矩陣的三角分解法課件

回顧：定義

由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.性質(zhì)設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.回顧：定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初1若則則若則則若則則若則則若則則若則則23.2矩陣的三角分解法3.2.1高斯消去法的矩陣描述則有記為，3.2矩陣的三角分解法3.2.1高斯消去法的矩陣描3則有第次消元：化為故則有第次消元：化為故4又由于故均可逆。又由于故均可逆。5下三角矩陣下三角矩陣6記為，則上三角矩陣三角形矩陣和相乘，即因此高斯消去法的實質(zhì)是將系數(shù)矩陣分解為兩個3.2.2矩陣的直接三角分解定義3-2：分解。將矩陣分解成一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積，稱為對矩陣的三角分解，又稱記為，則上三角矩陣三角形矩陣和7注：依賴于消元過程。（1）矩陣的元素可以從的元素直接得到，不（2）分解不唯一。杜里特爾分解或為單位上三角矩陣時，分解是唯一的。當要求為單位下三角矩陣（3）的乘積，稱為杜里特爾分解；將分解為一個單位下三角陣和一個上三角陣的乘積，稱為克洛特分解；將分解為一個下三角陣和一個單位上三角陣單位上三角矩陣單位下三角矩陣克洛特分解注：依賴于消元過程。（1）矩陣的元素可以從8杜里特爾分解的唯一性（充分條件）：設有兩種分解，定理3-5：成一個單位下三角陣和一個非奇異的上三角陣的矩陣各階主子式不為零，則可惟一地分解乘積。因為欲證證明：（反證法）其中為單位下三角陣，為上三角陣。故均可逆。杜里特爾分解的唯一性（充分條件）：設有兩種9證。即分析知均為單位下三角陣，故也為單位下三角陣，故惟一性得因此則仍為單位下三角陣。同理為上三角陣。證。即分析知均為單位下三角陣，故10注：例定理中所述條件對克洛特分解也同樣適用。（1）（2）則應存在使定理中的條件是矩陣的各階主子式不為零，而不能改為的行列式不為零。設存在杜里特爾分解，故應有因此不存在杜里特爾分解。即矩陣非奇異不能保證其存在杜利特爾分解。注：例定理中所述條件對克洛特分解也同樣適用。（1）（2）則應11杜里特爾分解的步驟：設為，利用矩陣乘法分析第一行和第一列的元素可知故可得到的第一行元素和的第一列元素：杜里特爾分解的步驟：設為，利用矩陣乘12利用矩陣乘法分析第二行和第二列的其余元素，假設已經(jīng)得到的前行元素和的前列元素，利用矩陣乘法分析第行和第列的其余元素，利用矩陣乘法分析第二行和第二列的其余元素，假設已經(jīng)13矩陣的三角分解法ppt課件14分析的列的行分析的列的行15分析的列的行分析的列的行16綜上可得：依據(jù)上式可得到第行元素和的第列元素，綜上可得：依據(jù)上式可得到第行元素和17杜里特爾分解的手算步驟：先行后列，先后。杜里特爾分解的手算步驟：先行后列，先后。18矩陣的三角分解法ppt課件193.2.3用矩陣三角分解法解線性方程組即先求解令則方程組的求解可歸再求解結(jié)為求解兩個三角形方程組3.2.3用矩陣三角分解法解線性方程組即先求解令則方程20例3-8：用杜里特爾分解法求解方程組。由方程組對系數(shù)矩陣進行杜里特爾分解，解：例3-8：用杜里特爾分解法求解方程組。由方程組對系數(shù)矩陣進行21再由方程組注：（1）方程組與方程組為同解的方程組。（2）方法可將化為。對系數(shù)矩陣進行分解的同時，利用相同的再由方程組注：（1）方程組與方程組22（3）利用杜里特爾分解可解線性方程組系。系數(shù)矩陣相同，常數(shù)項不同（4）杜里特爾分解可用來求解矩陣的逆矩陣。則令求解該方程組系即可求得的逆矩陣。（3）利用杜里特爾分解可解線性方程組系。系數(shù)矩陣相同，（4）23克洛特分解為單位上三角矩陣類似杜里特爾分解的分析過程有先列后行，先

后。分析知其運算規(guī)則為：克洛特分解為單位上三角矩陣類似杜里特爾分解的分析過程24矩陣的三角分解法ppt課件253.2.4追趕法用于求解三對角方程組的方程組，稱為三對角方程組；形如其系數(shù)矩陣稱為三對角矩陣。3.2.4追趕法用于求解三對角方程組的方程組，稱為三對26對其進行克洛特分解：對其進行克洛特分解：27對其進行克洛特分解：分析上式可知計算順序為：即對其進行克洛特分解：分析上式可知計算順序為：即28矩陣的三角分解法ppt課件29即先解對三對角方程組的求解仍可轉(zhuǎn)化為令即“追”即先解對三對角方程組的求解仍可轉(zhuǎn)化為令即“追”30再解即“趕”上述求解方程組的方法稱為追趕法，也稱托馬斯法。再解即“趕”上述求解方程組的方法稱為追趕法，也稱托馬斯法。