常見(jiàn)不等式的幾何直觀

,.常見(jiàn)不等式的幾何直觀數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 2008級(jí) 1212408087陳小麗謝謝閱讀研究不等式的出發(fā)點(diǎn)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因此謝謝閱讀可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大小：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B。那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的謝謝閱讀左邊時(shí)，a<b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a>b（圖1）。精品文檔放心下載圖1不等式的基礎(chǔ)性質(zhì)也可以通過(guò)作圖來(lái)表示：用線段AB的長(zhǎng)表示a，線段BA表示-a；精品文檔放心下載線段CD表示b，線段DC表示-b。如：（1）如果a>b，b>c，那么a>c。畫(huà)圖2表示：絕對(duì)值|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離。即若a>0,|a|=a；若a<0,|a|=-a；若a=0,|a|=0。精品文檔放心下載對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,設(shè)它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A,B，那么|a-b|的幾何意義是感謝閱讀數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離。為了在直觀上刻畫(huà)絕對(duì)值，我們做函數(shù)y=x,y=-x,y=|x|,y=-|x|的圖像。圖3感謝閱讀,.3-1圖3-2 圖3-3由圖易得-|x|≤x≤|x|，于是對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)a，有-|a|≤a≤|a|。絕對(duì)值的幾何意義是我們認(rèn)識(shí)謝謝閱讀絕對(duì)值不等式的重要工具。實(shí)際上，我們可把“距離大小”作為研究絕對(duì)值不等式的基本出謝謝閱讀發(fā)點(diǎn)，解決相應(yīng)的問(wèn)題。把|a|+|b|≥|a+b|，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0中a,b用向量 ，代替，可以很明顯地看謝謝閱讀出其幾何意義。當(dāng)向量 ，不共線時(shí)，那么由向量加法的三角形法則，向量，，+構(gòu)成三角形，精品文檔放心下載因此我們有向量形式的不等式||+||≥|+|，它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大精品文檔放心下載于第三邊。所以我們稱(chēng)該不等式為絕對(duì)值三角不等式。如|x|≤1的解如圖4：,.圖4|x-1|≤2的解如圖5：5|x|+|y|≤1的解如圖6：6√a2=|a|（|a|的代數(shù)刻劃）實(shí)際上表達(dá)了畢達(dá)哥拉斯關(guān)系式c=√a2+b2，b=0時(shí)的特精品文檔放心下載殊情形。x2+y2=r2的解——點(diǎn)（x,y）的集合（軌跡）構(gòu)成以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓精品文檔放心下載周。故x2+y2≤r2的解——點(diǎn)（x,y）的集合（軌跡）構(gòu)成以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓盤(pán)。謝謝閱讀7圖7 圖8定義：|x+yi|=√x2+y2,則1≤|x+yi|≤2的解表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1和2構(gòu)成的圓環(huán)：謝謝閱讀8,.基本不等式：①a2+b2≥2ab如果把實(shí)數(shù)a,b作為線段長(zhǎng)度，那么它的幾何解釋?zhuān)╝≥b）：謝謝閱讀圖9-1如圖9-1所示：在正方形ABCD中，AB=a,在正方形CEFG中，EF=b。謝謝閱讀那么S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2。矩形BCGH和矩形JCDI的長(zhǎng)均為精品文檔放心下載a,寬均為b，它們的面積和是S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab。矩形BCGH和矩形感謝閱讀JCDI的公共部分是CEGK,邊長(zhǎng)為b,其面積與正方形CEFG相等。所以a2+b2≥2ab。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，兩個(gè)矩形成為兩個(gè)正方形，陰影部分面積等于正方形ABCD與正方形精品文檔放心下載CEFG的面積的和。圖9-2,.如圖9-2所示：S=a2,S=b2，S≤S+S?OCD，即ab≤a2+b2。我們進(jìn)一步看到，當(dāng)且僅當(dāng)三角形S?BDE=0，即D與B重合，因而當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)S=S?OAB+S，即ab=a2+b2。將①a2+b2≥2ab恒等變形，就可以得到以下基本不等式：謝謝閱讀②a+b≥√ab感謝閱讀角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高。如圖9：圖10CD是Rt△ABC中斜邊AB上的高，OC是斜邊AB上的中線，AD=a,BD=b。OC=a+b，謝謝閱讀CD=√ab。推論：在所有周長(zhǎng)相同的矩形中，正方形面積最大；在所有面積相同的矩形中，正方形周長(zhǎng)最短。推廣13個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式：a+b+c≥3√abc3感謝閱讀當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。a+a+?+a≥n√a1a2…an推廣2a=a=?=a12n1+1 a+b精品文檔放心下載,.√a2+b2統(tǒng)計(jì)學(xué)有一個(gè)重要的均方根 2 。有這樣的不等式關(guān)系：√a2+b2≥a+b≥√ab≥2ab，其幾何解釋如圖10：22a+b圖11-1如圖10-1所示：設(shè)ABCD為一梯形，其中AB=a，CD=b，設(shè)O為其對(duì)角線的中點(diǎn)。謝謝閱讀a+b2 由平行于兩底且與它們等距離的線段GH表示；謝謝閱讀（b）幾何中項(xiàng)√ab由平行于兩底且使梯形ABLK與KLDC成相似形的線段KL表示；謝謝閱讀（c）調(diào)和中項(xiàng)a+b由平行于兩底且過(guò)O點(diǎn)的線段EF表示；謝謝閱讀（d）均方根√a2+b2由平行于兩底且將梯形ABCD分成面積相等的兩個(gè)梯形的線段2謝謝閱讀MN表示。如圖11-2所示：O為圓心，MH<MG<MO<MR精品文檔放心下載,.ab設(shè)MP=a,MQ=b，（a>b），則MO=2

， √abMG=

， 2abMH=ab

， √a2bMR=2

2Cauchy不等式：（a2)(b2b2)≥(abab)2）（a）二維形式：12121122a=λ(i=1，2)謝謝閱讀i圖12Cosθ=·β=a1b1a2b2（Cosθ）2≤1即得又由|α|·|β|√a12a22√b12b22（(a2a2)(b2b2)≥(abab)2）12121122（Cosθ）2=1，即θ=0或π。也就是說(shuō)α，β平行。坐標(biāo)（a,b），（a,b）1122成比例。即ai=λ(i=1，2)時(shí)等號(hào)成立。bi推廣1 3維柯西不等式(a12 a22 a32)(b12 b22 b32)≥(a1b1 a2b2 a3b3)2精品文檔放心下載當(dāng)且僅當(dāng)ai=λ(i=1，2，3)時(shí)等號(hào)成立。精品文檔放心下載i推廣2 n維柯西不等式,.(a12+a22+?+an2)(b12+b22+?+bn2)≥(a1b1+a2b2+?+anbn)2謝謝閱讀當(dāng)且僅當(dāng)ai=λ(i=1，2，3，…)時(shí)等號(hào)成立。感謝閱讀i赫德?tīng)柌坏仁絘，b>0，(ap+ap+?+ap)p1(bq+bq+?+bq)q1≥ab+ab21+1當(dāng)p=2，q=2時(shí)即是柯西不等式。q三角不等式：（二維形式）√x12+y12+√x22+y22≥√(x1+x2)2+(y1+y2)2感謝閱讀當(dāng)且僅當(dāng)x1=kx2；y1=ky2。其幾何解釋如圖13精品文檔放心下載圖13√x2+√x22≥√(x1+x2)2|x|+|x|≥|x|，當(dāng)一維形式：1，即12+xx=kx且僅當(dāng)12，這時(shí)三角形退化成一條直線。此式對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都成立，當(dāng)且僅當(dāng)x