計算方法曲線擬合課件

計算方法曲線擬合課件1直線擬合直線擬合2直線擬合直線擬合3計算方法曲線擬合課件4計算方法曲線擬合課件5多項式擬合多項式擬合6計算方法曲線擬合課件7計算方法曲線擬合課件8一般最小二乘法的擬合一般最小二乘法的擬合9計算方法曲線擬合課件10計算方法曲線擬合課件11應(yīng)用應(yīng)用12由上述我們已經(jīng)知到上述線性模型實際上是最小二乘法的推廣，實際上也就是多項式逼近函數(shù)的問題。它不僅可以解決一元問題還可用于多元問題。除此外還可求解某些非線性問題。求解方法是將其通過一定的代數(shù)變換轉(zhuǎn)換為可用線性模型求解的問題。 比如對方程y=aebx取對數(shù)，得lny=lna+bx，令Y=lny, A=lna,B=b則問題轉(zhuǎn)化為解Y=A+Bx的線性問題。 類似的再如，對y=a+b/x擬和可對此方程取倒數(shù)，則新變量1/y于x成線性關(guān)系。

線性模型引深及推廣主頁由上述我們已經(jīng)知到上述線性模型實際上是最小二乘法的推廣，實13擬合與插值的關(guān)系

函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和f之間的關(guān)系？MATLAB(cn)問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題；擬合與插值的關(guān)系函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組14曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,

令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中

a1,a2,…am

為待定系數(shù)。

第二步:確定a1,a2,…am

的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：使n個點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i的平方和最小。記

問題歸結(jié)為，求

a1,a2,…am

使J(a1,a2,…am)

最小。曲線擬合問題最常用的解法——線性最小二乘法的基本思路第一步:15線性最小二乘法的求解

定理：當(dāng)RTR可逆時，超定方程組（3）存在最小二乘解，且即為方程組RTRa=RTy的解：a=(RTR)-1RTy

所以，曲線擬合的最小二乘法要解決的問題，實際上就是求以下超定方程組的最小二乘解的問題。其中Ra=y（3）線性最小二乘法的求解定理：當(dāng)RTR可逆時，超定方程組16線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…rm(x)}的選取

1.通過機理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過直觀判斷確定f(x)：線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(17實例講解某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)的記錄。提示：將拉伸倍數(shù)作為x,強度作為y,在座標(biāo)紙上標(biāo)出各點，可以發(fā)現(xiàn)什么?實例講解某種合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)有直接關(guān)系，下表是實際18數(shù)據(jù)表格數(shù)據(jù)表格19計算方法曲線擬合課件20

從上圖中可以看出強度與拉伸倍數(shù)大致成線形關(guān)系，可用一條直線來表示兩者之間的關(guān)系。解：設(shè)y*=a+bxi

，令δ=yi-y*i=yi-a-bxi，根據(jù)最小二乘原理，即使誤差的平方和達到最小，也就是令

nQ=∑δi2

i=1

為最小，即求使

(a,b)=

有最小值的a和b的值。從上圖中可以看出強度與拉伸倍數(shù)大致成線形關(guān)系，可用一條直線21計算出它的正規(guī)方程得解得：a=0.15,b=0.859

直線方程為：y*=0.15+0.859x計算出它的正規(guī)方程得22曲線擬合問題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n,尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離曲線擬合問題的提法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平23多項式的最小二乘擬合的MA