《勾股定理的逆定理》課件

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第1課時）八年級下冊第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第1課時1課件說明課題內(nèi)容勾股定理的逆定理證明及簡單應(yīng)用；原命題、逆命題的概念及相互關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)理解勾股定理的逆定理.了解互逆命題、互逆定理.課件說明課題內(nèi)容學(xué)習(xí)目標(biāo)理解勾股定理的逆定理.2創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1：你能說出勾股定理嗎？并指出定理的題設(shè)和結(jié)論.追問1：你能把勾股定理的題設(shè)與結(jié)論交換得到一個新的命題嗎？追問2：“如果三角形三邊長a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形.”能否把它作為判定直角三角形的依據(jù)呢？本節(jié)課我們一起來研究這個問題.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題問題1：你能說出勾股定理嗎？并指出定理的3古埃及人曾用下面的方法得到直角實驗觀察古埃及人曾用下面的方法得到直角實驗觀察4問題2：按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？用13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3個結(jié)，4個結(jié)，5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。實驗觀察問題2：按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎？用13個等距5345追問：這個三角形的三條邊有什么關(guān)系嗎?324252+=實驗觀察345追問：這個三角形的三條邊有什么關(guān)系嗎?324252+=6（1）下列各組數(shù)中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，分別以這些數(shù)為邊長（單位：cm）畫三角形：

①2.5，6，6.5；②4，7.5，8.5.動手畫一畫（2）量一量：用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數(shù).（3）想一想：判斷這些三角形的形狀，提出猜想.實驗操作提出猜想（1）下列各組數(shù)中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方，分別以這7問題2由上面幾個例子你發(fā)現(xiàn)了什么嗎?請以命題的形式說出你的觀點!

命題2

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形。a2+b2=c2實驗操作提出猜想問題2由上面幾個例子你發(fā)現(xiàn)了什么嗎?請以命題的形式說出你8歸納概念兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，象這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果其中一個叫原命題，那么另一個就叫做它的逆命題.

問題3：把勾股定理記著命題1，上面的結(jié)論作為命題2.命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？

問題4：命題1和命題2的題設(shè)和結(jié)論有著什么的關(guān)系？歸納概念兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，象這樣的兩個命題叫做9

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么有a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命題歸納概念如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，10問題5:請同學(xué)們舉出一些互逆命題，并思考：是否原命題正確，它的逆命題也正確呢？舉例說明．追問1：在我們大家舉出的互逆命題中原命題和逆命題都成嗎？問題6:原命題正確，它的逆命題不一定正確.那么勾股定理的逆命題正確嗎？如果你認(rèn)為是真確的，你能證明這個命題“如果三角形的三邊長、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形”嗎？問題5:請同學(xué)們舉出一些互逆命題，并思考：是否原命題正確，11勾股定理逆定理的證明已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求證:△ABC是直角三角形.A′B′C′BCA證明:畫一個△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b∴A’B’=c∵邊長取正值∴A’B’2=c2∵a2+b2=c2∵∠C/=900∴A’B’2=a2+b2勾股定理逆定理的證明已知:在△ABC中，AB=cBC=a12勾股定理逆定理的證明在△ABC和△A’B’C’中BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C/=90°則△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）勾股定理逆定理的證明在△ABC和△A’B’C’中BC=a13定理與逆定理

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如:(1)勾股定理及其逆定理；(2)兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(3)內(nèi)錯角相等,兩直線平行.(4)角的平分線的性質(zhì)與判定；(5)線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個定理,這兩個定理稱為互逆定理,其中一個定理稱另一個定理的逆定理.定理與逆定理我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如14(1)a＝15,b＝8,

c＝17(2)a＝13,b＝14,

c＝15分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，一個三角形中兩條較小邊長的平方和等于最大邊長的平方，那么這個三角形是直角三角形

例1判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：定理應(yīng)用(1)a＝15,b＝8,c＝17(2)a＝115解（1）152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴這個三角形是直角三角形（2）132+142=169+196=365152=225

因為132+142≠152，

根據(jù)勾股定理，這個三角形不是三角形.定理應(yīng)用勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)解（1）152＋82＝225＋64＝289定理應(yīng)用勾股數(shù)16定理應(yīng)用所以這個三角形是直角三角形.定理應(yīng)用所以這個三角形是直角三角形.17練習(xí)：同學(xué)們還知道哪些勾股數(shù)？請完成以下未完成的勾股數(shù).（1）3,4，

，（2）6,8，

，（3）7,24,

，（4）5,12，

，（5）9,12，

.練習(xí)：同學(xué)們還知道哪些勾股數(shù)？請完成以下未完成的勾股數(shù).18基礎(chǔ)過關(guān)題：(1)直角三角形一條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等于

cm.(2)已知兩條線段的長為3cm和4cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為

cm時,這三條線段能組成一個直角三角形.(3)△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,則BC邊上的高AD=

cm；AB邊上的高CE=

cm

（4）下列命題中是假命題的是(

)(A)△ABC中,若∠B=∠C－∠A,則△ABC是直角三角形.

(B)△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),則△ABC是直角三角形.

(C)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5則△ABC是直角三角形.

(D)△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3則△ABC是直角三角形.基礎(chǔ)過關(guān)題：（4）下列命題中是假命題的是(

)191、請完成以下未完成的勾股數(shù)：（1）8、15、——；（2）10、26、——。2、三角形三邊長分別為、

、則這個三角形是——。1、請完成以下未完成的勾股數(shù)：203、如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，且,求證：△ABC是直角三角形。ABCD3、如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，ABCD214、在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上的一點，且,求證：∠EFA=90°.

ABCDFE4、在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，ABCDFE225、如圖，在等邊△ABC中，D為三角形內(nèi)一點，且BD=3，DA=4，DC=5.將△BDA沿順時針旋轉(zhuǎn)60°使點D到D′,求∠BD′C的度數(shù)。ABCD′D5、如圖，在等邊△ABC中，D為三角形內(nèi)一ABCD′D238：如圖，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向6OOkm的B處，以每小時2OOkm的速度向北偏東6O°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心5OOkm的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域.(1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響?為什么?(2)若A城受到這次臺風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間?8：如圖，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向6OOkm的24課堂練習(xí)1判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝6.5,b＝7.5,

c＝4(2)a＝11,b＝60,

c＝61課堂練習(xí)1判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形252、已知a，b，c為△ABC的三邊,且滿足

試判斷△ABC的形狀.2、已知a，b，c為△ABC的三邊,且滿足26課堂小結(jié)（1）勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？（2）原命題、逆命題之間的關(guān)系.

（3）用什么方法證明勾股定理的逆定理?課堂小結(jié)（1）勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？27目標(biāo)檢測設(shè)計1.以長度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，能構(gòu)成直角三角形的有哪些？(1)1,2,

3(2)6,8,

14(3)2,1.5,2.5目標(biāo)檢測設(shè)計1.以長度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，能構(gòu)成直角282.說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等（2）對頂角相等（3）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等目標(biāo)檢測設(shè)計2.說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）293.已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCD目標(biāo)檢測設(shè)計3.已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，B30第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第2課時）八年級下冊第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理

（第2課時31課件說明1.內(nèi)容應(yīng)用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實際問題.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題.（2）進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識.3.教學(xué)重難點靈活運用勾股定理的逆定理解決實際問題.課件說明1.內(nèi)容2.學(xué)習(xí)目標(biāo)3.教學(xué)重難點32復(fù)習(xí)反思，引出課題問題1：通過前面的學(xué)習(xí)，我們對勾股定理及其逆定理的知識有一定的了解，請說出勾股定理及其逆定理的內(nèi)容.追問1：你能用勾股定理及逆定理解決哪些問題？復(fù)習(xí)反思，引出課題問題1：通過前面的學(xué)習(xí)，我們對勾股定理33問題2：

“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里。它們離開港口一個半小時后相距30海里。如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？PEQRN遠(yuǎn)航海天點擊范例，以練促思追問1：請同學(xué)們認(rèn)真審題，弄清已知是什么？解決的問題是么？追問2：你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？分析：如何確定航向：由于“遠(yuǎn)航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了.問題2：“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固34PEQRN遠(yuǎn)航海天解：根據(jù)題意，由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知.因此,即“海天”號沿西北方向航行.點擊范例，以練促思PEQRN遠(yuǎn)航海天解：根據(jù)題意，由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可35練習(xí)1.課本33頁練習(xí)第3題。練習(xí)2.在港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時8海里速度前進，乙船沿南偏東某方向以每小時15海里速度前進，1小時后甲船到達島，乙船到達島，且島與島相距17海里，你能知道乙船沿哪個方向航行嗎？初步應(yīng)用、鞏固知識練習(xí)1.課本33頁練習(xí)第3題。練習(xí)2.在港有甲、乙兩36問題3實驗中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金購買草皮？DCBA綜合應(yīng)用、深化提高問題3實驗中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校37反思小結(jié)，觀點提煉（1）知識總結(jié)：勾股定理以及逆定理的實際應(yīng)用；（2）方法歸納：數(shù)學(xué)建模的思想.反思小結(jié)，觀點提煉（1）知識總結(jié)：勾股定理以及逆定理的實際應(yīng)38例2.如圖,點A是一個半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B.C兩個村莊,現(xiàn)要在B.C兩村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測得AB=600m,AC=800m,問此公路是否會穿過該森林公園?請通過計算說明.ABC4001000D例2.如圖,點A是一個半徑為400m的圓形森林公園的中心39應(yīng)用拓展：如圖：邊長為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由解：連接AE∵ABCD是正方形，邊長是4，F(xiàn)是DC的中點，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA應(yīng)用拓展：如圖：邊長為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中解：403．以下各組數(shù)為三邊的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．請完成以下未完成的勾股數(shù)：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，則最大邊上的高是_______．

4.如圖，兩個正方形的面積分別為64，49，則AC=

.ADC6449173．以下各組數(shù)為三邊的三角形中，不是直角三角形的是（）．416.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,則2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三邊長a,b,c滿足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形為＿＿＿＿＿三角形.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,則42

9．一艘輪船以20千米/時的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以15千米/時的速度向東南方向航行，它們離開港口2小時后相距多少千米？10．已知：如圖，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的長．9．一艘輪船以20千米/時的速度離開港口向東北方向航行，另4311、如圖，已知：CD⊥AB于D，求證：△ACB為直角三角形ABDC證明：∵CD⊥AB

∴AC2=AD2+CD2BC2=CD2+BD2

∵AC2=AD×AB∴AD2+CD2=AD×AB∴CD2=AD×AB－AD2=AD(AB－AD)=AD×BD∴BC2=CD2+BD2=AD×BD+BD2

=BD(AD+BD)=BD×AB∴AC2+BC2=AD×AB+BD×AB=AB(AD+BD)=AB2∴△ACB為直角三角形.11、如圖，已知：CD⊥AB于D，ABDC證明：∵CD⊥A44CD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。12、已知：在四邊形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,求：S四邊形ABCDCD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。12、已知：在四邊45∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理)∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2?2=6+2(cm2)=AB?AC+AD?CD解（1）∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵46邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交X軸于點D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式。OCBAB1D123E邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸471、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面積．2、已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一點，求證：BD2+CD2=2AD2．提升“學(xué)力”1