湖南省衡陽市常寧白沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省衡陽市常寧白沙中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-2，則拋物線的方程是

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.將個不同的球放入個不同的盒中，每個盒內(nèi)至少有個球，則不同的放法種數(shù)為

（

）A．

B．36

C．48

D．96參考答案：B3.設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是

（

）A． B.C.

D.參考答案：D略4.，，m為實數(shù)，若，則m的值為（）A.4 B.－1 C.6 D.0參考答案：B由題意，，解得，故選B。5.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，B=，C=，則△ABC的面積為（）A．2+2 B． C．2﹣2 D．﹣1參考答案：B【考點】正弦定理；三角形的面積公式．【專題】解三角形．【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度數(shù)，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【解答】解：∵b=2，B=，C=，∴由正弦定理=得：c===2，A=，∴sinA=sin（+）=cos=，則S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1．故選B【點評】此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．6.某產(chǎn)品的廣告費用x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：廣告費x（萬元）3456銷售額y（萬元）25304045根據(jù)表可得回歸直線方程=7x+，若廣告費用為10萬元，則預(yù)計銷售額為（）A．73萬元 B．73.5萬元 C．74萬元 D．74.5萬元參考答案：B【考點】BK：線性回歸方程．【分析】利用回歸直線方程恒過樣本中心點，求出，再據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為10萬元時銷售額．【解答】解：由題意，=4.5，=35，代入=7x+，可得=3.5，∴=7x+3.5，x=10時，=7x+=73.5，故選B．7.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值是(

)

參考答案：C略8.設(shè)點，若在圓上存在點N，使得∠OMN=30°，則的取值范圍是（

） A. B. C. D.參考答案：A9.若原點和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.在等差數(shù)列等于

A.13

B.18

C.20

D.22參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)p：方程x2＋2mx＋1＝0有兩個不相等的正根，q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0無實根．則使p∨q為真，p∧q為假的實數(shù)m的取值范圍是_____參考答案：(－∞，－2]∪[－1,3)12.分別在[0,1]和[0,2]內(nèi)取一個實數(shù),依次為m,n,則m3<n的概率為

參考答案：略13.如圖，……，則第n幅圖的圓點個數(shù)為

．（用含有n的式子表示）參考答案：5n-4略14.如圖，它滿足①第n行首尾兩數(shù)均為n，②表中的遞推關(guān)系類似楊輝三角，則第n行（n≥2）第2個數(shù)是

．參考答案：

【考點】歸納推理．【分析】依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解即可．【解答】解：依題意an+1=an+n（n≥2），a2=2所以a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…，an﹣an﹣1=n累加得an﹣a2=2+3+…+（n﹣1）=∴故答案為：【點評】本題考查學(xué)生的讀圖能力，通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項及求和的方法，屬于中檔題．15.設(shè)，若“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分條件，則實數(shù)b的取值范圍是．參考答案：（﹣2，2）【考點】絕對值不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；其他不等式的解法．【分析】化簡集合A、集合B，根據(jù)a=1時，A∩B≠Φ，可得b=0滿足條件，當b≠0時，應(yīng)有b﹣1＜﹣1＜b+1，或b﹣1＜1＜b+1，分別求出b的范圍后，再取并集，即得所求．【解答】解：∵={x|﹣1＜x＜1}，B={x||x﹣b|＜a}={x|b﹣a＜x＜b+a}，∵“a=1”是“A∩B≠Φ”的充分條件，∴{x|﹣1＜x＜1}∩{x|b﹣1＜x＜b+1}≠Φ，當b=0時，A=B，滿足條件．當b≠0時，應(yīng)有b﹣1＜﹣1＜b+1，或b﹣1＜1＜b+1．解得﹣2＜b＜0，或0＜b＜2．綜上可得﹣2＜b＜2，故答案為（﹣2，2）．16.已知，（＞0，且），如對恒成立，則的取值集合為 。命題意圖：難題?？己藛螖?shù)的應(yīng)用、恒成立的轉(zhuǎn)化，最重要的是考核理性思維。參考答案：17.已知＝2，＝3，＝4…，若＝6，(a，t為互質(zhì)的正整數(shù))，由以上等式，可推測a，t的值，則a＋t＝________.參考答案：41根據(jù)題中所列的前幾項的規(guī)律可知其通項應(yīng)為，所以當n＝6時，，.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分15分）如圖,已知點是橢圓的右頂點,若點在橢圓上,且滿足.(其中為坐標原點)（1）求橢圓的方程;（2）若直線與橢圓交于兩點,當時,求面積的最大值.參考答案：解：因為點在橢圓上，所以--------------------2分

-------------------------------4分-------------------------ks5u------------------------6分（Ⅱ）設(shè)，

--------ks5u-----7分-----------------------------------------------------------------------9分設(shè)直線，由，得：則-----------------------------11分點到直線的距離

----------------------------ks5u---------------------------12分--------------------------------------------------------------------ks5u---------14分當且僅當所以當時，面積的最大值為.------------------------15分19.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5（1）請在給出的坐標系內(nèi)畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為92噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？（參考數(shù)據(jù)：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）(參考公式：)參考答案：(1)如下圖(2)=32.5+43+54+64.5=66.5==4.5==3.5=+++=86故線性回歸方程為y=0.7x+0.35(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標準煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)。20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）當x=1時，函數(shù)f（x）取得極值，求a的值；（2）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值；（3）當a=﹣1時，關(guān)于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的值．參考答案：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因為當x=1時，函數(shù)f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．經(jīng)檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（，2）上遞減，所以x=時，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為﹣lna﹣1；③當a≥1時，f（x）最大值為﹣a．

（3）因為方程2mf（x）=x2有唯一實數(shù)解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數(shù)解，設(shè)g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因為m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）單調(diào)遞增，當x=x2時，g（x）取最小值g（x2）．

則即所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x2=1，即=1，解得m=．略21.已知橢圓的對稱軸為坐標軸，離心率e=，短軸長為6，求橢圓的標準方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】分類討論；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0），可得，解出即可得出；當焦點在y軸上時，同理可得橢圓的標準方程．【解答】解：當焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為=1（a＞b＞0），可得，解得a=6，b=3，可得橢圓的標準方程為=1．當焦點在y軸上時，同理可得橢圓的標準方程為=1．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把sinB的值代入，得到三角形面積最大即為ac最大，利用