第四講下-球坐標中的分離變量法

§2.3球坐標中的分離變量法一、球坐標系中拉普拉斯方程的分離變量2023/7/281第四講下-球坐標中的分離變量法球坐標系柱坐標系2023/7/282第四講下-球坐標中的分離變量法分離變量歐勒型方程2023/7/283第四講下-球坐標中的分離變量法球函數(shù)方程進一步分離變量：2023/7/284第四講下-球坐標中的分離變量法2023/7/285第四講下-球坐標中的分離變量法締合勒讓德方程2023/7/286第四講下-球坐標中的分離變量法本征函數(shù)即為締合勒讓德函數(shù)：如果問題具有軸對稱，可選z軸為對稱軸，則問題與無關(guān)，本征函數(shù)簡化為勒讓德函數(shù)：l=0,1,2,…2023/7/287第四講下-球坐標中的分離變量法二、球函數(shù)Clm可任取，一般取其滿足：2023/7/288第四講下-球坐標中的分離變量法2023/7/289第四講下-球坐標中的分離變量法2023/7/2810第四講下-球坐標中的分離變量法締合勒讓德函數(shù)正交歸一關(guān)系2023/7/2811第四講下-球坐標中的分離變量法前幾個球函數(shù)：2023/7/2812第四講下-球坐標中的分離變量法z軸對稱:m=0球?qū)ΨQ:l=m=0三、拉普拉斯方程的通解2023/7/2813第四講下-球坐標中的分離變量法四、球坐標系中亥姆霍茲方程的分離變量類似于拉普拉斯方程的分離變量球貝塞爾函數(shù)諾誒函數(shù)2023/7/2814第四講下-球坐標中的分離變量法例1在均勻外電場E0中置入半徑為r0的導(dǎo)體球，取球心為坐標原點，導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差為u0，求球內(nèi)、外的電勢。設(shè)導(dǎo)體球置入前坐標原點的電勢為零．五、球形域上的定解問題2023/7/2815第四講下-球坐標中的分離變量法除球面上有自由電荷分布外，球內(nèi)、外均無自由電荷分布，故u1與u2均滿足拉普拉斯方程如圖選取坐標系，原點在球心、極軸沿E0方向的球坐標系．解：球坐標系2023/7/2816第四講下-球坐標中的分離變量法1、定解問題2023/7/2817第四講下-球坐標中的分離變量法2、根據(jù)對稱性得通解形式2023/7/2818第四講下-球坐標中的分離變量法3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2023/7/2819第四講下-球坐標中的分離變量法外場電池感應(yīng)2023/7/2820第四講下-球坐標中的分離變量法

例2半球的球面保持一定溫度u0cos，半球底面保持零度，試求這個半球的穩(wěn)定溫度分布，設(shè)球半徑為r0如圖選取坐標系，原點在球心解：球坐標系2023/7/2821第四講下-球坐標中的分離變量法1、定解問題2023/7/2822第四講下-球坐標中的分離變量法2、將u作奇延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因為Pl(x)定義在區(qū)間[-1,1],即在區(qū)間[0,]。目前的區(qū)間為[0,/2]，所以要作奇延拓。以=/2為對稱點，cos正好是奇延拓u0cosq2023/7/2823第四講下-球坐標中的分離變量法球坐標系cos關(guān)于點=/2為點對稱，故cos正好是從[0,/2]到[0,]的奇延拓2023/7/2824第四講下-球坐標中的分離變量法2、根據(jù)對稱性得通解形式3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2023/7/2825第四講下-球坐標中的分離變量法2023/7/2826第四講下-球坐標中的分離變量法例3在上例中，若半球底面絕熱，求這個半球里的穩(wěn)定溫度分布。1、定解問題2023/7/2827第四講下-球坐標中的分離變量法2、將u作偶延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因?qū)?shù)為零，應(yīng)以=/2作偶延拓。以/2為對稱點，|cos|為偶延拓u0cosq2023/7/2828第四講下-球坐標中的分離變量法球坐標系|cos|關(guān)于點=/2為軸對稱，故|cos|正好是從[0,/2]到[0,]的偶延拓2023/7/2829第四講下-球坐標中的分離變量法2、根據(jù)對稱性得通解形式3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2023/