2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何第四講直線平面垂直的判定及性質(zhì)課件文

第八章立體幾何第四講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)要點(diǎn)提煉

直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)11.直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的_______________直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直.2.直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條______直線都垂直,則該直線與此平面垂直.

性質(zhì)定理垂直于________平面的兩條直線平行.

任何一條相交同一個(gè)l⊥αa∥b

直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)1規(guī)律總結(jié)

垂直關(guān)系中常用的6個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).(2)若兩條平行線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,則另一條直線也垂直于這個(gè)平面.(3)若一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面,則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.(4)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.(5)三垂線定理:平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.(6)三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直.

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)21.平面與平面垂直的定義一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是

角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.直二面

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)2

文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_______則這兩個(gè)平面垂直.性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)___________的直線與另一個(gè)平面垂直.

2.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理垂線l⊥α垂直于交線l⊥a理解自測1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“?”).(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則l⊥a.(

)(2)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個(gè)平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(

)(3)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(

)(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(

)2.[教材改編]下列命題中不正確的是(

)A.如果平面α⊥平面β,且直線l∥平面α,則直線l⊥平面βB.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ?√??A考向掃描

線面垂直的判定與性質(zhì)考向11.典例[2019全國卷Ⅱ][文]如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)證明:BE⊥平面EB1C1.(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.

線面垂直的判定與性質(zhì)考向1

線面垂直的判定與性質(zhì)考向1方法技巧1.證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b?α,c?α?a⊥α);(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a?β?a⊥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);(4)a∥b,a⊥α?b⊥α.2.證明線線垂直的常用方法(1)利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直;(2)計(jì)算兩條直線的夾角為90°或運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷垂直.

線面垂直的判定與性質(zhì)考向13.證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.思維流程如下:

線面垂直的判定與性質(zhì)考向1

線面垂直的判定與性質(zhì)考向1

線面垂直的判定與性質(zhì)考向1

面面垂直的判定與性質(zhì)考向23.典例[2022陜西百校聯(lián)考]如圖,在四棱錐A-BCDE中,BC∥DE,BE⊥BC,AB=BC=AC=2DE=2BE=AD=2.(1)證明:平面BCDE⊥平面ABC.(2)經(jīng)過A,D的平面α將四棱錐A-BCDE分成的左、右兩部分的體積之比為1∶2,求平面α截四棱錐A-BCDE的截面面積.

面面垂直的判定與性質(zhì)考向2

面面垂直的判定與性質(zhì)考向2

面面垂直的判定與性質(zhì)考向2方法技巧證明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.(2)利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,進(jìn)而把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.

面面垂直的判定與性質(zhì)考向24.變式[2018北京高考][文]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:PE⊥BC.(Ⅱ)求證:平面PAB⊥平面PCD.(Ⅲ)求證:EF∥平面PCD.

面面垂直的判定與性質(zhì)考向2解析

(Ⅰ)因?yàn)镻A=PD,且E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(Ⅱ)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.(面面垂直的性質(zhì)定理)所以AB⊥PD.(線面垂直的性質(zhì)定理)又PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以PD⊥平面PAB,(線面垂直的判定定理)又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(面面垂直的判定定理)

面面垂直的判定與性質(zhì)考向2

攻堅(jiān)克難

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法5.典例如圖,在圓柱中,點(diǎn)O1,O2分別為上、下底面圓的圓心,平面MNFE是軸截面,點(diǎn)H在上底面圓周上(異于N,F),點(diǎn)G為下底面圓弧ME的中點(diǎn),點(diǎn)H與點(diǎn)G在平面MNFE的同側(cè),圓柱的底面圓的半徑為1.(1)若平面FNH⊥平面NHG,證明NG⊥FH;(2)若直線O1H∥平面FGE,求點(diǎn)H到平面FGE的距離.

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法

解析

(1)因?yàn)槠矫鍲NH⊥平面NHG,平面FNH∩平面NHG=NH,NH⊥FH,FH?平面FNH,所以FH⊥平面NHG,(面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直)又NG?平面NHG,所以FH⊥NG.(線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直)（2）如圖所示,連接O1O2,O2H,因?yàn)镺1O2∥EF,O1O2?平面FGE,EF?平面FGE,所以O(shè)1O2∥平面FGE.(線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行)又O1H∥平面FGE,O1H∩O1O2=O1,所以平面O1HO2∥平面FGE,(線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行)

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法

所以點(diǎn)H到平面FGE的距離等于點(diǎn)O2到平面FGE的距離.(根據(jù)面面平行的性質(zhì),實(shí)施“距離”轉(zhuǎn)化)

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法方法技巧轉(zhuǎn)化思想常用來解決立體幾何中的體積問題,線面平行、垂直問題,當(dāng)體積不易直接求解時(shí),可轉(zhuǎn)換底面和高求解,線面位置關(guān)系問題常通過線線、線面、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化求解.

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法

轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用思想方法

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索17.典例[2019北京高考][文]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAC.(Ⅱ)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE.(Ⅲ)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE?說明理由.

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1解析

(Ⅰ)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BD⊥AC.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,所以PA⊥AE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,∠ABC=60°,且E為CD的中點(diǎn),所以AE⊥CD,所以AB⊥AE.又PA∩AB=A,所以AE⊥平面PAB.又AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE.

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1方法技巧1.求解立體幾何中的探索性問題的策略條件追溯型解題策略一般是先假設(shè)結(jié)論成立,然后把該結(jié)論作為一個(gè)已知條件,再結(jié)合題目中的其他已知條件逆推(即從后往前推),一步一步推出所要求的條件.此時(shí)要注意推理的可逆性,不要默認(rèn)為所有的條件都是充要條件.存在探索型解決這類問題的基本策略是:假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論,然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若由此導(dǎo)出矛盾,則否定假設(shè);否則,給出肯定結(jié)論.

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索12.求解立體幾何中探索性問題的技巧涉及線段上點(diǎn)的位置的探索性問題,所求點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè),也可以根據(jù)相似知識(shí)找點(diǎn),求解時(shí)注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用.

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1解析

(1)連接AF,BF.易知△BCD≌△ACD,又F是CD的中點(diǎn),所以AF=BF.在△ABF中,E是AB的中點(diǎn),所以EF⊥AB.連接CE,DE.易知△CAB≌△DAB,又E是AB的中點(diǎn),所以CE=DE.在△CDE中,F是CD的中點(diǎn),所以EF⊥CD.

立體幾何中的探索性問題數(shù)學(xué)探索1

立體幾何中的翻折問題數(shù)學(xué)探索2將平面圖形沿一條或幾條線段折起,使其成為空間圖形,這類問題稱為立體幾何中的翻折問題,翻折問題常與空間中的平行、垂直以及空間角相結(jié)合命題.9.典例[2019全國卷Ⅲ][文]圖（1）是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖（2）.(1)證明:圖（1）中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求圖（2）中的二面角B-CG-A的大小.（1）（2）

立體幾何中的翻折問題數(shù)學(xué)探索2解析

(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,(位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系不變)所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,(與“折痕”垂直的線段,翻折前后垂直關(guān)系不變)又BC∩BE=B,BC,BE?平面BCGE,故AB⊥平面BCGE.又AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

立體幾何中的翻折問題數(shù)學(xué)探索2

立體幾何中的翻折問題數(shù)學(xué)探索2

方法技巧

翻折問題的解題策略策略:(1)畫好兩個(gè)圖——折疊前的平面圖和折疊后的立體圖;(2)分析好兩個(gè)關(guān)系——折疊前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生