多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

多元函數(shù)微分學(xué)偏導(dǎo)數(shù)與全微分第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)z=f(x,y)在點的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在時,得一元函數(shù),z=f(x,y)在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)類似的,z=f(x,y)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月注:(1).若二元函數(shù)z=f(x,y)在D內(nèi)每一點都有偏導(dǎo)數(shù),則此偏導(dǎo)數(shù)也是x,y的函數(shù)--------偏導(dǎo)函數(shù).(2).二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義可以推廣到更多元.例如:u=f(x,y,z)(3).由偏導(dǎo)數(shù)定義,一元函數(shù)的求導(dǎo)法則可用于求偏導(dǎo)數(shù).例如:求時,只要將y視為常數(shù),求f(x,y)關(guān)于x的導(dǎo)數(shù).第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.求例2.求偏導(dǎo)數(shù)例3.求分段點處偏導(dǎo)數(shù)要用定義求第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.在(0,0)點是否連續(xù)?是否有偏導(dǎo)數(shù)?故在(0,0)點連續(xù).由定義易知在(0,0)點偏導(dǎo)數(shù)不存在.注意:對于一元函數(shù),可導(dǎo)必連續(xù).而對于多元函數(shù),從以上兩例可看出函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在沒有必然的聯(lián)系.2.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲面z=f(x,y)與平面的交線L在點處的切線對x軸的斜率表示曲面z=f(x,y)與平面的交線L在點處的切線對y軸的斜率第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月二.高階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)仍為x,y的函數(shù).它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).混合偏導(dǎo)數(shù)類似的定義三階以上偏導(dǎo)數(shù)第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月定理若z=f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在(x,y)連續(xù),則(適用于三階以上)例5.求第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.求第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月三.全微分的概念1.全增量:設(shè)z=f(x,y)在點P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義,全增量2.定義:如果z=f(x,y)在點(x,y)的全增量可以表示為僅與x,y有關(guān)則稱z=f(x,y)在點(x,y)可微分稱為z=f(x,y)在點(x,y)的全微分第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月注:(1).若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可微分,則稱它在D內(nèi)可微分.(2).可微分一定連續(xù).(3).全微分特征:全微分是自變量增量的線性函數(shù);全微分與全增量之差是比高階的無窮小第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月注:(1).與一元函數(shù)類似:(2).此定理反之不然,這是與一元函數(shù)的區(qū)別.例如:但是函數(shù)在(0,0)不可微.四.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1(可微的必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微分,則稱它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必存在,且第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月以上所有的全微分定義及定理都可以推廣到二元以上定理2(可微的充分條件)若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(x,y)連續(xù),則函數(shù)在該點可微.注意:反之不然.例如:在點(0,0)處可微,但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù).(證明略)第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.求在(2,1)點的全微分例7.求的全微分第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月注意一元函數(shù)與多元函數(shù)各種狀態(tài)之間的區(qū)別一元函數(shù):可導(dǎo)可微連續(xù)多元函數(shù):可偏導(dǎo)可微連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)第