2024年浙江寧波鄞州中學(xué)強(qiáng)基自主招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強(qiáng)基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。1.若，且，則______.2.______.3.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____.4.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y有最大值5，則a的值為_(kāi)_____.5.已知中，BC上的一點(diǎn)D，，，則的最大值為_(kāi)_____.6.若點(diǎn)T為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，，且，，，，則______.7.如圖，在中，G，E分別在AB，AC上，連結(jié)BE交AF于O，若，，G，O，C共線(xiàn)，的面積為11，則的面積為_(kāi)_____.

8.已知整數(shù)x，y，z滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____.9.已知x，y，z是大于1的正整數(shù)，且為整數(shù)，則______.10.已知EA、EC為圓O的兩條切線(xiàn)，連結(jié)DE交圓于點(diǎn)B，若，，，則______.

二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。11.本小題8分

已知，矩形OAPB的A，B頂點(diǎn)分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的BP，AP分別交于D，C，的面積為

判斷并證明直線(xiàn)CD與AB的關(guān)系.

求k的值.

若E，F(xiàn)分別為直線(xiàn)AB和反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，M為EF中點(diǎn)，求OM的最小值.12.本小題8分

如圖，在中，，D是垂心，O是外心，延長(zhǎng)AD交BC于E，于

求證：

證明：B，O，D，C四點(diǎn)共圓.

若，求

答案和解析1.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，是方程的兩個(gè)根，

，

故答案為

根據(jù)觀(guān)察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，可把方程組轉(zhuǎn)化成的形式，其中x，是其兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果．

本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．關(guān)鍵是觀(guān)察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，得到x，是方程的兩個(gè)根，得到結(jié)果．2.【答案】

【解析】解：原式

故答案為：

將改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，…，再利用裂項(xiàng)相消法即可解決問(wèn)題．

本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能將改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，…，及熟知裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵．3.【答案】18

【解析】解：構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，

即，，，

滿(mǎn)足，，，，，，

則由勾股定理可知，即同理可得，，

所以可知當(dāng)A，C，E，G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，

即為AG長(zhǎng)，當(dāng)當(dāng)A，C，E，G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，

在中

故答案為

本題利用幾何法求解，通過(guò)構(gòu)造圖示的三個(gè)直角三角形，即，，，

則由勾股定理可知，即同理可得，，

所以可知當(dāng)A，C，E，G四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，

即為AG長(zhǎng)，

本題主要考查二次根式最值問(wèn)題，用幾何法構(gòu)造直角三角形，結(jié)合最短路徑問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4.【答案】1或7

【解析】解：由題意，的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，

當(dāng)時(shí)，

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)最大值為，

或不合題意；

②當(dāng)最大值為，

或，均不合題意；

③當(dāng)最大值為，

不合題意或

綜上，或

故答案為：1或

依據(jù)題意，由的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，結(jié)合當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而分類(lèi)討論即可判斷得解．

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、二次函數(shù)的最值，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．5.【答案】

【解析】解：如圖，以CD為邊作等邊三角形CDO，連接AO，過(guò)點(diǎn)O作于E，

，

設(shè)，則，

，，

點(diǎn)A在以O(shè)為半徑，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)AB與圓O相切時(shí)，有最大值，

此時(shí)：，

是等邊三角形，，

，

，

，

又，

，

，

四邊形AOEB是平行四邊形，

又，

四邊形AOEB是矩形，

，

故答案為：

由題意可得點(diǎn)A在以O(shè)為半徑，OC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)AB與圓O相切時(shí)，有最大值，由“HL”可證，可得，可證四邊形AOEB是矩形，可得，即可求解．

本題考查了四點(diǎn)共圓，圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，確定點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．6.【答案】3

【解析】解：如圖，過(guò)T作延長(zhǎng)DT交AB于

，

，

為線(xiàn)段BC中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌，

，

，

面積，

，

，

，

，

，

，

故答案為：

先畫(huà)出圖形，過(guò)T作延長(zhǎng)DT交AB于由，得，再證明≌，得，，由面積，得，，，

，，，最后再計(jì)算即可．

本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，利用中線(xiàn)倍長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．7.【答案】30

【解析】解：梅涅勞斯定理：如圖，，

證明：過(guò)A作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，

則，，

；

塞瓦定理：如圖，，

證明：根據(jù)上述梅涅勞斯定理，可得出，

在中，COG是梅涅線(xiàn)，①

在中，BOE是梅涅線(xiàn)，②

根據(jù)梅涅勞斯定理，在中，COG是梅涅線(xiàn)，

，

，，

，，

，

，

根據(jù)塞瓦定理可得，

，

，

而，

，

故答案為：

根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出和，從而得出，再利用即可得解．

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問(wèn)題等內(nèi)容，在初中競(jìng)賽、自招、強(qiáng)基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容．8.【答案】118

【解析】解：，

，

，，，

，

即，

故答案為：

根據(jù)，得出，從而得出結(jié)論．

本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．9.【答案】12

【解析】解：、y、z是大于1的正整數(shù)，

是分?jǐn)?shù)，

為假分?jǐn)?shù)，

為整數(shù)，且分子分母能互相約分，

，

①當(dāng)，時(shí)，分子中定有7，

分母中有7才能進(jìn)行約分，

當(dāng)時(shí)，

，故符合題意，

，

②，時(shí)，分子中定有13，

分母中有13才能進(jìn)行約分，

當(dāng)時(shí)，

不是整數(shù)，故不符合題意，

③，時(shí)，分子中定有21，

分母中有21才能進(jìn)行約分，

當(dāng)時(shí)，

不是整數(shù)，故不符合題意，

…………

其余情況依次討論均不符合題意

故答案為：

根據(jù)x、y、z的條件和三個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積為整數(shù)，得出x、y、z的值，進(jìn)而求和．

本題考查了分式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分類(lèi)討論得到x、y、z的值．10.【答案】

【解析】解：連接OA，OD，OC，作，設(shè)，

同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，，

，

，

是等邊三角形，

，，

，CE是的切線(xiàn)，

，，，

，

，

，

，

，

∽，

，

同理可證：∽，

得出：，

，

，，

，

是直徑，

，

，，，

，，

，

，

，

，

，

連接OA，OD，OC，作，設(shè)，證是等邊三角形，得出，證∽，∽，得出，得出CD是直徑，再解直角三角形，求出m，即可．

本題考查切線(xiàn)長(zhǎng)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)．作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．11.【答案】解：如圖1，

，理由如下：

由題意得，

，，

，，

，，

，

，

，

∽，

，

；

如圖2，

作于G，

，

，

，

，

，舍去，

；

如圖2，

取點(diǎn)，，

則直線(xiàn)與直線(xiàn)AB關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，

連接EO，并延長(zhǎng)交于H，連接FH，

則，

是EF的中點(diǎn)，

，

當(dāng)FH最小時(shí)，OM最小，

作直線(xiàn)，交y軸與Q，且使QR與雙曲線(xiàn)在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作于R，作，

則FH的最小值是的長(zhǎng)，

直線(xiàn)AB的解析式為：，

設(shè)直線(xiàn)QR的解析式為：，

由整理得，，

，

，舍去，

，

，

，，，

，

，

，

【解析】可表示出，，從而得出，，進(jìn)而表示出PD和PC，進(jìn)而得出，進(jìn)而證得∽，從而，從而得出；

作于G，可推出，進(jìn)一步得出結(jié)果；

取點(diǎn)，，則直線(xiàn)與直線(xiàn)AB關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，連接EO，并延長(zhǎng)交于H，連接FH，則，可得出當(dāng)FH最小時(shí)，OM最小，作直線(xiàn)，交y軸與Q，且使QR與雙曲線(xiàn)在第一象限的圖象相切，切點(diǎn)為，作于R，作，則FH的最小值是的長(zhǎng)，可設(shè)直線(xiàn)QR的解析式為：，由整理得，，從而得出求得m的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．

本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程組之間的關(guān)系，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造三角形的中位線(xiàn)．12.【答案】解：根據(jù)題意，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓O，延長(zhǎng)BO交圓于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)M，連接OC，CD，AF，F(xiàn)C，

是直徑，

，，

為垂心，

，，，

，，

是平行四邊形，

，

，，

，

，

設(shè)半徑為r，，

，

又，

；

為垂心，

，，，

，

，

，

，，

、C、D、O四點(diǎn)共圓；

設(shè)，

，

，

在直角中，，，，

，，

，

在直角中，，

即：，

在直角中，，

即：，

，

，

在中，，

即：，

，

或舍去，

【解析】由垂心，得到垂直關(guān)系，結(jié)合圓周角度數(shù)為，得到圓心角的