江蘇省無錫市塘南中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

江蘇省無錫市塘南中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）上任一點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率k=（x0﹣2）（x0+1）2，則函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．兩個(gè) D．三個(gè)參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由題意可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（x0﹣2）（x0+1）2，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：由題意可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=（x0﹣2）（x0+1）2，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴f（x）在（﹣∞，2）遞減，在（2，+∞）遞增，∴f（x）在極小值是f（2），故函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值點(diǎn)，是一道基礎(chǔ)題．2.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（

）A．假設(shè)至少有一個(gè)鈍角

B．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角

D．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角參考答案：B略3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．參考答案：B4.用反證法證明“a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中最多只有一個(gè)是正數(shù)”，下列假設(shè)正確的是（

）A.有兩個(gè)數(shù)是正數(shù)

B.這三個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)C.至少有兩個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)

D.至少有兩個(gè)數(shù)是正數(shù)參考答案：D5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，從“”變到

“”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略6.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.或

參考答案：C7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i=（

）A．48

B．49

C．50

D．52參考答案：D8.針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則男生至少有（

）人．（K2≥k0）0．0500．010k03.8416.635A.12 B.6 C.10 D.18參考答案：A【分析】由題，設(shè)男生人數(shù)x，然后列聯(lián)表，求得觀測(cè)值，可得x的范圍，再利用人數(shù)比為整數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，則列聯(lián)表如下：

喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生女生總計(jì)

若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則即解得又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以男生至少有12人故選A【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目，總體方法是運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行分析求解，屬于中檔題.9.數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道證明題，以下四人中只有一人說了真話，只有一人會(huì)證明此題.甲：我不會(huì)證明；乙：丙會(huì)證明；丙：丁會(huì)證明；?。何也粫?huì)證明.根據(jù)以上條件，可以判定會(huì)證明此題的人是（

）A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：A10.命題“，”的否定為（

）A．，

B．,

C．,

D．,參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為

．參考答案：100【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【分析】計(jì)算分層抽樣的抽取比例和總體個(gè)數(shù)，利用樣本容量=總體個(gè)數(shù)×抽取比例計(jì)算n值．【解答】解：分層抽樣的抽取比例為=，總體個(gè)數(shù)為3500+1500=5000，∴樣本容量n=5000×=100．故答案為：100．12.已知函數(shù)g（x）=x2﹣2ax，f（x）=﹣ln（x+1），若存在x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]使得f′（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≥1【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問題；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先將問題等價(jià)為：f'（x）min≥g（x）min，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：根據(jù)任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f′（x1）＞g（x2）成立，只需滿足：f'（x）min≥g（x）min，而f'（x）=x2﹣，x∈[0，1]時(shí)為增函數(shù)，所以，f'（x）min=f（0）=﹣1，g（x）=x2﹣2ax的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，①若a＜1，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（1）=1﹣2a，因此，﹣1≥1﹣2a，解得a≥1，故此時(shí)不存在滿足條件的a值；②若1≤a≤2，則x∈[1，a]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈[a，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（a）=﹣a2，因此，﹣1≥﹣a2，解得a≤﹣1，或a≥1，故此時(shí)1≤a≤2；③若a＞2，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，g（x）min=g（2）=4﹣4a，因此﹣1≥4﹣4a：，解得a≥，故此時(shí)a＞2；綜上可得：a≥1故答案為：a≥113.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為2，.則對(duì)角線BD1的長(zhǎng)為__________．參考答案：【分析】由向量的方法計(jì)算，根據(jù)，由，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，又底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，，所以，，因此，.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查向量在立體幾何中的應(yīng)用，熟記向量的數(shù)量積運(yùn)算即可，屬于?？碱}型.

14.將編號(hào)1，2，3，4，5的小球放入編號(hào)1，2，3，4，5的盒子中，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，則至多有兩個(gè)小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同的放法共有種．參考答案：109【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】利用間接法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：5個(gè)球全排列為A55=120種情況3個(gè)球的編號(hào)與盒子的相同，先選出3個(gè)小球，放到對(duì)應(yīng)序號(hào)的盒子里，有C53=10種情況，另外2個(gè)球，有1種不同的放法，故10種情況4個(gè)球的編號(hào)與盒子的相同，有1種不同的放法，故至多有兩個(gè)小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同的放法共有120﹣10﹣1=109種不同的放法，故答案為：109．15.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABCD，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為________．參考答案：：：設(shè)正四棱錐底面中心為O，則由題意知O為半球所在球的球心，且SO⊥平面ABCD，設(shè)球的半徑為r，則OS＝OA＝OB＝OC＝OD＝r，所以AB＝r，S四邊形ABCD＝AB2＝2r2.所以正四棱錐的體積V1＝×S四邊形ABCD×OS＝×2r2×r＝.解得r＝.所以半球的體積V＝×πr3＝π×()3＝π.16.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為；參考答案：1017.復(fù)數(shù)z=為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是_________.參考答案：【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，其共軛?fù)數(shù)為.故答案為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知兩直線l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分別滿足下列條件的a，b的值．（1）直線l1過點(diǎn)（﹣3，﹣1），并且直線l1與l2垂直；（2）直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1，l2的距離相等．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）利用直線l1過點(diǎn)（﹣3，﹣1），直線l1與l2垂直，斜率之積為﹣1，得到兩個(gè)關(guān)系式，求出a，b的值．（2）類似（1）直線l1與直線l2平行，斜率相等，坐標(biāo)原點(diǎn)到l1，l2的距離相等，利用點(diǎn)到直線的距離相等．得到關(guān)系，求出a，b的值．【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴a（a﹣1）+（﹣b）?1=0，即a2﹣a﹣b=0①又點(diǎn)（﹣3，﹣1）在l1上，∴﹣3a+b+4=0②由①②得a=2，b=2．（2）∵l1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，故l1和l2的方程可分別表示為：（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，又原點(diǎn)到l1與l2的距離相等．∴4||=||，∴a=2或a=，∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系，兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．19.已知函數(shù)的極小值為.（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.參考答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）詳見解析【分析】（1）先由函數(shù)的極小值為，求出，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）不等式恒成立問題，通常采用最值法，方法一,令，可以證明，方法二,要證，即證，再構(gòu)造函數(shù)證明即可得解.【詳解】（1）由題得的定義域?yàn)椋?，令，解得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）方法一：要證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.由題知.因?yàn)?，所以，?方法二：由（1）知.解得，要證，即證.當(dāng)時(shí)，易知.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，即.令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，所以，則當(dāng)時(shí)，，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及證明不等式，屬綜合性較強(qiáng)的題型.20.某商場(chǎng)為了促銷，采用購(gòu)物打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購(gòu)物：①在1000元以上者按九五折優(yōu)惠；②在2000元以上者按九折優(yōu)惠；③在5000元以上者按八折優(yōu)惠。(1）寫出實(shí)際付款y（元）與購(gòu)物原價(jià)款x（元）的函數(shù)關(guān)系式；(2）寫出表示優(yōu)惠付款的算法；參考答案：（1）設(shè)購(gòu)物原價(jià)款數(shù)為元，實(shí)際付款為元，則實(shí)際付款方式可用分段函數(shù)表示為：(2）用條件語句表示表示為：21.已知p：?x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，q：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，若“p或q”為真，“p且q”為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】分別判斷出p，q為真時(shí)的m的范圍，通過討論p，q的真假，得到關(guān)于m的不等式組，取并集即可．【解答】解：∵p：?x∈R，不等式x2﹣mx+＞0恒成立，∴△=m2﹣6＜0，解得：﹣＜m＜；q：橢圓+=1的焦點(diǎn)在x軸上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，若“p或q”為真，“p且q”為假，則：p，q一真一假，p真q假時(shí)：，解得：﹣＜m＜2，p假q真時(shí)：，解得：≤m＜3，故m的范圍是（﹣，2）∪[，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的真假，考查不等式恒成立問題，考查橢圓問題，是一道基礎(chǔ)題．22.某高校在2017年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名學(xué)生的筆試成績(jī)（被抽取學(xué)生的成績(jī)均不低于分,且不高于分），按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如下左圖所示.（1）請(qǐng)先求出、、、的值，再在答題紙上補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，第4組中有ξ名學(xué)生被考官A面試，求ξ的分布列和