2021年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)12函數(shù)模型及其應(yīng)用必刷題文【含答案】

考點(diǎn)12函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.某地一企創(chuàng)電商最近兩年的“雙十一”當(dāng)天的銷售額連續(xù)增加，其中2016年的增長(zhǎng)率為。，2017年的

增長(zhǎng)率為6,則該電商這兩年的“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長(zhǎng)率為（）

a+b（a+l）（b+l）-l

A.眄B.2c.2D.忒a+l）（b+1）-1

D

設(shè)該電商這兩年的“雙十一”當(dāng)天銷售額的平均增長(zhǎng)率為x,則

(1+a)(l+fe)=(1+x)2x=7(l+a)(l+6)-1,選D.

2.為更好實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，加強(qiáng)村民對(duì)本村事務(wù)的參與和監(jiān)督，根據(jù)《村委會(huì)組織法》，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)準(zhǔn)備在

各村推選村民代表.規(guī)定各村每15戶推選1人，當(dāng)全村戶數(shù)除以15所得的余數(shù)大于10時(shí)再增加1人.那么，

各村可推選的人數(shù)y與該村戶數(shù)支之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)，=因（因表示不大于久的最大整數(shù)）可以表

示為（）

r%+ill,x+4,x+101rx+51

yV=-------y=

B.C.J15D.

B

【解析】

由題意可知，當(dāng)全村戶數(shù)為工=25戶時(shí)，應(yīng)該選1人，利用排除法:

［等卜［瞪h冏=2工1，〃選項(xiàng)錯(cuò)誤;

［等卜［瞪卜圖=2=1,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

皆卜［答卜保=2工1”選項(xiàng)錯(cuò)誤,

本題選擇3選項(xiàng).

3.如圖所示是某一容器的三視圖，現(xiàn)向容器中勻速注水，容器中水面的高度人隨時(shí)間噴化的可能圖象是（）

加M，

C

由題,該容器為漏斗形幾何體,所以水面高度隨時(shí)間的變化為先慢后快,再快最后慢的情況變化，如選項(xiàng)C

的情況。故選C。

4.“今有垣厚七尺八寸七有五，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何

日相逢？”，意思是“今有土墻厚7.875尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天

打洞半尺，大鼠之后每天打洞長(zhǎng)度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長(zhǎng)度是前一天的一半，問兩鼠幾天

打通相逢？”兩鼠相逢需要的天數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【解析】

由題意可知，大鼠、小鼠每天打洞長(zhǎng)度均為等比數(shù)列

大鼠打洞長(zhǎng)度的通項(xiàng)公式為%=2n-,n天總共打洞長(zhǎng)度為5n=好=2幾-1

小鼠打洞長(zhǎng)度的通項(xiàng)公式為以=(i)n,n天總共打洞長(zhǎng)度為&==1-Q)n

nn

C=5n+T=2-1+1-(-Y'=2-(-V

所以每天打洞的長(zhǎng)度為⑵⑵

2"--7875

由題意⑵一’,可解得"=3,所以選B

5.某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式，這三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式如下：

方式一：每天到該商場(chǎng)領(lǐng)取獎(jiǎng)品，價(jià)值為40元；

方式二：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為10元，以后每天比前一天多10元；

方式三：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

(1)若商場(chǎng)的獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過1200元，要使每種領(lǐng)獎(jiǎng)方式都能單獨(dú)有效進(jìn)行，則促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)

設(shè)置為幾天；

(2)在(1)的條件下，你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?(參考數(shù)據(jù)：210=1024)

(1)11;(2)見解析

【解析】(D設(shè)促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)為x天，三種方式的領(lǐng)取獎(jiǎng)品總價(jià)值分別為

f(x),g(x),h(x),貝Uf(x)=40x；

g(x)=10+20+30+--10x=Sx2+5x)

h(x)=0.4+0.4x2+0.4x22+…+0.4x2==0.4?2X-0.4

要使獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過1200元，則

<f(x)<1200(x<30

\g(x)W1200IX"+x—240<0<12x6V,有T—II.

h(x)<12002X<3001解中Cv..郁皿x-ll；

IxeNIx&N

促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)可設(shè)置11天；

(2)由f(ll)=440

<?(11)=660

Mil)=818.8

故h(U)>g(lD>f(U)

故在(D的條件下，在這11天內(nèi)選擇方式三會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓唷?/p>

6.我國(guó)西部某省4A級(jí)風(fēng)景區(qū)內(nèi)住著一個(gè)少數(shù)民族村，該村投資了800萬元修復(fù)和加強(qiáng)民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施，

據(jù)調(diào)查，修復(fù)好村民俗文化基礎(chǔ)設(shè)施后，任何一個(gè)月內(nèi)(每月按30天計(jì)算)每天的旅游人數(shù)/'(%)與第萬天近

8

f(x)=8+—

似地滿足萬(千人)，且參觀民俗文化村的游客人均消費(fèi)以刈近似地滿足9(X)=143-|X-22|(元)

(1)求該村的第x天的旅游收入P。),并求最低日收入為多少？(單位：千元，14*430,xeN*).

(2)若以最低日收入的20%作為每一天的純收入計(jì)量依據(jù)，并以純收入的5%稅率收回投資成本，試問該村

在兩年內(nèi)能否收回全部投資成本？

968*

8x+——+976,1<x<22,第GN

x

p(x)=1320

-8xH----------F1312,22<x<30,xGN

(1)x（2）該村兩年內(nèi)能收回全部投資資金.

【解析】

(1麻據(jù)題意，有p(x)=/(X)-5(A)=(8+5)-(143-|x-221)(1<x<30Ke寸)

8x+矍+976,1<x<22.x6N*

即p(x)=

-8x+—+1312,22<x<30,xeN'

⑵10當(dāng)1WxW22,XCN*時(shí)，p(x)=8x+—+976>2i8.r--+976=1152

XVX

（當(dāng)且僅當(dāng)x=11時(shí)，等號(hào)成立）.因此，P（x）min=p（ll）=1152（千元）.

2哨22Vxs30,XCN*時(shí),p(x)=-8.r+^+1312.考察函數(shù)丫=一8犬+詈+1312的性質(zhì),

可知y=-8x+亨+1312在（22.30]±單調(diào)遞減，于是，p（x）mri=p（30）=1116（千元）.

又1152>1116,所以，日最低收入為111阡元.

該村兩年可收回的投資資金為1116x20%x5%x30x12x2=8035.2（千元尸803.52歷元）.

因?yàn)?03.52萬元>800萬元，所以，該村兩年內(nèi)能收回全部投資資金.

7.山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國(guó)際市場(chǎng)上頗具競(jìng)爭(zhēng)力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國(guó)等地.上

市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場(chǎng)價(jià)格10元/千克在本市收購(gòu)了200。千克香菇存放入冷庫(kù)中.據(jù)預(yù)測(cè)，香菇的市場(chǎng)價(jià)

格每天每千克將上漲0.5元.，但冷庫(kù)存放這批香菇時(shí)每天需要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元，而且香菇在冷庫(kù)中

最多保存110天，同時(shí)，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.

（1）若存放*天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)

系式；

（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤(rùn)22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤(rùn)=銷售總金額-收購(gòu)

成本-各種費(fèi)用）

（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

（1）y=-3x2+940x+20000（1<x<110）（2）將這批香菇存放50天后出售（3）存放1。。天后出售可獲得

最大利潤(rùn)為3000。元.

【解析】

(1)由題意得，)，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=(10+0.5x)(2000-6燈=-3x2+940x+20000(1<A<110).

(2)由題意得，(-3x=+940x+20000)-(10x2000+340x)=22500?

化簡(jiǎn)得，xz-200x+7500=0;

解得，(不合題意，舍去)；

50,x2=150

因此，李經(jīng)理如果想獲得利潤(rùn)2250阮，需將這批香菇存放50天后出售.

(3)設(shè)利潤(rùn)為W,則由(2)得，W=(-3.r-+940.x+20000)-(10x2000+340x)

=-3x2+600x=-3(x-100)=+30000；

因此當(dāng)x=1006寸，=30000)

又因?yàn)?00e(0,110),所以李經(jīng)理將這批香菇存放10快后出售可獲得最大利澗為3000阮.

1X

8.某玩具所需成本費(fèi)用為P元，且QI000+5/+迅2,而每套售出的價(jià)格為。元，其中0(x)=a+g

(a,6GR),

(1)問：玩具廠生產(chǎn)多少套時(shí)，使得每套所需成本費(fèi)用最少？

(2)若生產(chǎn)出的玩具能全部售出，且當(dāng)產(chǎn)量為150套時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每套價(jià)格為30元，求a,。的

值.(利潤(rùn)=銷售收入一成本).

(1)該玩具廠生產(chǎn)100套時(shí)每套所需成本最少.(2)a=25,6=30.

【解析】

pI000+5x+畜

(1海套玩具所需成本費(fèi)用為7=x

?1000_

=血+x+5>2VlOO+5=25,

II000

當(dāng)而x=x,即x=100時(shí)等號(hào)成立，

故該玩具廠生產(chǎn)100套時(shí)每套所需成本最少.

（2）設(shè)售出利潤(rùn)為-貝iJw=xg（x）-P

=x（4+0—（l。。。+5"常）

=(n)x2+(a-5)x-1000,

由題意得解得a=25,分=30.

9.某大型水果超市每天以10元/千克的價(jià)格從水果基地購(gòu)進(jìn)若干4水果，然后以15元/千克的價(jià)格出售，若

有剩余，則將剩下的水果以8元/千克的價(jià)格退回水果基地.

（1）若該超市一天購(gòu)進(jìn)4水果160千克，記超市當(dāng)天4水果獲得的利潤(rùn)V（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量”（單

位：千克，n€N）的函數(shù)解析式，并求當(dāng)y=765時(shí)n的值；

（2）為了確定進(jìn)貨數(shù)量，該超市記錄了4水果最近50天的日需求量（單位：千克），整理得下表：

日需求量140150160170180190200

頻數(shù)51088775

假設(shè)該超市在這5。天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)4水果160千克，求這50天該超市4水果獲得的日利潤(rùn)（單位：元）的平均

數(shù).

(1)見解析；(2)772.

【解析】

(1)當(dāng)日需求量,>16004,利潤(rùn)y=160x(15-10)=800J

當(dāng)日需求量“<1606寸，利潤(rùn)y=(15-10)n-(160-??)x(10-8)=In-320,

所以關(guān)于八的函數(shù)解析式為廠房發(fā)就<1605eNX

當(dāng)y=765時(shí)，由7n-320=765,得”=155.

(2)這50天中有5天的利潤(rùn)為66嫵，有10天的利潤(rùn)為73忻，有35天的利潤(rùn)為80嫵，

所以這50天該超市■水果獲得的日利潤(rùn)的平均數(shù)為,(660x5+730x10+800x35)=772.

10.某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以一次性額外購(gòu)買幾次

維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用200元，另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi)，小費(fèi)每次50元.在機(jī)

器使用期間，如果維修次數(shù)超過購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元，

無需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購(gòu)買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)

器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計(jì)表：

維修次數(shù)89101112

頻數(shù)1020303010

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用(單位：元)，。表示

購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù).

(1)若也40,求'與x的函數(shù)解析式；

(2)若要求“維修次數(shù)不大于八”的頻率不小于0.8,求"的最小值；

(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買10次維修服務(wù)，或每臺(tái)都購(gòu)買11次維修服務(wù)，分別計(jì)

算這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買10次還是

11次維修服務(wù)？

_(50x+2000,x<10,

y-

(1)[500x-2500,x>10,XEN,(2)見解析；(3)10次.

【解析】

200x10+50x,x<10.

y=

(1)250x10+500(x-10),x>10,

即”{5濫二?2黑竟ToJe.V.

因?yàn)椤S修次數(shù)不大于的頻率=筆刊=

(2)10”*uu0.6<0,8,

'維修次數(shù)不大于口”的頻率=二°十二：；：0+'0=0.9>0.8,

所以若要求'維修次數(shù)不大于〃”的頻率不小于0S則”的最小值為11.

(3)若每臺(tái)都購(gòu)買10次維修服務(wù)，則有下表:

維修次數(shù)X89101112

頻數(shù)1020303010

費(fèi)用y24002450250030003500

此時(shí)這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

_2400x104-2450x20+2500X30+3000x30+3500x10_

'1-100-2730(元)

若每臺(tái)都購(gòu)買11次維修服務(wù)，則有下表:

維修次數(shù)X89101112

頻數(shù)1020303010

費(fèi)用y26002650270027503250

此時(shí)這100臺(tái)機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

_2600x10+2650x20+2700x30+2750x30+3250x10_

100—2750(元)

因?yàn)闉?lt;乃，所以購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買10次維修服務(wù).

11.某代賣店代售的某種快餐，深受廣大消費(fèi)者喜愛，該種快餐每份進(jìn)價(jià)為8元，并以每份12元的價(jià)格

銷售.如果當(dāng)天19:00之前賣不完，剩余的該種快餐每份以5元的價(jià)格作特價(jià)處理，且全部售完.

(1)若這個(gè)代賣店每天定制15份該種快餐，求該種類型快餐當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量

單位：份，X6N)的函數(shù)解析式；

(2)該代賣點(diǎn)記錄了一個(gè)月30天的每天19:00之前的銷售數(shù)量該種快餐日需求量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

日需求量121.314,151617

天數(shù)456843

以30天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，假設(shè)這個(gè)代賣店在這一個(gè)月內(nèi)每天都定制15份

該種快餐.

(I)求該種快餐當(dāng)天的利潤(rùn)不少于52元的概率.

(ii)求這一個(gè)月該種快餐的日利潤(rùn)的平均數(shù)(精確到0.1).

_(60,x>15,xGN

(1)y~\jx-45,x>15,xeN.(2)(i)0.7；(ii)53.5

【解析】

(1)由題意得當(dāng)x>15時(shí),y=4x15=60；

當(dāng)x<15時(shí),y=4x-3(15-x)=lx-45.

耐V=160.x>15,XeJV

加以)一|7x-45*>15xeN

(2)由題意可得該種快餐的利潤(rùn)情況如下表：

天數(shù)45615

利潤(rùn)39465360

P=-----=0.7

(i)該種快餐當(dāng)天的利潤(rùn)不少于52元的概率為30

4x394-5x464-6x53+15x60?一

-------------------------------.53.5

(ii)這一個(gè)月該種快餐的日利潤(rùn)的平均數(shù)為30(元).

點(diǎn)睛：本題以實(shí)際問題為載體考查概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)問題，難度中等，解題的難點(diǎn)是對(duì)題意的理解，因此解

答類似問題時(shí)要認(rèn)真讀懂、理解題意，然后按照要求結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

12.某超市每天按每包4元的價(jià)格從廠家購(gòu)進(jìn)“包面包為常數(shù)，neN*),然后以每包6元的價(jià)格出售,

如果當(dāng)天賣不完，剩下的面包以每包2元的價(jià)格全部降價(jià)處理完.

（1）求超市當(dāng)天的利潤(rùn)》（單位：元）關(guān)于當(dāng)天日需求量x（單位：包，X6N）的函數(shù)解析式;

（2）超市記錄了100天面包的日需求量x（單位：包），整理得下：

日需求量X140150160170180190200

頻數(shù)10201616151310

（以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率）

①若n=160,求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于320元的概率

②根據(jù)每天的平均利潤(rùn)判斷：〃=160和n=170兩種進(jìn)貨方案哪種更好.

（1）見解析；（2）見解析

【解析】

4x—2nx<n

2n,x>n

QXD由4x-3202320,解得。160,P（x>160）=0.7

②當(dāng)n=160時(shí);由函數(shù)關(guān)系可計(jì)算的下表:

日需求量X140150>160

利潤(rùn)y240280320

10x240+20x280+70x320

平均利潤(rùn)為=100=304

當(dāng)當(dāng)n=170時(shí)，由函數(shù)關(guān)系可計(jì)算的下表：

日需求量X140150160>170

利潤(rùn)y220260300340

10x220+20x260+16x300+54x340

平均利潤(rùn)y2=100=305.6

由于%>力，故應(yīng)采用爐170的進(jìn)貨方案.

13.（本小題滿分12分）

甲公司準(zhǔn)備向乙公司購(gòu)買某種主機(jī)及相應(yīng)的易損配置零件，乙公司提出了一種優(yōu)惠銷售方式,即如果購(gòu)買主

機(jī)產(chǎn)品同時(shí)購(gòu)買易損配置零件,每個(gè)價(jià)格300元,否則后期單一購(gòu)買易損配置零件則每個(gè)價(jià)格為500元，甲

公司為了解主機(jī)產(chǎn)品在使用過程中易損配置零件的損耗情況,市場(chǎng)部對(duì)50部主機(jī)產(chǎn)品使用過程中的易損配

置零件的耗情況作了調(diào)查并且做了如下的柱狀圖表：

記x表示一個(gè)主機(jī)使用過程中的易損配置零件數(shù),y表示正常使用一臺(tái)主機(jī)時(shí)購(gòu)買易損配置零件數(shù)的費(fèi)用,n

表示購(gòu)買主機(jī)時(shí)購(gòu)買的易損配置零件數(shù)

(I)若n=5,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式

(H)假設(shè)這50部主機(jī)在購(gòu)買時(shí)每個(gè)主機(jī)都購(gòu)買了6個(gè)配置零件,或7個(gè)配置零件,分別寫出這50部主機(jī)在

購(gòu)買配置零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，并以此分析甲公司在購(gòu)買一臺(tái)主機(jī)時(shí)應(yīng)購(gòu)買幾個(gè)配置零件合算？

(1500,x<5

([)y=(500x-1000,%>5

(H)購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買6個(gè)配置零件.

【解析】

(D當(dāng)n=5時(shí)，

J5x300.x<5J1500.x<5

-(.5x300+(x-5)x500.x>5(50Or—1000.x>5

(U)f度設(shè)這50臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買6個(gè)配置零件，

所須費(fèi)用平均數(shù)為A(22x6x300+12x2300-10x2800-6x3300)=2300

(元M跳殳這50臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買7個(gè)配置零件，

所須費(fèi)用平均數(shù)為,(34x7x300+10x2600+6x3100)=2320(元)

?.1230(X2320

/.購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買6個(gè)配置零件.

14.某小店每天以每份5元的價(jià)格從食品廠購(gòu)進(jìn)若干份食品，然后以每份10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不

完，剩下的食品還可以每份1元的價(jià)格退回食品廠處理.

(I)若小店一天購(gòu)進(jìn)16份，求當(dāng)天的利潤(rùn)V(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量”(單位：份，neN)的函數(shù)解

析式；

(II)小店記錄了100天這種食品的日需求量(單位：份)，整理得下表:

日需求量n14151617181920

頻數(shù)10201616151310

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

(i)小店一天購(gòu)進(jìn)16份這種食品，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(ii)以小店當(dāng)天利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你認(rèn)為一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)食品16份還是17份？

f9n-64,n<16相

(l/l80,n>16f/'?(][)⑴答案見解析；(a)]7份.

【解析】

<1)當(dāng)日需求量%*6時(shí)，利潤(rùn)丁=80,

當(dāng)日需求量閥<16時(shí)，利潤(rùn)^=5%-4(16-冷=加-64,

9?-64,?<16,

y=\(?eN)

所以了關(guān)于〃的函數(shù)解析式為國(guó)6/216

(H)(1)由題意知X的所有可能的取值為62,71,80,

并且產(chǎn)(X=62)=0.1,尸(X=71)=0.2,1(工=80)=0.7

二.X的分布列為：

X627180

P0.10.20.7

...￡吠)=62x0.1+71x0.2+80x0.7=76.4元

ai)若小店一天購(gòu)進(jìn)17份食品，y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么y的分布列為

Y58677685

P0.10.20.160.54

?Y的數(shù)學(xué)期望為=58x0.1+67x0.2+76x0.16+85x0.54=77.26元

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出￡（x）<5（y）,

即購(gòu)進(jìn)17份食品時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16份時(shí)的平均利潤(rùn).

所以小店應(yīng)選擇一天購(gòu)進(jìn)17份.

15.某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，Z產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比（如圖1）,B產(chǎn)品的

利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比（如圖2）.（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬元）

（注：利潤(rùn)與投資額的單位均為萬元）

（1）分別將4B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)/（%）、9（刈表示為投資額*的函數(shù);

（2）該團(tuán)隊(duì)已籌集到10萬元資金，并打算全部投入人B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為多少萬

元時(shí)，生產(chǎn)4B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？

*%）=%（*二0）9（幻=入砥*20）

（1）4,4；（2）6.25,4.0625.

【解析】(1)f(x)=>0),

g（x）=*（x>0）.

（2）設(shè)8產(chǎn)品的投資額為x萬元，貝總產(chǎn)品的投資額為（10-冷萬元,

創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的利澗為y萬元，

WJy=g(x)+f(io-x)=^vT+^(io-x)(o<x<io),

令、W=t,y=+7(0<t<v,TO),即Y=-：(t-：)二+當(dāng)(0<t<、m),

44M4MIo

當(dāng)t=即》=6.25B寸，y取得最大值4.0625.

答:當(dāng)B產(chǎn)品的投資額為6.25萬元時(shí)，創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)獲得的最大利澗為4.0625萬元.

16.某市一家商場(chǎng)的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式，這三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式如下：方式一：每天到該商場(chǎng)

領(lǐng)取獎(jiǎng)品，價(jià)值為40元：方式二：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為10元，以后每天比前一天多10元；方式

三：第一天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品的價(jià)值為0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.若三種領(lǐng)獎(jiǎng)方式在商場(chǎng)的獎(jiǎng)品

總價(jià)值均不超過1200元，則促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)設(shè)置為幾天？在領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)的情況下，你認(rèn)為哪種

領(lǐng)獎(jiǎng)方式讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵?/p>

促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)可設(shè)置11天，在這11天內(nèi)選擇方式三會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?

【解析】設(shè)促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)為x天，三種方式的領(lǐng)取獎(jiǎng)品總價(jià)值分別為f(x)，gG)/G)

貝獷(x)=401J

g(x)=10+20+30+???10x=5*二+

h(x)=0.4+0.4x2+0.4x2=+…+0.4x2X-~=0.4?2X-0.4,

要使獎(jiǎng)品總價(jià)值不超過1200元，則

/(X)<1200(x<30

g(x)<1200Rnlx2-240<0

h(x)<1200*12X<3001解得x<

,xeNIxeN

y/(ll)=440,p(ll)=660,Mil)=818.8,

故h(ll)>g(lD>f(ll)

答：促銷獎(jiǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)活動(dòng)最長(zhǎng)可設(shè)置11天，在這U天內(nèi)選擇方式三會(huì)讓領(lǐng)獎(jiǎng)?wù)呤芤娓?

17.2017年兩會(huì)繼續(xù)關(guān)注了鄉(xiāng)村教師的問題，隨著城鄉(xiāng)發(fā)展失衡,鄉(xiāng)村教師待遇得不到保障,流失現(xiàn)象嚴(yán)重,

教師短缺會(huì)嚴(yán)重影響鄉(xiāng)村孩子的教育問題,為此,某市今年要為某所鄉(xiāng)村中學(xué)招聘儲(chǔ)備未來三年的教師,現(xiàn)

在每招聘一名教師需要2萬元,若三年后教師嚴(yán)重短缺時(shí)再招聘，由于各種因素，則每招聘一名教師需要5

萬元，已知現(xiàn)在該鄉(xiāng)村中學(xué)無多余教師,為決策應(yīng)招聘多少鄉(xiāng)村教師搜集并整理了該市100所鄉(xiāng)村中學(xué)在過

去三年內(nèi)的教師流失數(shù),得到如下的柱狀圖：記x表示一所鄉(xiāng)村中學(xué)在過去三年內(nèi)流失的教師數(shù),y表示一

所鄉(xiāng)村中學(xué)未來四年內(nèi)在招聘教師上所需的費(fèi)用(單位：萬元)，n表示今年為該鄉(xiāng)村中學(xué)招聘的教師數(shù)，

為保障鄉(xiāng)村孩子教育不受影響，若未來三年內(nèi)教師有短缺，則第四年馬上招聘.

⑴若n=19,求y與x的函數(shù)解析式：

⑵若要求“流失的教師數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值；

(3)假設(shè)今年該市為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)的每一所都招聘了19個(gè)教師或20個(gè)教師，分別計(jì)算該市未來四年

內(nèi)為這100所鄉(xiāng)村中學(xué)招聘教師所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，今年該鄉(xiāng)村中學(xué)應(yīng)招聘19名還

是20名教師？

(1)"h-弦第9(*ejv)；(2)19；(3)19

【解析】

⑴當(dāng)XW19時(shí)j=2x19=38萬

當(dāng)x>19時(shí),y=38+5(x-19)=5x-57萬，

所以y與x的函數(shù)解析式為)，=屋38].>19(xeN)

(2)由柱狀圖知，流失的教師數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.

(3錯(cuò)每所鄉(xiāng)村中學(xué)在今年都招聘19名教師，則未來四年內(nèi)這100所鄉(xiāng)村中學(xué)中有70所在招聘教師上費(fèi)用為

38萬元,20所的費(fèi)用為43萬元10所的費(fèi)用為48萬元,因此這100所鄉(xiāng)村中學(xué)未來四年內(nèi)在招聘教師上所需

費(fèi)用的平均數(shù)為亮x(38x7X3X2OM8xl0)=40萬元。

若每所鄉(xiāng)村中學(xué)在今年都招聘20名教師，則這100所鄉(xiāng)村中學(xué)中有90所在招聘師上的費(fèi)用為40萬元,10所

的費(fèi)用為45萬元，因此未來四年內(nèi)這100所鄉(xiāng)村中學(xué)在招聘教師上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

嗑*(40x90^45x10)=40.5萬元。

比校兩個(gè)平均數(shù)可知，今年應(yīng)為該鄉(xiāng)村中學(xué)招聘19名教師。

18.某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣.凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為x

(單位：元，x0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過20,則

,、1260

ZJ(X)_________

x+1；若X大于或等于180,則銷售量為零；當(dāng)20WXW180時(shí)，q(久)=a-b〃(a,b為

實(shí)常數(shù)).

(I)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式；

(1【)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.

?1260

------,0<x<20,

q(x)=x4-1

90-34獲20<x<180,

(i)0,x>180.

(2)當(dāng)x等于80元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元.

【解析】

，

a—b?v20=60解n=3訪

(1)求分段函數(shù)解析式，可從分段的節(jié)點(diǎn)出發(fā)，尋找條件，確定參數(shù):

a—b-v*180=0

券0<x<20.

(先列出利潤(rùn)函數(shù)解析式

列出q&)=90—3V弓、兄20cxs180.2)

I0.x>180

126000X

0<x<20.

JT+1R

/(x)=\9000x-300^-20<x<180，分三段求最值，第一段為分式函數(shù)，可利用變量分離,

0x>180

結(jié)合單調(diào)性求最大值；第二段利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，研究單調(diào)趨勢(shì)，求最大值：第三段為常函數(shù)，最后求三

段最大值的最大值

a-b'v'20=60/曰n=90,

試題解析：解：3)當(dāng)20WXW180B寸,由____得

n-&?v'180=0b=3V5

票,0<x￡20.

故式

x)=90-3\/5\/x,20<x<180.

0.x>180

(2)設(shè)總利潤(rùn)/(x)=x-q(x),

0cx<20.

x+1

由(D得f(x)=<900(h.—300痣?小左20<X<180

0x>180

當(dāng)0<x±20時(shí)，/(乃=(詈=126000-言”，/&)在［020］上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=20時(shí)，f(x)有最大值120000.

當(dāng)20VXW180時(shí)，/(x)=9000x-300^/5-xyJx,f(x)=9000-450&

令f(x)=0,得x=80.

當(dāng)20cx<80時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)80CXW180時(shí)，/1(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=80時(shí)，/(X)有最大值240000.

當(dāng)180<沖寸，/(%)=0.

答：當(dāng)”等于80元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值240000元.

19.某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的電子產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)電子產(chǎn)品的利潤(rùn)為x(單位:

2400

元，>>0)時(shí)，銷售量(7(x)(單位：百臺(tái))與x的關(guān)系滿足：若x不超過25,則+；若X大于

或等于225,則銷售量為零；當(dāng)25WxW225時(shí)，q(x)=a~b&(a,6為實(shí)常數(shù)).

(1)求函數(shù)Mx)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(rùn)(單位：元)取得最大值，并求出該最大值.

(1)見解析；(2)當(dāng)x等于100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元.

【解析】

"一〃?病=400,

片600,

a-Z>*^25=().得16=40.

(1)當(dāng)25—225時(shí),由

2100,

-/,0<啟25,

5+11

600—4(3，25Vz225,

故如Y尸0,*>225.

(2)設(shè)總利潤(rùn)<x)=rg(x),

(240(XK)*/

...)---------.0〈忘25,

5+11

6()()()0*—40()0.心，25<xW225,

由(1居外0=、0,%>225.

240000*11

當(dāng)0<M5時(shí)，*c尸.+11=240000p國(guó)#0在(0,25］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=25時(shí)，作)有最大值1000000.當(dāng)25<x<225時(shí),fix)=60000x~4000八「,f'(x)=60000-

6000〃,

令f(%)=0,得x=100.

當(dāng)25<豕100時(shí)，f(x)>0,/U)單調(diào)遞增，

當(dāng)100<A<225時(shí)，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=100時(shí)，/'(x)有最大值.

當(dāng)x>225時(shí),f(x)=0.

答：當(dāng)不等于100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元.

20.在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊上有一點(diǎn)P,沿著折線BCDA由點(diǎn)B（起點(diǎn)）向點(diǎn)A（終點(diǎn)）運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

的路程為X,AAPB的面積為y,且y與x之間的函數(shù)關(guān)系式用如圖所示的程序框圖給出.

⑴寫出程序框圖中①,②,③處應(yīng)填充的式子.

⑵若輸出的面積y值為6,則路程x的值為多少？

(1)y=2x,y=8,y=24-2x.(2)x=3或x=9.

【解析】

<1）由題意相函數(shù)的定義域?yàn)?12）,

當(dāng)0<xW4時(shí)，y=i-4-x=2x}

當(dāng)4<xW8時(shí)，y=8;

當(dāng)8<x<12時(shí)，y=7-4（12-A）=24-2x.

故程序框圖中①，②,③處應(yīng)填充的式子分別為:y=2x,y=8,y=24-2x.

（2帶輸出的y值為6,則

當(dāng)0<x=4時(shí)，2x=6,解得x=3；

當(dāng)8<x<12時(shí)，24-2x=6,解得x=9.

綜上，輸出的面積y值為6,則路程x的值為3或9.

21.國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)從2009年起，將每年8月8日設(shè)置為“全民健身日”，為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，各地利用已有土

地資源建設(shè)健身場(chǎng)所.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方形地塊4BCD,邊4B為2km,AD為4km.地塊的一角是草坪（圖中

陰影部分），其邊緣線4c是以直線4D為對(duì)稱軸，以4為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線

4c上一點(diǎn)P的直線型隔離帶EF,E,F分別在邊4B,BC上（隔離帶不能穿越草坪，且占地面積忽略不計(jì)），

2

將隔離出的4BEF作為健身場(chǎng)所.則aBEF的面積為S的最大值為（單位：km）.

64

27

【解析】

如圖，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,設(shè)邊

緣線4c所在拋物線的方程為），=ax）把（2,4戲入，得a