關(guān)于帶邊界條件的帶通解的變系數(shù)變程組的解

關(guān)于帶邊界條件的帶通解的變系數(shù)變程組的解

0耦合退化波動方程退化元方程廣泛應(yīng)用于不同的學(xué)科，如天地工程、氣候?qū)W、群體遺傳等。基于上述研究,本文研究以下耦合退化波動方程:邊界條件(t∈(0,T)):初始條件:其中:α是常數(shù)(α>0);a(x)>0,x∈(0,1]且a(0)=0。定義參數(shù)若μ1預(yù)備知識1.1取整形整整設(shè)函數(shù)a∈C([0,1])∩C其中:[·]表示取整。下面給出關(guān)于假設(shè)(5)的兩個簡單結(jié)論。在[x,1]上積分不等式可得:因此,當(dāng)μ假設(shè)(5)中(Ⅲ)等價于當(dāng)μ所以,1.2定義空間vpoincar本節(jié)介紹與退化算子相關(guān)的一些加權(quán)索伯列夫(Sobolev)空間,定義空間V顯然,V以及范數(shù)設(shè)則定義空間V為了方便,下面給出龐加萊(Poincaré)不等式的兩個簡單結(jié)論,即命題1和命題2命題1假設(shè)(5)成立,則以下不等式成立:其中:命題2假設(shè)(5)成立,則以下不等式成立:(Ⅰ)對于如果μ(Ⅱ)對于當(dāng)μ(Ⅲ)如果μ2能觀察任給a滿足假設(shè)(5),設(shè)μ當(dāng)μ當(dāng)μ為了方便,定義H2.1能量函數(shù)的建立定義Hilbert空間H類似于古典波方程的方法是H的弱解。當(dāng)U綜上可知,如果(u定義方程(1)的能量函數(shù)為:命題3假設(shè)(5)成立,(u,v)是方程(1)、邊界條件(2)和初始條件(3)的弱解,則:證明設(shè)(u,v)是方程(1)的弱解,方程(1)分別乘u由邊界條件(2)和a(0)=0有:故能量函數(shù)E2.2uch/poincar二元引理1當(dāng)T>0時,對方程(1)的任意弱解,知u并且證明設(shè)(u由由式(13)可得:將式(21)和式(22)代入式(20)中,即可得到式(19)。下證不等式(18),由不等式(7)和式(16)可得:利用不等式(6)、Cauchy不等式和Poincaré不等式,有:由等式(19)、不等式(23)和不等式(24)可推導(dǎo)出不等式(18),因此不等式(18)對方程(1)的古典解成立。引理2對方程(1)的任意弱解,當(dāng)T>0時有:證明假設(shè)(u,v)是方程(1)的古典解,將方程(1)中的兩個方程分別乘以u,v后相加,并在(0,T)×(0,1)上積分得:由定理1假設(shè)(5)成立,(u,v)是方程(1)、邊界條件(2)和初始條件(3)的弱解,則對ue02fT>0,有:其中:C證明設(shè)(u,v)是方程(1)的古典解,將式(19)的右端與式(25)的左端乘以由Cauchy不等式有:其中:C由不等式(23)、不等式(27)和不等式(28)即可證明不等式(26)成立。推論1假設(shè)(5)成立,如果其中:C2.3約化ut,x考慮耦合退化波動方程的控制系統(tǒng):其中:f,g∈L定義算子:其中:D(A定義1設(shè)f,g∈L則對任意的T>0有:其中:w和h是下列方程組的解,其中:β為常數(shù)且β>0。做變量替換u(t,x)=w(T-t,x),v(t,x)=h(T-t,x),可知方程組(32)有唯一解且連續(xù)依賴于初始條件。定理2假設(shè)(5)成立,則對任意T>T存在控制函數(shù)f,g∈L證明設(shè)在空間H其中:W由不等式(18)可知,Λ在H