2023年湖南省長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.的相反數(shù)是()

A.B.C.D.

2.下列標(biāo)志中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是()

A.B.C.D.

3.月日，從長沙市文化和旅游廣電局了解到，“五一“假期全市接待游客萬人次，實現(xiàn)旅游總收入億元：與清明小長假相比，游客人數(shù)和旅游收入分別增長和以上全市列入省文旅廳統(tǒng)計監(jiān)測范圍的景區(qū)共接待游客萬人次，實現(xiàn)門票收入萬元，長沙成為“五一“全國旅游最熱門的城市之一萬元寫成科學(xué)記數(shù)法法的形式是()

A.B.C.D.

4.下列運算正確的是()

A.B.C.D.

5.石鼓廣場供游客休息的石板凳如圖所示，它的俯視圖是()

A.

B.

C.

D.

6.已知一組數(shù)據(jù)：，，，，，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是()

A.，B.，C.，D.，

7.一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.如果，那么下列不等式正確的是()

A.B.C.D.

9.如圖，中，，是的平分線，已知，，則的長為()

A.B.C.D.

10.我們把頂角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為如圖，在中，，，平分交于點，若，則的長為()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.分解因式：．

12.若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是______．

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，與位似，原點是位似中心，則點的坐標(biāo)是______．

14.若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．

15.已知圓錐的母線長為，底面半徑為，則它的側(cè)面展開扇形的面積為______．

16.如圖，是的外接圓，為直徑，是上一點，且，交的延長線于點．

若，則______；

若，，則的半徑長為______．

三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

計算：．

18.本小題分

先化簡再求值：，其中．

19.本小題分

如圖，在坡頂?shù)奶幍耐凰矫嫔嫌幸蛔怪庇谒矫娴慕ㄖ?，某同學(xué)再沿著坡度為：的斜坡攀行米到達了點，距建筑物底端為米，在坡頂處又測得該建筑物的頂端的仰角為，求建筑物的高度精確到．

求坡頂?shù)降孛娴木嚯x；

計算建筑物的高度參考數(shù)據(jù)：，，

20.本小題分

某縣教育局為了豐富初中學(xué)生的大課間活動，要求各學(xué)校開展形式多樣的陽光體育活動．某中學(xué)就“學(xué)生體育活動興趣愛好”的問題，隨機調(diào)查了本校某班的學(xué)生，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖：

在這次調(diào)查中，喜歡籃球項目的同學(xué)有______人，在扇形統(tǒng)計圖中，“乒乓球”的百分比為______，如果學(xué)校有名學(xué)生，估計全校學(xué)生中有______人喜歡籃球項目．

請將條形統(tǒng)計圖補充完整．

在被調(diào)查的學(xué)生中，喜歡籃球的有名女同學(xué)，其余為男同學(xué)．現(xiàn)要從中隨機抽取名同學(xué)代表班級參加?；@球隊，請直接寫出所抽取的名同學(xué)恰好是名女同學(xué)和名男同學(xué)的概率．

21.本小題分

如圖，在菱形中，對角線、相交于點，點是的中點，連接，過點作交的延長線于點，連接．

求證：≌；

判定四邊形的形狀并說明理由．

22.本小題分

某公司購買了、兩種型號的芯片，其中型芯片的單價比型芯片的單價少元，已知該公司用元購買型芯片的條數(shù)與用元購買型芯片的條數(shù)相等．

求該公司購買的、型芯片的單價各是多少元？

若兩種芯片共購買了條，其購買的總費用不少于元，且型的數(shù)量不高于型數(shù)量的倍，問一共有多少種購買方案，哪一種方案最省錢？

23.本小題分

如圖，、是以為直徑的上兩點，連接，，滿足，作交延長線于點，連接．

求證：是的切線；

若，

求的值；

求的值．

24.本小題分

如圖，已知矩形中，，，點為線段上一點，連接，以為邊作正方形，如圖所示連接、．

如圖，當(dāng)點在線段上時，求的長；

如圖，當(dāng)點在線段上運動時，求的最小值及此時的長；

當(dāng)點在線段上運動時，設(shè)的長為，是否存在的值使為等腰三角形，若存在則求出的值；若不存在請說明理由．

25.本小題分

定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)部分的圖象記為，將圖象沿翻折到右側(cè)后得到的圖象為，我們稱圖象，共同構(gòu)成的圖象稱為函數(shù)的“階共生函數(shù)”，如函數(shù)的“階共生函數(shù)”解析式為．

直接寫出直線：的“階共生函數(shù)”與軸的交點坐標(biāo)；

已知直線與的“階共生函數(shù)”共有三個交點，求此時的取值范圍；

若函數(shù)的“階共生函數(shù)”與直線恰有兩個不同的交點，求的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反數(shù)是．

故選：．

只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，由此即可得到答案．

本題考查相反數(shù)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．

2.【答案】

【解析】解：、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

故選：．

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后兩部分重合．

3.【答案】

【解析】解：萬．

故選：．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負整數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．

4.【答案】

【解析】解：、，故A不符合題意；

B、，故B不符合題意；

C、，故C符合題意；

D、，故D不符合題意；

故選：．

利用同底數(shù)冪的除法的法則，合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．

本題主要考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．

5.【答案】

【解析】解：從上面看，可得如下圖形：

故選：．

根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．

本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了平均數(shù)和眾數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．

根據(jù)眾數(shù)定義確定眾數(shù)；利用算術(shù)平均數(shù)的計算方法可以算得平均數(shù)．

【解答】

解：平均數(shù)，

數(shù)據(jù)出現(xiàn)了次，次數(shù)最多，

眾數(shù)是．

故選：．

7.【答案】

【解析】解：對于一次函數(shù)，

，

圖象經(jīng)過第二、四象限；

又，

一次函數(shù)的圖象與軸的交點在軸下方，即函數(shù)圖象還經(jīng)過第三象限，

一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限．

故選A．

因為，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到圖象經(jīng)過第二、四象限，圖象與軸的交點在軸下方，于是可判斷一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限．

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)，圖象經(jīng)過第二、四象限，隨的增大而減??；當(dāng)，經(jīng)圖象第一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)，一次函數(shù)的圖象與軸的交點在軸上方；當(dāng)，一次函數(shù)的圖象與軸的交點在軸下方．

8.【答案】

【解析】解：、在不等式的兩邊同時減去，不等號的方向不變，即，不符合題意；

B、在不等式的兩邊同時加上，不等號的方向不變，即，不符合題意；

C、在不等式的兩邊同時乘，不等號法方向改變，即，不符合題意；

D、在不等式的兩邊同時乘，不等號的方向不變，即，符合題意．

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)進行分析判斷．

本題主要考查了不等式的性質(zhì)．不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都加或減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．據(jù)此逐一判斷即可．

9.【答案】

【解析】解：，是的平分線，

，，

在中，，，

，

，

故選：．

先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，然后在中，利用勾股定理求出的長，進行計算即可解答．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：，，

，

平分，

，

，

，

，

是“黃金三角形”，

，

，

，

故選：．

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的定義可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得，進而可得，然后利用等角對等邊可得，從而可得是“黃金三角形”，最后進行計算即可解答．

本題考查了黃金分割，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握黃金分割，以及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：原式．

故答案為：．

首先提取公因式，進而利用完全平方公式分解因式得出答案．

此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：由題意得：，

解得：，

故答案為：．

根據(jù)二次根式有意義的條件和分母不為的條件可得，再解即可．

此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．

13.【答案】

【解析】解：與位似，原點是位似中心，

而，，，

，，

與的位似比為：，

，

點的坐標(biāo)是為，即．

故答案為：．

利用關(guān)于以原點為位似中心的對稱點的坐標(biāo)特征，通過點與點的坐標(biāo)得到位似比，然后根據(jù)位似比得到點坐標(biāo)．

本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，根據(jù)位似變換的概念得到∽是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式與一元二次方程根的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)一元二次方程根的情況知，解不等式即可．

【解答】

解：關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，

．

．

故答案為：．

15.【答案】

【解析】解：底面半徑為，圓錐的母線長為，

則圓錐側(cè)面展開圖的面積為

故答案為：．

圓錐的側(cè)面積．

本題考查圓錐的計算和扇形面積的計算，熟練掌握圓錐側(cè)面積公式是關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：，

，

故答案為：；

過點作于點，

，，

，

，

，

為直徑，

，

四邊形是矩形，

，

，

，

四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，

，

，

，

，

，

．

故答案為：．

由圓周角定理可得出答案；

過點作于點，證出，證明四邊形是矩形，得出，求出，證出，求出的長，由勾股定理可得出答案．

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】解：

．

【解析】根據(jù)實數(shù)的相關(guān)運算法則進行計算即可．

本題考查實數(shù)的運算，實數(shù)的相關(guān)運算法則是基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．

18.【答案】解：原式

，

將代入得，原式．

【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把的值代入進行計算即可．

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：過點作于，如圖所示，

斜坡的坡度為：，

，

設(shè)，則，

則，

，解得，

，

坡頂?shù)降孛娴木嚯x為米．

由題意得：，

在中，，

即，

解得，

古塔的高度約米．

【解析】過點作于，根據(jù)斜坡的坡度為：，得出，設(shè)，則，，求出值即可求解．

由題意易得，然后利用中，即可求解．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、銳角三角函數(shù)、坡角與坡度、矩形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解．

20.【答案】解：；；

如圖，

【解析】解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，

所以喜歡籃球項目的同學(xué)的人數(shù)人；

“乒乓球”的百分比，

因為人，

所以估計全校學(xué)生中有人喜歡籃球項目；

故答案為，，；

見答案；

畫樹狀圖為：

共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中所抽取的名同學(xué)恰好是名女同學(xué)和名男同學(xué)的結(jié)果數(shù)為，

所以所抽取的名同學(xué)恰好是名女同學(xué)和名男同學(xué)的概率．

先利用跳繩的人數(shù)和它所占的百分比計算出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)分別減去喜歡其它項目的人數(shù)可得到喜歡籃球項目的人數(shù)，再計算出喜歡乒乓球項目的百分比，然后用乘以樣本中喜歡籃球項目的百分比可估計全校學(xué)生中喜歡籃球項目的人數(shù)；

根據(jù)中計算的喜歡籃球的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可；

畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出所抽取的名同學(xué)恰好是名女同學(xué)和名男同學(xué)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解，

本題考查了列表法與樹狀圖法和統(tǒng)計圖以及用樣本評估總體．

21.【答案】證明：是的中點，

，

，

，

在和中

≌．

解：四邊形為矩形．

理由：≌，

，

，

四邊形為平行四邊形，

四邊形為菱形，

，

即，

平行四邊形為矩形．

【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．

利用全等三角形的判定定理即可．

先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合，即可得出結(jié)論．

22.【答案】解：設(shè)該公司購買的型芯片的單價是元，則型芯片的單價是元，

由題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，

，

答：該公司購買的型芯片的單價是元，型芯片的單價是元；

設(shè)購買型芯片為條，則購買型芯片為條，

由題意得：，

解得：，

為整數(shù)，

，，，，，，，

一共有種購買方案，

設(shè)總費用為元，

由題意得：，

，

隨的增大而減小，

當(dāng)時，的值最小，

此時，

答：一共有種購買方案，購買型芯片條，型芯片條最省錢．

【解析】設(shè)型芯片的單價為元條，則型芯片的單價為元條，根據(jù)數(shù)量總價單價結(jié)合用元購買型芯片的條數(shù)與用元購買型芯片的條數(shù)相等，列出分式方程，解方程即可；

設(shè)購買型芯片為條，則購買型芯片為條，根據(jù)購買的總費用不少于元，且型的數(shù)量不高于型數(shù)量的倍，列出一元一次不等式組，解得，得一共有種購買方案，再設(shè)總費用為元，由題意得，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組和一次函數(shù)關(guān)系式．

23.【答案】證明：連接，

，，

，

，

，

，

是的半徑，

是的切線；

解：，

設(shè)，，

連接，

是的直徑，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

；

，

，

，，

∽，

，

，

，

，

．

【解析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的判定得到，求得，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；設(shè)，，連接，根據(jù)圓周角定理得到，推出，根據(jù)相似三角形到現(xiàn)在得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到；

根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．

本題是圓的綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】解：四邊形是矩形，，，

，，，

四邊形是正方形，

，

點為線段上一點，點在線段上，

，

，

，

，

，

的長為．

如圖，作的外接圓，延長交于點，連接、，

，，

，

，，

，

，

，

點在與直線所夾的銳角為的直線上運動，

當(dāng)時，的值最小，

設(shè)交于點，作于點，

，，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，，，

≌，

，

，

的最小值為，此時的長為．

存在的值使為等腰三角形，

作于點，交于點，

，

，

，

，，

≌，

，，

，

四邊形是矩形，

，

，，

當(dāng)為等腰三角形，且時，如圖，

，，

，

解得，；

當(dāng)為等腰三角形，且時，如圖，

，于點，

，

，

解得；

當(dāng)為等腰三角形，且時，如圖，

，

，

解得，不符合題意，舍去，

綜上所述，的值為或或或．

【解析】由矩形的性質(zhì)得，，，由正方形的性質(zhì)得，當(dāng)點在線段上，則，所以，，由勾股定理得；

作的外接圓，延長交于點，連接、，則，，所