多邊形的外角和學(xué)案人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

11.3多邊形及其內(nèi)角和11.3.3多邊形的外角和【知識(shí)重點(diǎn)】1.定理多邊形的外角和等于360°.多邊形的外角和是由多邊形內(nèi)、外角的關(guān)系推導(dǎo)出的，n邊形的外角和等于n×180°－(n－2)×180°＝360°.特別解讀1.多邊形的外角和是指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角的和.2.多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)無(wú)關(guān).2.常見(jiàn)應(yīng)用(1)已知外角度數(shù)求正多邊形的邊數(shù)；(2)已知正多邊形的邊數(shù)求外角度數(shù)，所用公式為360°【經(jīng)典例題】【例1】根據(jù)下列條件解決問(wèn)題：(1)一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，已知其中一個(gè)外角為72°，求該多邊形的邊數(shù)；(2)已知一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).解題秘方：根據(jù)多邊形的外角和定理計(jì)算.【同步練習(xí)】一、選擇題1．【2020·北京】正五邊形的外角和為()A．180° B．360°C．540° D．720°2．【2021·襄陽(yáng)】正多邊形的一個(gè)外角等于60°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A．3B．6C．9D．123．【2021·畢節(jié)】若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為()A．540° B．720°C．900° D．1080°4．【2020·西藏】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A．8 B．9C．10 D．115．【2020·德州】如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°，照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為()A．80米 B．96米C．64米 D．48米第5題圖第8題圖6．【2021·眉山】正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為()A．1∶3 B．1∶2C．2∶1 D．3∶17．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是()A．12 B．13C．14 D．158．如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是()A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.無(wú)法比較α與β的大小9．小范將幾塊六邊形紙片分別剪掉了一部分(虛線部分)，得到了一個(gè)新多邊形．若新多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則對(duì)應(yīng)的圖形是()二、填空題10．多邊形的外角和等于.11．若正n邊形的一個(gè)外角是36°，則n＝______.12．如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角．若∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.13．一個(gè)六邊形截去一個(gè)角后，所形成的多邊形的內(nèi)角和是.三、解答題14．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍．求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．15．一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°，求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．16．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為9∶2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．17．多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°.(1)求此多邊形的邊數(shù)；(2)此多邊形有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是確定的，為多少度？18．若過(guò)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒(méi)有對(duì)角線，k邊形有k條對(duì)角線，正h邊形的內(nèi)角和與外角和相等．求代數(shù)式h·(m－k)n的值．19．【2021·交大附中期末】(1)如圖①②，試探究∠1，∠2與∠3，∠4之間的數(shù)量關(guān)系；(2)請(qǐng)你用文字描述上述關(guān)系；(3)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：如圖③，AE，DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分線，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度數(shù)．參考答案【經(jīng)典例題】【例1】根據(jù)下列條件解決問(wèn)題：(1)一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，已知其中一個(gè)外角為72°，求該多邊形的邊數(shù)；(2)已知一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).解題秘方：根據(jù)多邊形的外角和定理計(jì)算.(1)解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n.根據(jù)多邊形的外角和為360°，得n×72°＝360°，解得n＝5．∴該多邊形的邊數(shù)為5.(2)解：∵多邊形的外角和為360°，∴360°÷30°=12.故這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12.【同步練習(xí)】一、選擇題1．【2020·北京】正五邊形的外角和為(B)A．180° B．360°C．540° D．720°2．【2021·襄陽(yáng)】正多邊形的一個(gè)外角等于60°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(B)A．3B．6C．9D．123．【2021·畢節(jié)】若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為(D)A．540° B．720°C．900° D．1080°4．【2020·西藏】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(C)A．8 B．9C．10 D．115．【2020·德州】如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45°，再沿直線前進(jìn)8米，又向左轉(zhuǎn)45°，照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為(C)A．80米 B．96米C．64米 D．48米第5題圖第8題圖6．【2021·眉山】正八邊形中，每個(gè)內(nèi)角與每個(gè)外角的度數(shù)之比為(D)A．1∶3 B．1∶2C．2∶1 D．3∶17．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°，則該多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是(C)A．12 B．13C．14 D．158．如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α，β，則正確的是(A)A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.無(wú)法比較α與β的大小9．小范將幾塊六邊形紙片分別剪掉了一部分(虛線部分)，得到了一個(gè)新多邊形．若新多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則對(duì)應(yīng)的圖形是(B)【解析】由新多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，可得新多邊形內(nèi)角和為360°×2＝720°，進(jìn)而得到新多邊形的邊數(shù)為6.對(duì)照各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.二、填空題10．多邊形的外角和等于.【答案】360°11．若正n邊形的一個(gè)外角是36°，則n＝______.【答案】1012．如圖，∠1，∠2，∠3，∠4是五邊形ABCDE的4個(gè)外角．若∠A＝120°，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____________.【答案】300°13．一個(gè)六邊形截去一個(gè)角后，所形成的多邊形的內(nèi)角和是.【答案】540°或720°或900°三、解答題14．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍．求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，(n－2)·180°＝360°×2，∴n＝6.15．一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角比一個(gè)內(nèi)角大60°，求這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)及邊數(shù)．解：設(shè)該正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是x°，相鄰?fù)饨鞘莥°，則得到一個(gè)方程組解得而任何多邊形的外角和是360°，則該正多邊形的邊數(shù)為360÷120=3.故這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60°，邊數(shù)是三條．16．已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等，一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比為9∶2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為9x，則一個(gè)外角的度數(shù)為2x，根據(jù)題意，得9x＋2x＝180°，解得x＝eq\f(180°,11).360°÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(180°,11)))＝11，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為11.17．多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°.(1)求此多邊形的邊數(shù)；解：設(shè)此多邊形的邊數(shù)為n，這個(gè)外角為x度，則0＜x＜180，根據(jù)題意得(n－2)·180＋x＝1350，∴n＝9＋eq\f(90－x,180).∵n為正整數(shù)，且0＜x＜180，∴90－x＝0，∴x＝90，則n＝9.即此多邊形的邊數(shù)為9.(2)此多邊形有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是確定的，為多少度？解：由(1)知此多邊形確定的內(nèi)角的度數(shù)為180°－90°＝90°.18．若過(guò)m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒(méi)有對(duì)角線，k邊形有k條對(duì)角線，正h邊形的內(nèi)角和與外角和相等．求代數(shù)式h·(m－k)n的值．解：∵m邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(m－3)條，∴m＝7＋3＝10.∵n邊形沒(méi)有對(duì)角線，∴n＝3.∵k邊形有k條對(duì)角線，∴eq\f(k,2)(k－3)＝k，得k＝5.∵正h邊形的內(nèi)角和與外角和相等，∴h＝4.∴h·(m－k)n＝4×(10－5)3＝500.19．【2021·交大附中期末】(1)如圖①②，試探究∠1，∠2與∠3，∠4之間的數(shù)量關(guān)系；解：設(shè)∠1的鄰補(bǔ)角為∠5，∠2的鄰補(bǔ)角為∠6.∵∠3，∠4，∠5，∠6是四邊形的四個(gè)內(nèi)角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.(2)請(qǐng)你用文字描述上述關(guān)系；解：在一個(gè)四邊形中，兩個(gè)外角的和等于與它們不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．(3)用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：如圖③，AE，DE分別