等腰三角形和直角三角形

第十七講

等腰三角形和直角三角形一、等腰三角形定義有_____相等的三角形性質(zhì)軸對(duì)稱性等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，___________________________________________________是它的對(duì)稱軸定理1.等腰三角形的兩個(gè)底角_____(簡稱：___________)2.等腰三角形頂角_______、底邊上的中線和底邊上的___相互重合(簡稱“三線合一”)底邊上的中線(或底邊上的高或頂角平分線)所在的直線相等等邊對(duì)等角平分線高兩邊判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也_____(簡寫為“___________”)相等等角對(duì)等邊二、等邊三角形定義_____相等的三角形性質(zhì)1.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都_____，并且每一個(gè)角都等于_____2.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有___條對(duì)稱軸判定1.三個(gè)角都_____的三角形2.有一個(gè)角是60°的_____三角形三邊相等60°三相等等腰三、線段的垂直平分線1.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離_____.2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的___________上.相等垂直平分線四、直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角_____(2)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_____(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的_____判定(1)定義法：有一個(gè)角是_____的三角形(2)兩個(gè)內(nèi)角_____的三角形(3)如果三角形一邊上的中線等于這條邊的_____，那么這個(gè)三角形為直角三角形互余一半一半直角互余一半五、勾股定理及逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么________.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足________，那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2六、命題、定理1.互逆命題：如果兩個(gè)命題的_____和_____正好相反，我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的_______.2.互逆定理：若一個(gè)定理的逆命題是正確的，那么它就是這個(gè)定理的逆定理，稱這兩個(gè)定理為_____定理.題設(shè)結(jié)論逆命題互逆【自我診斷】(打“√”或“×”)1.軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.()2.三角形紙片上有一點(diǎn)P，量得PA=3cm，PB=3cm，則點(diǎn)P一定在邊AB的垂直平分線上.()√√3.等腰三角形的一邊為3，另一邊為8，則這個(gè)三角形的周長為14或19. ()4.等腰三角形的底角取值范圍是：0°<底角<90°. ()5.“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”不適用于等邊三角形.()×√×6.有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形.()7.等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為.()×√8.直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊上的中線. ()9.三角形的三邊長a，b，c滿足2ab=(a+b)2-c2，則此三角形是直角三角形. ()10.一個(gè)定理的逆命題，稱為這個(gè)定理的逆定理.()√√×11.如圖，∠ABC=50°，AD垂直平分線段BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E，連接EC，則∠AEC的度數(shù)是115°.()√考點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)與判定【示范題1】(2017·內(nèi)江中考)如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足為點(diǎn)D，DE∥AC.求證：△BDE是等腰三角形.【思路點(diǎn)撥】直接利用平行線的性質(zhì)得出∠ADE=∠CAD，進(jìn)而利用角平分線的定義結(jié)合互余的性質(zhì)得出∠B=∠BDE，即可得出答案.【自主解答】∵DE∥AC，∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)的兩個(gè)技巧(1)有底邊中線(高線、角平分線)，優(yōu)先考慮“三線合一”；無底邊中線(高線、角平分線)，一般要用“等邊對(duì)等角”.(2)用“等邊對(duì)等角”求角的度數(shù)，若推理?xiàng)l件不足，往往需要設(shè)未知數(shù)列方程.【跟蹤訓(xùn)練】(2018·青島中考)如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn).沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕與BC交于點(diǎn)F.已知EF=，則BC的長是 (

)A. B. C.3 D.3

【解析】選B.∵沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴EF=AB，EF=，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC==3.考點(diǎn)二等邊三角形的性質(zhì)與判定【示范題2】(2018·福建中考)如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于 (

)A.15° B.30° C.45° D.60°【思路點(diǎn)撥】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進(jìn)而求出∠ECB=45°，即可得出結(jié)論.【自主解答】選A.∵在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】活用等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于60°的結(jié)論，所以要充分利用這些隱含條件，證明全等或者構(gòu)造全等.【跟蹤訓(xùn)練】(2017·攀枝花中考)如圖，D是等邊△ABC邊AB上的點(diǎn)，AD=2，BD=4.現(xiàn)將△ABC折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為EF，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上，則

=_______.

【解析】由題易知∠A=∠B=∠EDF=60°，∴∠AED=∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴=，由翻折易知EC=ED，F(xiàn)C=FD，∴=，∴=.答案：

考點(diǎn)三線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【示范題3】(2018·常德中考)如圖，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC=90°，AD=3，則CE的長為(

)A.6 B.5 C.4 D.3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答.【自主解答】選D.∵ED是BC的垂直平分線，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cosC=3.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】線段垂直平分線的應(yīng)用特征(1)線段垂直平分線中的兩組線段相等：①線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；②被垂直平分的線段，被分為兩條相等的線段.(2)當(dāng)出現(xiàn)“垂直平分”字眼或題目中有垂直，且垂足是中點(diǎn)時(shí)，要聯(lián)想到線段垂直平分線的性質(zhì).【跟蹤訓(xùn)練】(2018·襄陽中考)如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E.若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為 (

)A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm【解析】選B.由題意知MN垂直平分AC，則CE=AE=3；因D是AC垂直平分線上一點(diǎn)，∴CD=AD.∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm).∴AB+BC+AC=13+6=19(cm).考點(diǎn)四利用勾股定理求線段的長度【考情分析】利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，這類題常與正方形網(wǎng)格、平面直角坐標(biāo)系、折疊、旋轉(zhuǎn)、實(shí)際問題相結(jié)合.【示范題4】(2018·黃岡中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=(

)A.2 B.3 C.4 D.2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5，進(jìn)而得出DE=3，利用勾股定理解答即可.【自主解答】選C.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE為AB邊上的中線，∴CE=AE=5，又∵AD=2，∴DE=AE-AD=5-2=3，∵CD為AB邊上的高，∴∠CDE=90°，∴△CDE為直角三角形∴CD===4.命題角度1：運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何圖形的計(jì)算或證明【示范題1】(2016·益陽中考)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意利用勾股定理表示出AD2的值，進(jìn)而得出等式求出答案.【自主解答】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，設(shè)BD=x，則CD=14-x，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2，故152-x2=132-(14-x)2，解之得：x=9.∴AD=12.∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84.命題角度2：運(yùn)用勾股定理求點(diǎn)的坐標(biāo)【示范題2】(2016·臺(tái)州中考)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)1，2，過點(diǎn)B作PQ⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是 (

)A.

B.

C.

D.【思路點(diǎn)撥】直接利用勾股定理得出OC的長，進(jìn)而得出答案.【自主解答】選B.如圖所示：連接OC，由題意可得：OB=2，BC=1，則AC==，故點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是：.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】運(yùn)用勾股定理解決問題兩注意(1)題中有直角三角形可直接用，題中無直角三角形需要作垂線構(gòu)造直角三角形.(2)直角三角形兩邊已知可直接用，兩邊未全知需要設(shè)未知數(shù)列方程.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2018·襄陽中考)已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，則BC的長為________.

【解析】①如圖，由勾股定理得，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BD=3，BC=2.②如圖，由勾股定理得，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BD=5，BC=2.∴BC的長為2或2.答案：2或2

2.(2018·荊州中考)為了比較+1與的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1.通過計(jì)算可得

+1______.(填“>”或“<”或“=”)【解析】由BC=3，D在BC上且BD=AC=1得DC=2，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=，同理得AB=，在△ABD中，由構(gòu)成三角形的條件得AD+BD>AB，即

+1>.答案：>考點(diǎn)五勾股定理的逆定理【示范題5】(2018·曲靖中考)如圖：在△ABC中，AB=13，BC=12，點(diǎn)D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周長是

.

【思路點(diǎn)撥】利用中位線求得AC的長，再利用勾股定理的逆定理確定為直角三角形，從而求得CD的長，進(jìn)而得到答案.【自主解答】由于DE是△ABC的中位線，所以AC=5，由于AB=13，BC=12，52+122=132，因此△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線，因此CD=AB÷2=6.5，而AD=6.5，AC=5，所以△ACD的周長是6.5+6.5+5=18.答案：18【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】判定直角三角形的兩種方法(1)當(dāng)已知條件是“三條邊”或三邊的比時(shí)，利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形.(2)如果三角形某一邊的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【跟蹤訓(xùn)練】1.下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是 (

)A.3，4，4 B.3，4，5C.3，4，6 D.3，4，7【解題指南】在能夠組成三角形的條件下，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形，依此求解即可.【解析】選C.A.因?yàn)?2+42>42，所以三條線段能組成銳角三角形，不符合題意；B.因?yàn)?2+42=52，所以三條線段能組成直角三角形，不符合題意；C.因?yàn)?+4>6，且32+42<62，所以三條線段能組成鈍角三角形，符合題意；D.因?yàn)?+4=7，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意.2.下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是(

)A.30，40，50 B.7，12，13C.5，9，12 D.3，4，6【解析】選A.A.∵302+402=502，∴符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確；B.∵72+122≠132，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；C.∵52+92≠122，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；D.∵32+42≠62，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；故選A.考點(diǎn)六命題、定理及逆定理【示范題6】(2018·重慶中考B卷)下列命題是真命題的是 (

)A.如果一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)本身，