2024年浙江寧波鄞州中學(xué)強基自主招生數(shù)學(xué)試卷真題(含答案詳解)_第1頁
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文檔簡介

第=page11頁,共=sectionpages11頁2024年浙江省寧波市鄞州中學(xué)強基招生數(shù)學(xué)試卷一、填空題:本題共10小題,每小題3分,共30分。1.若,且,則______.2.______.3.已知正實數(shù)a,b,c滿足,則的最小值為______.4.已知函數(shù),當時,y有最大值5,則a的值為______.5.已知中,BC上的一點D,,,則的最大值為______.6.若點T為線段BC中點,,且,,,,則______.7.如圖,在中,G,E分別在AB,AC上,連結(jié)BE交AF于O,若,,G,O,C共線,的面積為11,則的面積為______.

8.已知整數(shù)x,y,z滿足,則的最小值為______.9.已知x,y,z是大于1的正整數(shù),且為整數(shù),則______.10.已知EA、EC為圓O的兩條切線,連結(jié)DE交圓于點B,若,,,則______.

二、解答題:本題共2小題,共16分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。11.本小題8分

已知,矩形OAPB的A,B頂點分別在x軸,y軸上,反比例函數(shù)與矩形的BP,AP分別交于D,C,的面積為

判斷并證明直線CD與AB的關(guān)系.

求k的值.

若E,F(xiàn)分別為直線AB和反比例函數(shù)上的動點,M為EF中點,求OM的最小值.12.本小題8分

如圖,在中,,D是垂心,O是外心,延長AD交BC于E,于

求證:

證明:B,O,D,C四點共圓.

若,求

答案和解析1.【答案】

【解析】解:,

,

,

,是方程的兩個根,

,

故答案為

根據(jù)觀察方程組的系數(shù)特點,可把方程組轉(zhuǎn)化成的形式,其中x,是其兩個不等的實數(shù)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到結(jié)果.

本題考查了解方程組,一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用.關(guān)鍵是觀察方程組的系數(shù)特點,得到x,是方程的兩個根,得到結(jié)果.2.【答案】

【解析】解:原式

故答案為:

將改寫為,改寫為,…,再利用裂項相消法即可解決問題.

本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律,能將改寫為,改寫為,…,及熟知裂項相消法是解題的關(guān)鍵.3.【答案】18

【解析】解:構(gòu)造圖示的三個直角三角形,

即,,,

滿足,,,,,,

則由勾股定理可知,即同理可得,,

所以可知當A,C,E,G四點共線時,最小,

即為AG長,當當A,C,E,G四點共線時,

在中

故答案為

本題利用幾何法求解,通過構(gòu)造圖示的三個直角三角形,即,,,

則由勾股定理可知,即同理可得,,

所以可知當A,C,E,G四點共線時,最小,

即為AG長,

本題主要考查二次根式最值問題,用幾何法構(gòu)造直角三角形,結(jié)合最短路徑問題是解決問題的關(guān)鍵.4.【答案】1或7

【解析】解:由題意,的對稱軸是直線,

當時,

又當時,,當時,,

①當最大值為,

或不合題意;

②當最大值為,

或,均不合題意;

③當最大值為,

不合題意或

綜上,或

故答案為:1或

依據(jù)題意,由的對稱軸是直線,結(jié)合當時,,又當時,,當時,,進而分類討論即可判斷得解.

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、非負數(shù)的性質(zhì):絕對值、二次函數(shù)的最值,解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.5.【答案】

【解析】解:如圖,以CD為邊作等邊三角形CDO,連接AO,過點O作于E,

,

設(shè),則,

,,

點A在以O(shè)為半徑,OC為半徑的圓上運動,

當AB與圓O相切時,有最大值,

此時:,

是等邊三角形,,

,

,

又,

,

,

四邊形AOEB是平行四邊形,

又,

四邊形AOEB是矩形,

故答案為:

由題意可得點A在以O(shè)為半徑,OC為半徑的圓上運動,則當AB與圓O相切時,有最大值,由“HL”可證,可得,可證四邊形AOEB是矩形,可得,即可求解.

本題考查了四點共圓,圓的有關(guān)知識,全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的判定和性質(zhì)等知識,確定點A的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.6.【答案】3

【解析】解:如圖,過T作延長DT交AB于

,

,

為線段BC中點,

在和中,

≌,

,

,

面積,

,

,

,

,

故答案為:

先畫出圖形,過T作延長DT交AB于由,得,再證明≌,得,,由面積,得,,,

,,,最后再計算即可.

本題考查了平行線的性質(zhì),利用中線倍長是解題關(guān)鍵.7.【答案】30

【解析】解:梅涅勞斯定理:如圖,,

證明:過A作交BC延長線于點M,

則,,

;

塞瓦定理:如圖,,

證明:根據(jù)上述梅涅勞斯定理,可得出,

在中,COG是梅涅線,①

在中,BOE是梅涅線,②

根據(jù)梅涅勞斯定理,在中,COG是梅涅線,

,,

,,

,

根據(jù)塞瓦定理可得,

,

,

而,

,

故答案為:

根據(jù)梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出和,從而得出,再利用即可得解.

本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等內(nèi)容,在初中競賽、自招、強基等題目中,梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容.8.【答案】118

【解析】解:,

,

,,,

,

即,

故答案為:

根據(jù),得出,從而得出結(jié)論.

本題考查了因式分解的應(yīng)用,關(guān)鍵是掌握完全全平方公式和非負數(shù)的性質(zhì).9.【答案】12

【解析】解:、y、z是大于1的正整數(shù),

是分數(shù),

為假分數(shù),

為整數(shù),且分子分母能互相約分,

①當,時,分子中定有7,

分母中有7才能進行約分,

當時,

,故符合題意,

,

②,時,分子中定有13,

分母中有13才能進行約分,

當時,

不是整數(shù),故不符合題意,

③,時,分子中定有21,

分母中有21才能進行約分,

當時,

不是整數(shù),故不符合題意,

…………

其余情況依次討論均不符合題意

故答案為:

根據(jù)x、y、z的條件和三個分數(shù)的乘積為整數(shù),得出x、y、z的值,進而求和.

本題考查了分式的混合運算,關(guān)鍵是根據(jù)已知條件分類討論得到x、y、z的值.10.【答案】

【解析】解:連接OA,OD,OC,作,設(shè),

同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍,,

,

,

是等邊三角形,

,,

,CE是的切線,

,,,

,

,

,

∽,

,

同理可證:∽,

得出:,

,

,,

,

是直徑,

,,,

,,

,

,

,

,

連接OA,OD,OC,作,設(shè),證是等邊三角形,得出,證∽,∽,得出,得出CD是直徑,再解直角三角形,求出m,即可.

本題考查切線長定理,相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理等知識.作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.11.【答案】解:如圖1,

,理由如下:

由題意得,

,,

,,

,,

,

,

∽,

;

如圖2,

作于G,

,

,

,舍去,

如圖2,

取點,,

則直線與直線AB關(guān)于O對稱,

連接EO,并延長交于H,連接FH,

則,

是EF的中點,

當FH最小時,OM最小,

作直線,交y軸與Q,且使QR與雙曲線在第一象限的圖象相切,切點為,作于R,作,

則FH的最小值是的長,

直線AB的解析式為:,

設(shè)直線QR的解析式為:,

由整理得,,

,

,舍去,

,

,

,,,

,

,

,

【解析】可表示出,,從而得出,,進而表示出PD和PC,進而得出,進而證得∽,從而,從而得出;

作于G,可推出,進一步得出結(jié)果;

取點,,則直線與直線AB關(guān)于O對稱,連接EO,并延長交于H,連接FH,則,可得出當FH最小時,OM最小,作直線,交y軸與Q,且使QR與雙曲線在第一象限的圖象相切,切點為,作于R,作,則FH的最小值是的長,可設(shè)直線QR的解析式為:,由整理得,,從而得出求得m的值,進一步得出結(jié)果.

本題考查了求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式,函數(shù)圖象的交點與方程組之間的關(guān)系,三角形中位線的性質(zhì),解直角三角形等知識,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造三角形的中位線.12.【答案】解:根據(jù)題意,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓O,延長BO交圓于點F,延長BD交AC于點M,連接OC,CD,AF,F(xiàn)C,

是直徑,

,,

為垂心,

,,,

,,

是平行四邊形,

,

,,

,

設(shè)半徑為r,,

,

又,

;

為垂心,

,,,

,

,

,,

、C、D、O四點共圓;

設(shè),

,

在直角中,,,,

,,

,

在直角中,,

即:,

在直角中,,

即:,

,

,

在中,,

即:,

,

或舍去,

【解析】由垂心,得到垂直關(guān)系,結(jié)合圓周角度數(shù)為,得到圓心角的

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