平面向量應(yīng)用舉例課件

2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5平面向量應(yīng)用舉例11.向量在幾何中的應(yīng)用2.向量在物理中的應(yīng)用解決的問(wèn)題：比如：距離、平行、三點(diǎn)共線、垂直、夾角等幾何問(wèn)題解決的問(wèn)題：比如：力、速度等物理問(wèn)題1.向量在幾何中的應(yīng)用2.向量在物理中的應(yīng)用解決的問(wèn)題：22.5.1平面幾何的向量方法2.5.1平面幾何的向量方法3例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？ABDCABCD特殊化探索：中，該關(guān)系是否依然成立？一般化例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)4例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè)其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示?！嗬?、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知5例2如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、

DC邊的中點(diǎn)，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC例2如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、D6解：設(shè)則由于與共線，故設(shè)又因?yàn)楣簿€，所以設(shè)因?yàn)樗訟BCDEFRT解：設(shè)7線，故AT=RT=TCABCDEFRT線，故AT=RT=TCABCDEFRT8（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：簡(jiǎn)述：形到向量向量的運(yùn)算向量和數(shù)到形（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元9練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設(shè)則，由此可得：即，得∠ACB=90°思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O102.5.2向量在物理中的應(yīng)用2.5.2向量在物理中的應(yīng)用11例1：同一平面內(nèi)，互成120?

的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力為零。BO120oabcDCA證：如圖，用a，b，c表示這3個(gè)共點(diǎn)力，且a，b，c互成120°，模相等，按照向量的加法運(yùn)算法則，有：

a+b+c=a+（b+c）=a+OD

又由三角形的知識(shí)知：三角形OBD為等邊三角形，故a與OD共線且模相等所以：OD

=-a，即有：

a+b+c=0

例1：同一平面內(nèi)，互成120?的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力12例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？分析：上述的問(wèn)題跟如圖所示的是同個(gè)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：

F2θF1FG用向量F1，F(xiàn)2，表示兩個(gè)提力，它們的合向量為F，物體的重力用向量G來(lái)表示，F(xiàn)1，F(xiàn)2的夾角為θ，如右圖所示，只要分清F，G和θ三者的關(guān)系，就得到了問(wèn)題得數(shù)學(xué)解釋！例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾13θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ為何值時(shí)，最小，最小值是多少？F1（2）能等于嗎？為什么？F1GF1解：不妨設(shè)=，由向量的

平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道：

=（*）

通過(guò)上面的式子，有：當(dāng)θ由0o到180o逐漸變大時(shí)，由0o到90o逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此：由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！

F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，當(dāng)θ=0o時(shí)，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，當(dāng)=

即θ=120o時(shí)，=

cos2θ12F1GF2θF1FGF2cos2θ探究：F1（2）能等14小結(jié)：（1）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問(wèn)題，我們要先把這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫(huà)出相關(guān)圖形！（2）、由物理中的矢量問(wèn)題化成數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題，用向量的有關(guān)法則解決問(wèn)題！（3）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問(wèn)題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。小結(jié)：（2）、由物理中的矢量問(wèn)題化成數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題，用向量15練習(xí)；（1）如圖所示，用兩條成120o的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是————。120o10NPQ瀑布θQ，60m(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？練習(xí)；120o10NPQ瀑布θQ，60m(2)如圖，今有一艘16P瀑布θV船V水V合的方向θPQ從圖上看，哪個(gè)速度（向量的模）最?。糠治觯河孟蛄縼?lái)分別表示河流的水流速度、船速和它們的合速度為、和，由題意，船的實(shí)際速度為向量其方向?yàn)榕R界方向，船只要朝著這個(gè)方向行駛，它就不會(huì)掉下瀑布，如（右）圖所示：PQV船V水V合=+V船V水V合解：由題意知：其方向?yàn)榕R界方向，設(shè)和夾角為θ，則最小劃速為：si