專題13函數(shù)模型及應(yīng)用（原卷版）

專題13函數(shù)模型及應(yīng)用專題13函數(shù)模型及應(yīng)用№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題13函數(shù)模型及應(yīng)用命題解讀命題預(yù)測(cè)復(fù)習(xí)建議函數(shù)模型是建立在各種函數(shù)基礎(chǔ)之上的，對(duì)于函數(shù)模型的考察主要集中在模型的建立，求解和實(shí)際應(yīng)用上，因此在此節(jié)中，要學(xué)會(huì)解讀實(shí)際問題，高考對(duì)于這部分的要求也越來越高，年年出題考察.預(yù)計(jì)2024年的高考函數(shù)模型及其應(yīng)用還是必考題，多見于選擇或者填空，要重視模型的建立.集合復(fù)習(xí)策略：1.認(rèn)清給定的函數(shù)模型，理解函數(shù)模型的應(yīng)用；2.結(jié)合實(shí)際情景選定模型；3.能利用函數(shù)模型的圖象性質(zhì)求解實(shí)際問題.→?考點(diǎn)精析←一、.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同二、幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a、b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)三、解函數(shù)應(yīng)用題的步驟第一步：閱讀理解題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．第二步：引用數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型．一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時(shí)引入其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果．第四步：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答．→?真題精講←1.【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】．志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名2.【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．693.【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69) C．2.5天 4.【2019年高考北京理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽(yáng)的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 C．lg10.1 D．10?5.【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B． C． D．→?模擬精練←1．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）星載激光束與潛艇通信傳輸中會(huì)發(fā)生信號(hào)能量衰減．已知一星載激光通信系統(tǒng)在近海水下某深度的能量估算公式為，其中EP是激光器輸出的單脈沖能量，Er是水下潛艇接收到的光脈沖能量，S為光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積（單位：km2，光斑面積與衛(wèi)星高度有關(guān)）．若水下潛艇光學(xué)天線接收到信號(hào)能量衰減T滿足（單位：dB）．當(dāng)衛(wèi)星達(dá)到一定高度時(shí)，該激光器光脈沖在潛艇接收平面的光斑面積為75km2，則此時(shí)Γ大小約為（

）（參考數(shù)據(jù)：1g2≈0.301） 2，環(huán)境溫度是，則經(jīng)過物體的溫度將滿足，其中的物體，若放在的空氣中冷卻，經(jīng)過物體的溫度為，則若使物體的溫度為，需要冷卻（

）A． B． C． D．3，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：） 4．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的.如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍.如果每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，那么大約經(jīng)過（

）天后“進(jìn)步”的是“退步”的一萬(wàn)倍.（）A．20 B．21 C．22 D．235.【2020山東省高一期末】如圖，某湖泊的藍(lán)藻的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系滿足，則下列說法正確的是（）A．藍(lán)藻面積每個(gè)月的增長(zhǎng)率為B．藍(lán)藻每個(gè)月增加的面積都相等C．第6個(gè)月時(shí)，藍(lán)藻面積就會(huì)超過D．若藍(lán)藻面積蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則一定有6.【2019湖北八校聯(lián)考】某人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)繪制了2018年春節(jié)前后，從12月21日至1月8日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時(shí)間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．7.【2020江蘇省鹽城市第一中學(xué)高三調(diào)研】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元／千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．（Ⅰ）求的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?→?專題訓(xùn)練←1、已知某種藥物在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物2500mg，設(shè)經(jīng)過x個(gè)小時(shí)后，藥物在病人血液中的量為ymg．（1）y與x的關(guān)系式為；（2）當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有療效；而低于500mg，病人就有危險(xiǎn)，要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥物的時(shí)間不能超過小時(shí)（精確到0.1）．≈0.1）2、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某醫(yī)療設(shè)備公司生產(chǎn)某醫(yī)療器材，已知每月生產(chǎn)臺(tái)的收益函數(shù)為（單位：萬(wàn)元），成本函數(shù)（單位：萬(wàn)元），該公司每月最多生產(chǎn)臺(tái)該醫(yī)療器材．（利潤(rùn)函數(shù)=收益函數(shù)－成本函數(shù)）（1）求利潤(rùn)函數(shù)及邊際利潤(rùn)函數(shù)；（2）此公司每月生產(chǎn)多少臺(tái)該醫(yī)療器材時(shí)每臺(tái)的平均利潤(rùn)最大，最大值為多少?（精確到）（3）求為何值時(shí)利潤(rùn)函數(shù)取得最大值，并解釋邊際利潤(rùn)函數(shù)的實(shí)際意義．3.（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知某工廠每天固定成本是4萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為元時(shí)，生產(chǎn)件產(chǎn)品的銷售收入是（元），為每天生產(chǎn)件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（平均利潤(rùn)＝總利潤(rùn)/總產(chǎn)量）.銷售商從工廠每件元進(jìn)貨后又以每件元銷售，，其中為最高限價(jià)，為銷售樂觀系數(shù)，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，是由當(dāng)是，的比例中項(xiàng)時(shí)來確定.（1）每天生產(chǎn)量為多少時(shí)，平均利潤(rùn)取得最大值？并求的最大值；（2）求樂觀系數(shù)的值；（3）若，當(dāng)廠家平均利潤(rùn)最大時(shí)，求與的值.二次函數(shù)模型1、A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km．已知供電費(fèi)用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0．25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用y最少？2、某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(萬(wàn)元)；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80千件時(shí)，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(萬(wàn)元)．通過市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為500元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完．(1)寫出年利潤(rùn)L(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型3、諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放方式為每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6．24%．資料顯示：1999年諾貝爾獎(jiǎng)金發(fā)放后基金總額約為19800萬(wàn)美元．設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后的基金總額(1999年記為f(1)，2000年記為f(2)，…，依次類推)．(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2009年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬(wàn)美元”是否為真，并說明理由．(參考數(shù)據(jù)：1．03129＝1．32)4、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度