專題1-4等式及不等式性質(zhì)應(yīng)用（講練）

專題等式與不等式性質(zhì)及應(yīng)用一、知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】一元二次“根的分布”【題型二】解一元二次含參不等式【題型三】整數(shù)解：一元二次不等式【題型四】保值函數(shù)：一元二次型【題型五】恒成立：一元二次型【題型六】做差法比較大小【題型七】作商法比較大小【題型八】不等式性質(zhì)求取值范圍【題型九】利用不等式性質(zhì)證明不等式【題型十】抽象不等式的應(yīng)用三、高考真題對(duì)點(diǎn)練四、最新?？碱}組練知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論一、等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a.(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.(4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正三、兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.依據(jù)如果a>b?a－b>0.如果a＝b?a－b＝0.如果a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小四、一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)五、一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．六、二次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??七、用一元二次不等式解決實(shí)際問題的步驟1．理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；2．建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題．3．解決這個(gè)一元二次不等式，得到實(shí)際問題的解．八、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系(1)三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：特別提醒：由于忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和不等號(hào)的開口易寫錯(cuò)不等式的解集形式九、含有絕對(duì)值的不等式基本性質(zhì)（1）若_;（2）若或;（3）熱點(diǎn)考題歸納【題型一】一元二次“根的分布”【典例分析】1．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先作出函數(shù)的圖象，然后結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，得到方程的一個(gè)根在，一個(gè)根在，結(jié)合一元二次方程的根的分布問題即可求解．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，則由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根；顯然不是方程的根；若是方程的根，則，此時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)方程和方程共有4個(gè)根，則函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；∴恰有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程恰有5個(gè)實(shí)根，等價(jià)于方程的一個(gè)根在，一個(gè)根在，令，則，∴，故選：B．2．（2022秋·廣東廣州·高三廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】參變分離可得在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值域，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，所以在區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，依題意與在內(nèi)有交點(diǎn)，所以.故選：B【提分秘籍】根的分布開口方向；判別式；對(duì)稱軸位置；（4）根的分布區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值正負(fù)（5）如果是“0”分布，可以用韋達(dá)定理【變式演練】1．（2022秋·江蘇南京·高三南京市雨花臺(tái)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合,,，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．(－，0) B．[0，1) C．[1，2) D．(0，2)【答案】C【分析】由題意可得=，又由，可得方程的兩個(gè)根中，一個(gè)根為0，一個(gè)根位于之間,結(jié)合韋達(dá)定理可得兩根為，，利用數(shù)軸即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，又因?yàn)椋?，方程必兩個(gè)根，一個(gè)根為0，一個(gè)根位于之間,由韋達(dá)定理可得,即有，所以方程即為,所以此方程的兩根為，.所以.故選：C.2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】討論a，確定，則可將化為，令，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可得，即可求得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，即為，不符合題意；故，即為，令，由于關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且分布在1的兩側(cè)，故時(shí)，，即，解得，故，故選：D3．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，那么兩個(gè)根的倒數(shù)和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【答案】B【分析】由判別式可解得，由根與系數(shù)關(guān)系可得，由的范圍結(jié)合不等式的性質(zhì)變形可得答案．【詳解】由題意可得，解得或，設(shè)兩個(gè)為，，由兩根為正根可得，解得，綜上知，.故兩個(gè)根的倒數(shù)和為，，，，故，，故兩個(gè)根的倒數(shù)和的最小值是.故選：B【題型二】解一元二次型含參不等式【典例分析】1．（2022秋·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可知，再利用中間量，根據(jù)與之間的關(guān)系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關(guān)系.【詳解】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.2．（2020秋·浙江臺(tái)州·高三臺(tái)州市黃巖中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】，由即解得那么不等式①又，當(dāng)時(shí)，取得最小值-1即函數(shù)的值域?yàn)椋粼坏仁降慕饧癁榭占?，則①的解集為空集，那么與值域的交集為空集所以，所以故選A.【提分秘籍】二次函數(shù)公式①一般式頂點(diǎn)式：y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a). ②頂點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，對(duì)稱軸是：x＝－eq\f(b,2a).③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)（1）一元二次不等式：一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均為常數(shù)，．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)：一般地，對(duì)于二次函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點(diǎn)．（3）二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系的圖象的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根的解集R的解集___________【變式演練】1．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考期中）若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】解不等式，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，求出不等式的解集，根據(jù)題意可得出集合的包含關(guān)系，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式可得，由可得，①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，此時(shí)，“”“”，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得或，由題意可知，或，所以，或，解得或，所以，；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，解不等式可得或，由題意可得或，所以，或，解得或，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故選：A.2．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次不等式的解集與二次方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理可得關(guān)系，代入所求不等式解不等式即可．【詳解】因?yàn)椴坏仁?，的解集為，所以且即，不等式等價(jià)于，即，，解得或，所以不等式的解集為：，故選：C．3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習(xí)）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，不等式ax2+（a-1）x-1<0的解集可能是（

）A．{} B．{x|x≠-1} C．{x|x<-1} D．R【答案】B【分析】根據(jù)因式分解求解不等式并分類討論即可得解.【詳解】①當(dāng)時(shí),ax2+（a-1）x-1<0可以轉(zhuǎn)化為，所以；②當(dāng)時(shí),ax2+（a-1）x-1<0可以轉(zhuǎn)化為，所以；③當(dāng)時(shí),(i),解集為，(ii),可以轉(zhuǎn)化為，解集為{x|x≠-1}(iii),解集為，綜上所述，不等式ax2+（a-1）x-1<0的解集可能是B.故選：B.【題型三】整數(shù)解：一元二次不等式【典例分析】1．（天津·高考真題）已知0<b<1+a，若關(guān)于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<6【答案】C【詳解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則有1－<0，此時(shí)>1，而0<b<1+a，故a>1，由不等式<0解得即要使該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），則有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，則1<a<3．2．（2022秋·安徽合肥·高三校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解不等式，得或，再分類討論不等式的解集，結(jié)合集合關(guān)系求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，得或解方程，得，（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即；綜上，可知的取值范圍為故選：B【變式演練】1．（2022秋·四川阿壩·高三?？计谥校╆P(guān)于x的不等式的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先解出不等式，根據(jù)不等式的解分類討論可得．【詳解】不等式化為，當(dāng)時(shí)，不等式無解，當(dāng)時(shí)，不等式解為，這里有且只有2個(gè)整數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，不等式解為，這里有且只有2個(gè)整數(shù)，則，綜上的取值范圍是．故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解一元二次不等式，對(duì)于含有參數(shù)的一元二次不等式需要分類討論才能求解．分類標(biāo)準(zhǔn)有三個(gè)層次：一是二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，二是相應(yīng)一元二次方程的判別式的正負(fù)，三在方程有解時(shí)，討論解的大小，以得出不等式的解．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論m與2的大小關(guān)系，求得不等式的解集，根據(jù)解集中恰有4個(gè)整數(shù)，確定m的取值范圍.【詳解】不等式即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這四個(gè)整數(shù)只能是3,4,5,6，故，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這四個(gè)整數(shù)只能是，故，，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：C3．（2022秋·高三單元測試）已知關(guān)于的不等式組僅有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式，得或，再分類討論不等式的解集，結(jié)合集合關(guān)系求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】解不等式，得或，解方程，得，．（1）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：，此時(shí)不等式組的解集為或，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即，（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為：此時(shí)不等式組的解集為，若不等式組的解集中僅有一個(gè)整數(shù)，則，即，綜上，可知的取值范圍為．故選：B.【題型四】保值函數(shù)：一元二次型【典例分析】1．（2023春·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在上單調(diào)遞增，根據(jù)題意有，即方程在有兩不同實(shí)數(shù)根，列出不等式組，求解即可．【詳解】函數(shù)開口向上且對(duì)稱軸為在上單調(diào)遞增．存在區(qū)間，使得在上的值域?yàn)椋瑒t有，即方程在有兩不同實(shí)數(shù)根．，解得，的取值范圍為.故選：D.2．（2023春·浙江寧波·高三寧波市北侖中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，建立方程組，等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次方程求根，建立不等式組，可得答案.【詳解】由函數(shù)，顯然該函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在上的值域?yàn)?，則，等價(jià)于存在兩個(gè)不相等且大于等于的實(shí)數(shù)根，且在上恒成立，則，解得.故選：D.【提分秘籍】把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.【變式演練】1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知，若存在實(shí)數(shù)，使得在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)值域和定義域列出方程組，由方程組將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而求解﹒【詳解】由題設(shè)可知為定義域上的增函數(shù)，要使在上的值域?yàn)?，則，則∴問題轉(zhuǎn)化為與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程在時(shí)有兩個(gè)根，令，則在時(shí)有兩個(gè)根，令則g(t)與y=m在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，g(t)對(duì)稱軸為，g(t)如圖：故：﹒故選：D﹒2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)閯t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即得，故可知是方程的兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出．【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，即可得到，即可知是方程的兩個(gè)不同非負(fù)實(shí)根，所以，解得．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3．（2021秋·高三單元測試）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，為非正的常數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若存在實(shí)數(shù)，使得的定義域與值域都為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合題意得出，由題意得出，兩式相加得出，可得出，從而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，適合.當(dāng)且時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).設(shè)，則，，此時(shí)，，且該函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)遞減，由題意可得，則點(diǎn)和點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.若，則這兩點(diǎn)均為第二象限，都在直線的上方，不可能關(guān)于直線對(duì)稱；若，則這兩點(diǎn)均為第四象限，都在直線的下方，不可能關(guān)于直線對(duì)稱.因此，.由，得，兩式相加得，即，（舍去）或，則.代入，得，，又，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)的定義域與值域問題，解題時(shí)要分析出函數(shù)的單調(diào)性及其他基本性質(zhì)進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.【題型五】恒成立：一元二次型【典例分析】1．（2022春·江蘇南京·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C，.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，并確定的取值范圍，再由關(guān)于的一元二次不等式恒成立，，求出間的不等量關(guān)系，利用的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】在中，，記，則.因?yàn)椋?，從而，所以可化為，即，恒成立，所以依題有，化簡得，即得恒成立，又由，得或.故選：A．【點(diǎn)睛】本題以一元二次不等式恒成立為背景，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查不等式的關(guān)系，屬于較難題.2．（2019秋·廣東廣州·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．（0，1）C． D．（﹣1，0）【答案】A【分析】首先由題意可得，再由對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)變形，然后求解對(duì)數(shù)不等式得答案.【詳解】由題意可得，第一個(gè)式子解得或；第二個(gè)式子化簡為，令，則，解得或，則或，則或.即或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【提分秘籍】恒成立分離參數(shù)型：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；【變式演練】1．（2013秋·河南三門峽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】試題分析：由題意知，t=ax2+2x+1要能取到所有正實(shí)數(shù)，拋物線要與x軸有交點(diǎn)，解判別式大于或等于0，解出自變量的取值范圍．對(duì)數(shù)a=0單獨(dú)討論，當(dāng)a>0時(shí)再討論．故要滿足題意，t=ax2+2x+1要能取到所有正實(shí)數(shù)，拋物線要與x軸有交點(diǎn)，∴△=22-4a≥0．解得a≥0且a≤1．故選A．2．（2021秋·江蘇·高三專題練習(xí)）對(duì)一切實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值恒為非負(fù)數(shù)，則最大值A(chǔ)． B． C．2 D．【答案】A【分析】先配方，然后利用基本不等式和放縮法求b﹣2a﹣的最大值．【詳解】解：f（x）＝ax2+bx+c＝a（x+）2+，∵二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c的值恒為非負(fù)數(shù)，∴a＞0且△＝b2﹣4ac≤0，∵a＜b，∴b＞0，c＞0，∴b2≤4ac，即，又因?yàn)?a+c≥（當(dāng)且僅當(dāng)4a＝c時(shí)，等號(hào)成立）∴b﹣2a﹣＝（2b﹣4a﹣c）＝[2b﹣（4a+c）]≤[2b﹣]≤[2b﹣2b]=0b﹣2a﹣?zhàn)畲髸r(shí)0，（當(dāng)且僅當(dāng)4a＝c時(shí)，等號(hào)成立）∴2b﹣4a﹣c的最大值的最大值是0，（當(dāng)且僅當(dāng)4a＝c時(shí)，等號(hào)成立）.故選A．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意問題等價(jià)于恒成立，討論a的取值，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】關(guān)于x的不等式的解集為，即恒成立．當(dāng)時(shí)，即a＝2時(shí)，不等式即﹣4＜0，顯然滿足條件．當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足且，解得．綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C．【題型六】做差法比較大小【典例分析】1．（2023春·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期末）已知，則必有（

）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】由，得，，再根據(jù)作差法變形兩兩判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，符?hào)不能確定，所以的大小不能確定所以且.故選：D.2．（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合基本不等式可得出、的大小關(guān)系，利用中間值結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)椋裕?，則，所以因?yàn)椋?，因此?故選：C.【提分秘籍】最差法比較大小：作差---變形---判斷正負(fù)其中難點(diǎn)在于恒等變形的方向和變形的技巧，變形的目的是為了判斷正負(fù)，所以可以因式分解，或者計(jì)算化簡，或者放縮為具體值，準(zhǔn)確計(jì)算找對(duì)變形方向是關(guān)鍵。【變式演練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】解：，∵∴故選：C.2．（2023春·湖北襄陽·高三襄陽市襄州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知正數(shù)m，n滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用比差法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較的大小即可.【詳解】由已知，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?，所以．故選：C．3．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用作差法結(jié)合基本不等式可得出、的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋矗忠驗(yàn)?，因此?故選：D.【題型七】做商法比較大小【典例分析】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則正數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式之間的互化，以及作商法比較大小，即可比較的大小，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及中間值法即可比較三者的大小.【詳解】由，得，由，得，因此，即；由，得，于是，所以正數(shù)的大小關(guān)系為.故選:A.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則正數(shù)，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求出m，n，p，再借助商值比較法及“媒介”數(shù)推理判斷作答.【詳解】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正數(shù)，，的大小關(guān)系為.故選：A【提分秘籍】兩個(gè)正數(shù)a，b，如果，運(yùn)用商比法，要注意兩個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)?！咀兪窖菥殹?．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知0<a<b<1，設(shè)m=blna，n=alnb，，則m，n，p的大小關(guān)系為A．m<n<p B．n<m<p C．p<m<n D．p<n<m【答案】A【分析】由給定條件可得，，再用作商法比較m，n的大小即可.【詳解】因0<a<b<1，則，且lna＜lnb＜0，即有，因此，，即p>0，又m<0，n<0，則，于是得m<n<0，所以m<n<p.故選：A2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用作商法，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式可得可知b、c的大小，再結(jié)合指對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知a、c的大小.【詳解】，即，∵，∴綜上，.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)計(jì)算確定出的正負(fù)，然后將的值與比較大小，由此確定出之間的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋郧?，所以，所以，故選：B.【題型八】不等式性質(zhì)求取值范圍【典例分析】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對(duì)一切，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，分析可得原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】∵，，則，∴，又∵，且，可得，令，則原題意等價(jià)于對(duì)一切，恒成立，∵的開口向下，對(duì)稱軸，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)，恒成立，等價(jià)于；對(duì)，恒成立，等價(jià)于.2．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）若關(guān)于的方程有三不等的實(shí)數(shù)根，且滿足其中兩根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可得：，根據(jù)題意分析可得，令，有題意分析可得，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】若，則至多有2個(gè)不相等的實(shí)根，由題意得：，設(shè)，則，即方程的根不會(huì)為0，即均不為0，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，不滿足題意，故，由題意，，可得，假設(shè)，則，這與均不為0相矛盾，故，由，整理可得，∵，令，則，∴或，由題意知：，則，假設(shè)同號(hào)，則，這與相矛盾，∴異號(hào)，則，故，∵，則，且，故，則，排除C、D；取，則，滿足上述分析，故符合題意，可得，排除B；故選：A．【提分秘籍】不等式性質(zhì)求取值范圍時(shí)，要注意整題換元思維。整體換元可以減少不等式運(yùn)算，增加等式運(yùn)算?！咀兪窖菥殹?．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C2．（2023·廣西南寧·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用一元二次方程根的分布求得關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，再利用不等式的性質(zhì)即可求得的取值范圍【詳解】由函數(shù)中，，，可知一元二次方程有二相異根，分別位于區(qū)間和內(nèi)則，即，即由，可得，則，即由，可得則，則綜上，的取值范圍為故選：B3．（2022秋·山東淄博·高三?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，，解得，則，結(jié)合的范圍即可求得．【詳解】解：令，，則，則，∵，∴．又，∴．∴．故選：B．【題型九】利用不等式性質(zhì)證明不等式【典例分析】1．（2020·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)函數(shù)，其中x，y，z均為正實(shí)數(shù)，則（

）A．既有最大值也有最小值B．有最大值但沒有最小值C．沒有最大值但有最小值D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】D【分析】先由糖水不等式可得，再根據(jù)極限可判斷既無最大值也無最小值．【詳解】解：注意到，一方面由糖水不等式可得，且，另一方面，把x當(dāng)作主元，令，當(dāng)時(shí)，，明顯當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，，明顯當(dāng)時(shí)，滿足，故既無最大值也無最小值．故選：D．2．（2022秋·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）“”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用充分與必要條件概念，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，不等式的性質(zhì)即可得解．【詳解】對(duì)于A，，則“”是“”的充分不必要條件，故A正確；對(duì)于B，，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則“”是“”的充要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，或，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤．故選：A．【變式演練】1．（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合為增函數(shù)以及不等式性質(zhì)可判定充分性，令，即，記，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合可判斷必要性【詳解】由題意，若，即，由于冪函數(shù)為上的增函數(shù)，故，由不等式的性質(zhì)，，即，故充分性成立；反之，若，不妨設(shè)，則，即，記，則故在上單調(diào)遞增，且，故若，則，即必要性成立.故“”是“”的充要條件故選：C2．（2021秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或賦值逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，則，故A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，又，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，，，故D選項(xiàng)不正確；故選：C3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)于ACD做差后分解因式，對(duì)于B直接分解因式，然后根據(jù)已知條件判定正負(fù)，進(jìn)而得出相應(yīng)大小關(guān)系，即可判定.【詳解】因?yàn)椋?，即，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，即，故C正確；，即，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，作差法比較大小，難點(diǎn)是四項(xiàng)式分解因式，注意要適當(dāng)兩兩結(jié)合，提取公因式，再進(jìn)行分解.【題型十】抽象不等式的應(yīng)用【典例分析】1．（2011·四川成都·高三階段練習(xí)）若是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有和，且，則的值是A．2008 B．2009 C．2010 D．2011【答案】C【分析】利用兩個(gè)不等式，得到且，通過兩邊夾的性質(zhì)得到，再利用周期性求出值．【詳解】解答：解：即故選C．【點(diǎn)睛】本題考查通過不等式的性質(zhì)：兩邊夾，由不等式得到等式、考查函數(shù)取值的周期性，屬于簡單題．2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件賦值求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】因?yàn)?，，令，易得．因?yàn)槭嵌x在上的減函數(shù)，且，所以，解得．故選：A．【提分秘籍】抽象不等式，多借助單調(diào)新，奇偶性，函數(shù)平移等來求解【變式演練】1．（2018秋·河北保定·高三定州一中階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)在上是減函數(shù)，若是奇函數(shù)，且,則不等式的解集是A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵是奇函數(shù)，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（0,0），∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.又函數(shù)在上是減函數(shù)，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，且.∵，∴．畫出函數(shù)圖象的草圖（如圖）．結(jié)合圖象可得的解集是．選C．2.（2020秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋舨坏仁降慕饧癁?，則不等式的解集為．【答案】【分析】首先不等式要有意義，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域先取交集，然后再根據(jù)的解集為，利用補(bǔ)集法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋詢蓚€(gè)函數(shù)的定義域的交集為，又因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以不等式的解集為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與不等式以及補(bǔ)集的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．（2022秋·上海寶山·高三上海市吳淞中學(xué)校考開學(xué)考試）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，且，則不等式的解集為.【答案】【解析】先由定義域?yàn)镽的奇函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，且，畫出的草圖，結(jié)合圖像對(duì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，解不等式即可.【詳解】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，有，∴在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)且，可作出的草圖：不等式可化為：或?qū)τ冢?dāng)時(shí)，無解；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由圖像觀察，解得：所以不等式的解集為.故答案為：高考真題對(duì)點(diǎn)練1．（全國·高考真題）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分類討論解絕對(duì)值不等式與分式不等式即可.【詳解】，，且，且，解得：，故不等式的解集是，故選：D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．3．（上?！じ呖颊骖}）若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式恒成立的是（

）A．< B．a(chǎn)2>b2C．> D．a(chǎn)|c|>b|c|【答案】C【分析】舉特例即可判斷選項(xiàng)A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C即可作答.【詳解】當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，滿足a>b，但，a2<b2，排除A，B；因>0，a>b，由不等式性質(zhì)得，C正確；當(dāng)c=0時(shí)，a|c|>b|c|不成立，排除D，故選：C4．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，不等式的解集，故選：A.5．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.【點(diǎn)睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.6．（2015·天津·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A7．（江西·高考真題）若不等式對(duì)于一切恒成立，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】采用分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為“對(duì)一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)于一切恒成立，所以對(duì)一切恒成立，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，所以的最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題，難度一般.不等式在給定區(qū)間上恒成立求解參數(shù)范圍的兩種方法：參變分離法、分類討論法.8．（北京·高考真題）已知，，，均為實(shí)數(shù)，有下列命題：（1）若，，則；（2）若，，則；（3）若，，則，其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題就是，，三個(gè)結(jié)論之間輪換，知二推一，利用不等關(guān)系證明即可．【詳解】解：對(duì)于（1），將不等式兩邊同時(shí)除以所以（1）正確對(duì)于（2），將不等式兩邊同時(shí)乘以

所以（2）正確對(duì)于（3）又所以（3）正確故選：．【點(diǎn)睛】本題考查不等式與不等關(guān)系的靈活運(yùn)用，以及不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．10．（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD最新模考真題一、單選題1．（2022·四川綿陽·鹽亭中學(xué)校考模擬預(yù)測）若?，則下列不等式中正確的是（

）A．?B．?C．?D．?【答案】D【分析】依據(jù)對(duì)和選項(xiàng)進(jìn)行分析，在分析過程中涉及基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)?，所以，則.所以即，AB錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，則，?C錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以則，?D正確.故選：D2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知命題：任意，使為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由題意可得任意，恒成立，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式求的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，原命題等價(jià)于：任意，使為真命題，所以，其中設(shè)，則函數(shù)，的最大值為與中的較大者，所以，∴，解得，故選：C.3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，為正實(shí)數(shù)，，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等號(hào)成立條件得出，即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，所以，故選：D．4．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則、、這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，結(jié)合換底公式與基本不等式即可判斷得、、的大小.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，綜上：.故選：C.5．（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)可知，為真命題，即恒成立.利用基本不等式求得，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題知，命題“”為假命題，則為真命題，即恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以.故選：B6．（2022·天津北辰·天津市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，畫出圖形，結(jié)合，分和進(jìn)行討論，解得的范圍，從而即可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖，因?yàn)?，若，由在上單調(diào)遞增，且，則，解得；若，則，解得；綜上，，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.7．（2023山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域，然后根據(jù)存在實(shí)數(shù)，使得成立，得到，即，解得，即可得到所求的范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴．綜上可得．若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，即，整理得，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．8．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)恒有，則實(shí)數(shù)的