江蘇省蘇州市橫塘中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

江蘇省蘇州市橫塘中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)分別是與向的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C解析：因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（▲

）A．0 B．1C．2D．3參考答案：D3.已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠C=90°，則的取值（）A．（0，2） B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由∠C=90°，可得a=csinA，b=ccosA，代入可得=，由于A∈．可得∈．即可得出．【解答】解：∵∠C=90°，∴a=csinA，b=ccosA，A∈．∴∈，∴∈．則=sinA+cosA=∈．故選：C．4.已知直線a、b和平面α，下列推論中錯(cuò)誤的是（）A．?a⊥bB．?b⊥αC．?a∥α或a?αD．?a∥b參考答案：D5.若函數(shù)是定義在Ｒ上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是A．B．C．D(-∞,-2)∪參考答案：D略6.如圖，△A'B'C'是△ABC用“斜二測(cè)畫(huà)法”畫(huà)出的直觀圖，其中O'B'=O'C'=1，O'A'=，那么△ABC是一個(gè)（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．三邊互不相等的三角形參考答案：A【考點(diǎn)】斜二測(cè)法畫(huà)直觀圖．【分析】根據(jù)“斜二測(cè)畫(huà)法”的畫(huà)圖法則，結(jié)合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，結(jié)合勾股定理，求出△ABC的三邊長(zhǎng)，可得△ABC的形狀．【解答】解：由已知中△ABC的直觀圖中O'B'=O'C'=1，O'A'=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC為等邊三角形，故選：A．7.

參考答案：C8.設(shè)函數(shù)，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)，若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意，恒有，則(

)A．K的最小值為1

B．K的最大值為1C．K的最小值為D．K的最大值為參考答案：C略9.若a，b，c∈R，且，則下列不等式一定成立的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】A.與的大小不確定，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.,所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.,所以該選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10.函數(shù)f（x）=3x||﹣2的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】本題即求方程=|logx|的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=|logx|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=3x|logx|﹣2的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程=|logx|的解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=|logx|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=|logx|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，，B=，則A=

▲

．參考答案：； 12.若函數(shù)f（x）=ex﹣k在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，則參數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（1，e）【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】由題意可得方程ex=k在區(qū)間（0，1）內(nèi)有解，由y=ex在區(qū)間（0，1）內(nèi)遞增，即可得到所求k的范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=ex﹣k在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程ex=k在區(qū)間（0，1）內(nèi)有解，由y=ex在區(qū)間（0，1）內(nèi)遞增，可得1＜ex＜e，即有1＜k＜e．故答案為：（1，e）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的問(wèn)題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．13.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（x）=k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：（﹣1，0）【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】令y=k，畫(huà)出f（x）和y=k的圖象，通過(guò)讀圖一目了然．【解答】解：畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象（紅色曲線），如圖示：，令y=k，由圖象可以讀出：﹣1＜k＜0時(shí)，y=k和f（x）有3個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=k有三個(gè)不同的實(shí)根，故答案為：（﹣1，0）．14.已知lgx+lg（x﹣3）=1，則x=

．參考答案：5【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】先進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算都化成同底數(shù)的對(duì)數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)的對(duì)數(shù)相等只要真數(shù)相等即可．【解答】解：∵lgx+lg（x﹣3）=lg[x（x﹣3）]=lg（x2﹣3x）=1=lg10∴x2﹣3x=10∴x=﹣2或5∵x＞0∴x=5故答案為：5．15.函數(shù)y=2x（x≥1）的反函數(shù)為_(kāi)________．參考答案：16.已知

（＞0，）是R上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.用M[A]表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，記|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：0≤a＜4或a＞4【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換．【分析】根據(jù)已知條件容易判斷出a=0符合，a＞0時(shí)，由集合B得到兩個(gè)方程，x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0．容易判斷出B有2個(gè)或4個(gè)元素，所以判別式△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0，這樣即可求出a的范圍．【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，∴集合B有2個(gè)元素，則|A﹣B|=1，符合條件|A﹣B|=1；（2）a＞0時(shí)，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；對(duì)于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，即該方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；又|A﹣B|=1，B有2個(gè)或4個(gè)元素；∴△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0；∴a＜4或a＞4．綜上所述0≤a＜4或a＞4．故答案為：0≤a＜4或a＞4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在無(wú)窮數(shù)列{}中，，對(duì)于任意，都有，。設(shè)，記使得成立的的最大值為。（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{}為1，3，5，7，…，寫(xiě)出的值；（Ⅱ）若{}為等比數(shù)列，且，求…的值；（Ⅲ）若{}為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列{}。參考答案：（Ⅰ）解：，，。 【3分】（Ⅱ）解：因?yàn)閧}為等比數(shù)列，，，所以， 【4分】因?yàn)槭沟贸闪⒌牡淖畲笾禐?，所以，，，，，? 【6分】所以。 【8分】（Ⅲ）解：由題意，得，結(jié)合條件，得。 【9分】又因?yàn)槭沟贸闪⒌牡淖畲笾禐?，使得成立的的最大值為，所以，? 【10分】設(shè)，則。假設(shè)，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以，。因?yàn)閧}為等差數(shù)列，所以公差，所以，其中。這與矛盾，所以。 【11分】又因?yàn)?，所以，由{}為等差數(shù)列，得，其中。 【12分】因?yàn)槭沟贸闪⒌牡淖畲笾禐?，所以，由，得? 【13分】19.（本題滿分14分）一個(gè)幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，M,N分別是AF,BC的中點(diǎn).（1）寫(xiě)出這個(gè)幾何體的名稱；（2）求多面體的體積.

參考答案：解：（1）這個(gè)幾何體是底面是直角三角形的直三棱柱（寫(xiě)成直三棱柱也給分）…2分（2）由三視圖可知，…………..3分……………….4分取的中點(diǎn)連，由、分別為、的中點(diǎn)可得………

…..6分，而，……8分（3）取的中點(diǎn)，在直三棱柱中………………….10分多面體是以為高，以矩形為底面的棱錐….11分在中，…………….12分棱錐的體積…14分略20.已知函數(shù)，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求。參考答案：解：（Ⅰ）;（Ⅱ）

因?yàn)?,所以,所以,所以.略21.如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B'點(diǎn)重合．（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B'﹣AOC的體積取最大時(shí)，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問(wèn)在線段B′A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點(diǎn)D，判斷當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，解法一：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H，連AH，說(shuō)明∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到結(jié)果．解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量為，求出平面AB'C的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點(diǎn)，證明設(shè)，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空間向量的距離公式求解即可．解法二：連接OP，因?yàn)镃O⊥平面B'OA，得到∠OPC為CP與面B'OA所成的角，通過(guò)就三角形即可求出即P為AB'的中點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中點(diǎn)，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點(diǎn)D，則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱錐B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，…解法一：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H，連AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值為…解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)平面B'OC的法向量為，可得設(shè)平面AB'C的法向量為，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值為：．…（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點(diǎn)證明如下：設(shè)…又平面B'OA的法向量，依題意得…解得舍去）…解法二：連接OP，因?yàn)镃O⊥平面B'OA，所以∠OPC為CP與面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P為AB'的中點(diǎn)…22.（10分）在每年的春節(jié)后，某市政府都會(huì)發(fā)動(dòng)公務(wù)員參與到植樹(shù)綠化活動(dòng)中去.林業(yè)管理部門(mén)在植樹(shù)前，為了保證樹(shù)苗的質(zhì)量，都會(huì)在植樹(shù)前對(duì)樹(shù)苗進(jìn)行檢測(cè).現(xiàn)從甲、乙兩種樹(shù)苗中各抽測(cè)了10株樹(shù)苗，量出它們的高度如下（單位：厘米）,甲：37，21，31,20,29,19,32,23,25,33；乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.（1）畫(huà)出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對(duì)甲、乙兩種樹(shù)苗的高度作比較，寫(xiě)出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論；