無關(guān).()

√

√

2.設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為()

A.2.1B.1.1

C.2D.0

A

C

4.設(shè)f(x)＝2x＋1，則f′(1)＝________.

2

課堂互動(dòng)

題型剖析

2

題型一求函數(shù)的平均變化率

【例1】已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.

(1)計(jì)算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；

④0.01.

解∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，

(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算，當(dāng)Δx越來越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢(shì)？

解當(dāng)Δx越來越小時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3.3.

思維升華

【訓(xùn)練1】函數(shù)y＝x2從x0到x0＋Δx(Δx>0)的平均變化率為k1，從x0－Δx到x0的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系是()

A.k1>k2B.k10，∴k1>k2.

A

題型二導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用

思維升華

【例3】已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝k，求下列各式的值：

題型三導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用

思維升華

C

B

課堂小結(jié)

分層訓(xùn)練

素養(yǎng)提升

3

一、選擇題

1.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是()

B

A.1B.－1C.2D.－2

2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處附近有定義，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()

A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b

C

D

C

C

二、填空題

(Δx)2＋6Δx＋12

7.已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為－8，則f(x0)＝________.

9

得x0＝－2，所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.

-1

三、解答題

9.一條水管中流過的水量y(單位：m3)與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導(dǎo)數(shù)f′(2)，并解釋它的實(shí)際意義.

f′(2)的實(shí)際意義：水流在t＝2時(shí)的瞬時(shí)流速為3m3/s.

(2)∵Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，

AD

解析由導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān)，與h無關(guān)，故選AD.

12.過曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P(1，2)和Q(1＋Δx，2＋Δy)作曲線的割線，當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線的斜率k＝________，當(dāng)Δx＝0.001時(shí)，割線的斜率k＝________.

2.1

2.001

解析∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，

∴割線斜率為2＋Δx.

當(dāng)Δx＝0.1時(shí)，割線PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.

當(dāng)Δx＝0.001時(shí)，

割線PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.

13.巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽(yù)，登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖.同樣是登山，但是從A處到B處會(huì)感覺比較輕松，而從B處到C處感覺比較吃力.想想看，為什么？你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？

解山路從A到B高度的平均變化率為

山路從B到C高度的平均變化率為

∵h(yuǎn)BC>hAB，

∴山路從B到C比從A到B要陡峭的多.

2

本節(jié)內(nèi)容結(jié)束(共44張PPT)

第五章

5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

5.1.1變化率問題

1.通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程.

2.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.

課標(biāo)要求

素養(yǎng)要求

根據(jù)具體的實(shí)例計(jì)算平均變化率和瞬時(shí)變化率，并得到二者的關(guān)系，借此發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)

課堂互動(dòng)

分層訓(xùn)練

內(nèi)容索引

課前預(yù)習(xí)

知識(shí)探究

1

1.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率

(1)物體在__________的速度稱為瞬時(shí)速度.

某一時(shí)刻

2.曲線的切線斜率

斜率

切線

1.思考辨析，判斷正誤

(1)平均變化率與瞬時(shí)變化率可能相等.()

(2)在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，h(t0＋Δt)>h(t0).()

提示也可能有h(t0＋Δt)≤h(t0).

(3)瞬時(shí)速度是刻畫物體在區(qū)間[t0，t0＋Δt](Δt>0)上變化快慢的物理量.()

提示瞬時(shí)速度是刻畫物體在某一時(shí)刻速度的物理量.

(4)曲線在某點(diǎn)處的切線是過該點(diǎn)的割線的極限位置.()

√

×

×

√

2.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝t2＋2t＋3，則該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.4B.5C.6D.7

C

3.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為()

A.2B.3

C.－2D.－3

D

4.拋物線y＝x2＋4在點(diǎn)(1，5)處的切線的斜率為________.

2

課堂互動(dòng)

題型剖析

2

題型一求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度

(2)比較(1)中兩個(gè)平均速度的大小，說明其幾何意義.

思維升華

A

【例2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度.

題型二求瞬時(shí)速度

即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.

【遷移1】若本例中的條件不變，試求物體的初速度.

解求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，

∴(1＋Δt)＝1.即物體的初速度為1m/s.

【遷移2】若本例中的條件不變，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.

解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.

則2t0＋1＝9，∴t0＝4.

則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.

思維升華

【訓(xùn)練2】一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值.

解質(zhì)點(diǎn)M在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率.

∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均速度為

【例3】求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(diǎn)(1，2)處的切線方程.

題型三求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率或方程

可得切線的斜率為k＝Δx＝0.

所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，即y＝2.

求拋物線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟

思維升華

【訓(xùn)練3】求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2，2)處的切線方程.

則切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.

課堂小結(jié)

分層訓(xùn)練

素養(yǎng)提升

3

一、選擇題

1.已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(2，8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為()

A.4B.16C.8D.2

C

C

解析由瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系可知選C.

3.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()

A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1

C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－1

A

B

B

故切線的傾斜角為45°.

二、填空題

6.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是________.

3

7.拋物線f(x)＝x2－4x在(－1，5)處的切線方程為_____________.

6x＋y＋1＝0

所以切線方程為y－5＝－6(x＋1)，即6x＋y＋1＝0.

8.若拋物線f(x)＝4x2在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率為8，則x0＝________.

1

三、解答題

9.曲線f(x)＝x2上哪一點(diǎn)處的切線滿足下列條件？

(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；

解設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)，曲線f(x)＝x2在點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率為

(1)∵切線與直線y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，

y0＝4，即P(2，4)是滿足條件的點(diǎn).

(3)傾斜角為135°.

解因?yàn)榍芯€的傾斜角為135°，所以其斜率為－1，

11.(多選題)一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系是s＝3t－t2.則下列正確的是()

A.此物體的初速度是3m/s

B.此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度大小為1m/s，方向與初速度相反

C.t＝0到t＝2時(shí)平均速度1m/s

D.t＝3s時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s

ABC

即此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，方向與初速度相反，即B正確.

即t＝0到t＝2時(shí)的平均速度為1m/s.即C正確.

1

12.一質(zhì)點(diǎn)按照運(yùn)動(dòng)規(guī)律s＝2t2－t運(yùn)動(dòng)，其中s表示位移，t表示時(shí)間，則質(zhì)點(diǎn)在[2，2＋Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度是________，在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度是________.

7＋2Δt

7

解∵物體在t∈[3，5]上的時(shí)間變化量為Δt＝5－3＝2，

物體在t∈[3，5]上的位移變化量為

Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，

∴物體在t∈[3，5]上的平均速度為24m/s.

(2)物體的初速度v0；(3)物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.

解(2)求物體的初速度v0，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度.

t3

本節(jié)內(nèi)容結(jié)束(共44張PPT)

第五章

第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

課標(biāo)要求

素養(yǎng)要求

通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

課前預(yù)習(xí)

課堂互動(dòng)

分層訓(xùn)練

內(nèi)容索引

課前預(yù)習(xí)

知識(shí)探究

1

1.切線的概念

在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點(diǎn)P0(x0，f(x0))時(shí)，割線P0P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

點(diǎn)睛

(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0).此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).如果切線的傾斜角為α，則tanα＝f′(x0).

(2)若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)不存在，表明曲線在該點(diǎn)處有切線，且切線與x軸垂直或曲線在該點(diǎn)處無切線.

3.導(dǎo)函數(shù)

1.思考辨析，判斷正誤

×

(1)若f′(x0)＝0，則曲線在x＝x0處切線不存在.()

提示若f′(x0)＝0，則切線斜率為0，其切線存在，與x軸平行或重合.

(2)函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù).()

(3)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率.()

(4)直線與曲線相切，則直線與已知的曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).()

提示也可能有多個(gè)公共點(diǎn)，如曲線y＝x3在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝x3有兩個(gè)公共點(diǎn).

√

√

×

2.若曲線y＝h(x)在點(diǎn)P(a，h(a))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則()

A.h′(a)＝0B.h′(a)0D.h′(a)不存在

解析由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知h′(a)＝－2f′(xB)B.f′(xA)0B.f′(1)＝0

C.f′(1)<0D.f′(1)不存在

A

3.已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，f(x)圖象如圖所示，則下列不等式正確的是()

A

A.f′(a)<f′(b)<f′(c)

B.f′(b)<f′(c)<f′(a)

C.f′(a)<f′(c)<f′(b)

D.f′(c)<f′(a)<f′(b)

解析如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故選A.

4.曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x＋y＋1＝0，則()

A.a＝1，b＝1B.a＝－1，b＝1

C.a＝1，b＝－1D.a＝－1，b＝－1

D

5.(多選題)過點(diǎn)(2，0)作曲線f(x)＝x3的切線l，則直線l的方程可能為()

A.y＝0B.x＝0

C.12x－y－24＝0D.27x－y－54＝0

AD

把點(diǎn)(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.

當(dāng)x0＝0時(shí)，切線方程為y＝0；

當(dāng)x0＝3時(shí)，切點(diǎn)為(3，27)，斜率k＝27，故切線方程為y－27＝27(x－3)，

整理得27x－y－54＝0.

二、填空題

2

7.已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝4x，則m＝________，n＝________.

2

－3