大學(xué)物理A2課件第23章

電勢(shì)第二十三章開篇問題----請(qǐng)猜一猜考慮一對(duì)等量異號(hào)、電荷密度為的平板，下列哪種情形會(huì)增加平行板間的電壓（假定電荷密度固定）？減小兩板間距；增加兩板間距；平行板面積增加兩倍；平行板面積減半。本章目錄23-1電勢(shì)能與電勢(shì)差23-2電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系23-3點(diǎn)電荷電勢(shì)23-4連續(xù)帶電體電勢(shì)23-5等勢(shì)面23-6點(diǎn)偶極子電勢(shì)23-7由電勢(shì)確定電場(chǎng)強(qiáng)度23-8靜電勢(shì)能；電子伏特23-9陰極射線管：電視，計(jì)算機(jī)顯示屏與示波器

靜電場(chǎng)的環(huán)路定理:靜電場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分（稱為場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流）恒為零。靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)?！妱?shì)能§23-1電勢(shì)能與電勢(shì)差

靜電場(chǎng)相應(yīng)的勢(shì)能為電勢(shì)能。如圖23-1所示，將帶微小電量的點(diǎn)電荷（電荷量小到對(duì)電場(chǎng)分布無影響）放置在圖中靠近正極板附近，在a點(diǎn)釋放該電荷，則電場(chǎng)力對(duì)電荷做功并使之朝負(fù)電板加速運(yùn)動(dòng)。電荷移動(dòng)距離為d電場(chǎng)做功為：W=Fd=qEd圖23-1由勢(shì)能的變化與保守力做功關(guān)系得：

電荷的電勢(shì)能減小（ΔU為負(fù)），在數(shù)值上等于帶電粒子從點(diǎn)a加速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)動(dòng)能的增量，即電勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，總能量守恒。正電荷位置a離正極板越近，其電勢(shì)能越高；相反，負(fù)電荷離負(fù)極板越近電勢(shì)能越高。電勢(shì)定義為單位電荷具有的電勢(shì)能，符號(hào)V表示※電勢(shì)與電勢(shì)差注：電勢(shì)值與零勢(shì)點(diǎn)的選取有關(guān)。在給定的情形中，電勢(shì)零點(diǎn)的選擇有隨意性，正如零勢(shì)能點(diǎn)選取一樣，因?yàn)闇y(cè)量的僅為電勢(shì)差。通常，地面或接地導(dǎo)體（地球）為零勢(shì)點(diǎn)，其它點(diǎn)的電勢(shì)則是相對(duì)地面的電勢(shì)（如某點(diǎn)電壓為50V，則表示該點(diǎn)電勢(shì)與地面的電勢(shì)差為50V）。在其它情形中，通常選無限遠(yuǎn)點(diǎn)（r=∞）為零勢(shì)點(diǎn)。

如果一個(gè)帶正電量為q的實(shí)驗(yàn)電荷在電場(chǎng)中a點(diǎn)具有電勢(shì)能為Ua

（相對(duì)零勢(shì)能點(diǎn)），則該點(diǎn)電勢(shì)Va電勢(shì)差電場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)之差(電壓)：上式表明，靜電場(chǎng)中兩點(diǎn)a、b的電勢(shì)差，等于單位正電荷在電場(chǎng)中從a經(jīng)任意路徑到達(dá)b點(diǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。電勢(shì)和電勢(shì)差的單位為焦耳/庫侖，用伏特表示，以紀(jì)念發(fā)明電池而聞名的AlessandroVolta(1745-1827)，用符號(hào)V表示伏特，因而1V=1J/C.電勢(shì)差的單位則為Voltage.

＃若已知電勢(shì)差，則電場(chǎng)力做功：1eV=1.60×10-19J例題23-1

一負(fù)電荷（如電子）被放置在圖23-1中負(fù)極板附近的b點(diǎn)，如圖23-2所示。如果電子可以移動(dòng)，則電子的電勢(shì)能是增加還是減??？電勢(shì)將如何變化？圖23-2解答：電子從b點(diǎn)釋放朝正極板運(yùn)動(dòng)當(dāng)電子向正極板運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能越來越大，電勢(shì)能降低，因而Ua<Ub，ΔU=Ua-Ub<0。但注意電子從電勢(shì)低點(diǎn)b點(diǎn)向電勢(shì)高點(diǎn)a運(yùn)動(dòng)：Vab=Va-Vb>0(Va、Vb與平行板上的電荷有關(guān)，而與電子無關(guān))。ΔU與ΔV符號(hào)相反是有電子的負(fù)電荷引起。因?yàn)殡妱?shì)差定義為單位電荷的電勢(shì)能差，則電荷q在a點(diǎn)與b點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，電勢(shì)能的變化為

即如果電荷為q的物體經(jīng)過電勢(shì)差Vba，其電勢(shì)能的變化的數(shù)值為qVba

例如，圖23-1中兩點(diǎn)間電勢(shì)差為6V，當(dāng)一個(gè)+1C的電荷從b點(diǎn)移到a點(diǎn)，得到（1C）（6V）=6J的電勢(shì)能；反，如果該電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，則會(huì)失去6J的電勢(shì)能。同樣，一個(gè)+2C的電荷在上述過程中將分別得到或失去12J的電勢(shì)能。因而電勢(shì)差是一個(gè)電荷能夠得到多少能量的量度；又因?yàn)槟芰渴亲龉Φ哪芰?，所以電?shì)差又是一個(gè)給定電荷能夠做多少功的量度，具體數(shù)量依賴電勢(shì)差的大小和帶電體的電荷量。＃電源比如電池和發(fā)電機(jī)的大小有關(guān)功能就是維持電勢(shì)差，其輸送的能量多少由流過的電荷量和電勢(shì)差決定。例如一個(gè)與12.0V的電池連接的汽車車燈，電池提供的能量（轉(zhuǎn)變?yōu)楣饽芎蜔崮埽┡c流過的的電荷量即與開燈的時(shí)間成正比，如在給定的時(shí)間內(nèi)有5.0C的電量流過車燈，則電源輸送的總能量為(5.0C)(12.0V)=60J；如果車燈亮燈兩倍時(shí)間，則有10.0C的電荷流過,電源提供的能量為(10.0C)(12.0Ｖ)=120J。表23-1給出一些物理現(xiàn)象和電器中典型的電壓值。例題23-2.陰極射線管中電子通過電勢(shì)差Vb-Va=+5000V(圖23-4)從靜止被加速。（a）電子的電勢(shì)能變化？（b）加速運(yùn)動(dòng)的電子速度是多少？圖23-4CRT中加速運(yùn)動(dòng)的電子解答：（a）電子的電量q=-e=-1.6×10-19C，電子電勢(shì)能變化ΔU=qVba=（-1.6×10-19C）（+5000V）=-8.0×10-16J負(fù)號(hào)表明電子的電勢(shì)能減小，因?yàn)榻K點(diǎn)的電勢(shì)高于起始點(diǎn)的電勢(shì)，所以電勢(shì)差Vba為正。負(fù)電荷的電子被正電極吸引而向正極運(yùn)動(dòng)，電子被負(fù)電極排斥而遠(yuǎn)離負(fù)電極。（b）損失的電勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娮拥膭?dòng)能，由能量守恒定律：ΔK+ΔU=0,得：

因?yàn)殡娮訌撵o止開始運(yùn)動(dòng)，其初始動(dòng)能為零，我們可求得電子速度大?。?/p>

1eV=1.60×10-19J回顧一下保守力F和與之相應(yīng)的勢(shì)能關(guān)系，式8-4給出了空間任意兩點(diǎn)（a點(diǎn)與b點(diǎn)）勢(shì)能之差：§23-2電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系空間任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為單位電荷受到的電場(chǎng)力（式21-3）：E=F/q，代入上述方程中得到：此式給出了電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差之間的一般關(guān)系，如圖23-5所示。如果已知電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，應(yīng)用方程23-4a可確定Vba。圖23-5例題23-3.將平行板充電到電勢(shì)差為50V；如果兩板間距為0.050m，計(jì)算兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。▓D23-6）。解答：電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=

Vba/d

=（50V/0.050m）=1000V/m。電場(chǎng)強(qiáng)度的單位是伏特/米（V/m）以及牛頓/庫侖（N/C）

例題23-4

一半徑為r0帶電導(dǎo)體球，總電荷為Q,試確定離球心為r處的電勢(shì)（a）r>r0，（b）r=r0，,(c)r<r0。解答：（a）利用式23-4a并沿半徑方向積分(dl與E平行，dl=dr,如圖23-7所示)，半徑為ra

,

rb兩點(diǎn)間的電勢(shì)差：

選無限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零：rb=∞，Vb=0，由此可得球外任一點(diǎn)電勢(shì)：由此可知電荷均勻分布的導(dǎo)體球，球外的電勢(shì)如同全部電荷集中在球心處的點(diǎn)電荷的電勢(shì)；（b）當(dāng)r等于

r0時(shí)，球面電勢(shì)：（c）球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零，球面與球內(nèi)任意點(diǎn)間積分（式23-4a）為零，因而球內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)相等：（c）球內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零，球面與球內(nèi)任意點(diǎn)間積分（式23-4a）為零，因而球內(nèi)各點(diǎn)電勢(shì)相等；整個(gè)導(dǎo)體球的電勢(shì)相等，圖23-8給出帶正電的導(dǎo)體球場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的分布。例題23-5

許多設(shè)備使用高電壓，由于電場(chǎng)強(qiáng)度較高，常常引起空氣電離：空氣中的自由電子（如來源于宇宙射線電離）在電場(chǎng)的加速下獲得足夠高的動(dòng)能，這些高能電子與空氣中的氧氣和氮?dú)夥肿优鲎膊⑹怪婋x；電離的空氣具有導(dǎo)電性因而不能維持高電壓?？諝獾膿舸﹫?chǎng)強(qiáng)約為3×106V/m。（a）證明導(dǎo)體球的擊穿電壓正比于球的半徑，（b）試估算直徑為1.0cm導(dǎo)體球的擊穿電壓。解答：(a)由例題23-4得球面的電勢(shì)與球面外側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度關(guān)系：V=r0E(b)對(duì)于半徑r0=5×10-3m的導(dǎo)體球，空氣擊穿電壓：V=（5×10-3m）（3×106V/m）≈1.5×104V

當(dāng)導(dǎo)體帶高電壓時(shí)，由于尖端有較高的電場(chǎng)導(dǎo)致空氣電離，導(dǎo)體尖端附近出現(xiàn)人眼可以看見的輝光，這類現(xiàn)象被稱為電暈放電；發(fā)光是由于激發(fā)態(tài)的原子中電子從高能級(jí)躍遷到低能級(jí)產(chǎn)生的輻射。避雷針的工作原理就是在烏云靠近時(shí)，尖端附近電離的空氣形成導(dǎo)電通道，并通過接地為高電壓的云層提供了緩慢釋放電荷的途徑，從而使云層中的電荷不至于積累到產(chǎn)生具有破壞性的閃電。§23-3點(diǎn)電荷的電勢(shì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)積分得可見,點(diǎn)電荷周圍空間任一點(diǎn)的電勢(shì)與該點(diǎn)距離點(diǎn)電荷的距離r成反比.圖23-10正電荷電場(chǎng)中電勢(shì)與距離的關(guān)系。圖23-11負(fù)電荷電場(chǎng)中電勢(shì)與距離的關(guān)系。正負(fù)點(diǎn)電荷周圍電勢(shì)分布特點(diǎn)※點(diǎn)電荷系的電勢(shì)q3q1r1r2q2q4r3r4P電勢(shì)疊加原理：點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中，某點(diǎn)的電勢(shì)等于每個(gè)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)激發(fā)的電勢(shì)的代數(shù)和。例題23-7

如圖23-12所示，試求圖中（a）A點(diǎn)；（b）B點(diǎn)電勢(shì)。解答：（a）應(yīng)用式23-5，可得電荷Q1，Q2在A點(diǎn)電勢(shì)：（b）B點(diǎn)，r1B=r2B=0.40m，則：注：在（b）中，與電荷Q1，Q2等距離的任意點(diǎn)處，電勢(shì)抵消。因此，在與兩等值異號(hào)電荷距離相同的平面上，電勢(shì)處處為零；電勢(shì)恒定的平面稱為等勢(shì)面。

§23-4電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢(shì)

電荷元：線電荷面電荷體電荷例23-8

一半徑為R的薄圓環(huán)，均勻帶有電荷量q

。計(jì)算圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P

處的電勢(shì)。解答：設(shè)環(huán)上電荷線密度為環(huán)上任取一長度為的電荷元，其所帶電荷該電荷元在p

點(diǎn)電勢(shì)為：整個(gè)圓環(huán)在p點(diǎn)的電勢(shì)為例題23-9

一半徑為R0的薄圓盤，帶電量為Q且電荷均勻分布，如圖23-15所示，試求在園盤軸線上距離圓心為x處P點(diǎn)的電勢(shì)。分析：我們把圓盤看著是由半徑為R、寬度為dR的圓環(huán)拼接而成，應(yīng)用例題23-8的結(jié)果。

解答：圓盤上電荷均勻分布，每個(gè)圓環(huán)上的電荷量與環(huán)的面積成正比。圓盤的面積πR02，而圓環(huán)的面積dA=(2πR)dR，因而：注：當(dāng)x>>R0,上述結(jié)果等效為點(diǎn)電荷的電勢(shì)：點(diǎn)電荷的等勢(shì)面§23-5等勢(shì)面所謂等勢(shì)面就是面上所有點(diǎn)具有相同的電勢(shì)，或者說該面上任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于零或?qū)㈦姾蓮囊稽c(diǎn)移到另一點(diǎn)電場(chǎng)不做功。因而在任意點(diǎn)上等勢(shì)面與電場(chǎng)垂直。

圖23-16兩個(gè)帶異號(hào)電荷的平行板間等勢(shì)線（與電場(chǎng)線垂直）

圖23-17點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面

例題23-10

如圖23-17所示，一電量為Q=4.0×10-9C的點(diǎn)電荷，試?yán)L出電勢(shì)分別為V1=10V，V2=20V以及V3=30V的等勢(shì)面（或在包含電荷的平面內(nèi)的等勢(shì)線）。

解答：帶正電的點(diǎn)電荷電場(chǎng)沿徑向朝外，因而等勢(shì)面是一系列與電場(chǎng)線垂直的且中心位于點(diǎn)電荷上球面。由式23-5可知各等勢(shì)面的半徑:圖23-18繪出了兩等量異號(hào)的荷電粒子的等勢(shì)線（綠色的點(diǎn)劃線），與電場(chǎng)線不同的是，等勢(shì)線和等勢(shì)面是連續(xù)的，圖23-16以及圖23-18中的等勢(shì)線（面）在圖中邊界外連續(xù)。電偶極子的等勢(shì)面+等勢(shì)面在等勢(shì)面上移動(dòng)不作功即結(jié)論：電場(chǎng)線與等勢(shì)面處處正交。q0在等勢(shì)面上移動(dòng),Edl與成角。θθEdlq0等勢(shì)面與電場(chǎng)線的關(guān)系EdlS等勢(shì)面圖示法等勢(shì)面畫法規(guī)定：相鄰兩等勢(shì)面之間的電勢(shì)間隔相等。UU+UU+2UU+3U場(chǎng)強(qiáng)越強(qiáng)，等勢(shì)面分布越密，場(chǎng)強(qiáng)越弱，等勢(shì)面分布越稀?！?3-6電偶極子的電勢(shì)

兩個(gè)間距為、電量為Q的一對(duì)等量異號(hào)點(diǎn)電荷，稱為電偶極子稱為偶極矩

式中r+與r-分別為+q和-q到P點(diǎn)的距離，由圖可知yPx+q-ql/2l/2Or+r-r電偶極子如圖放置，電偶極子在空中任一點(diǎn)P的電勢(shì)為由于r>>l

，所以P點(diǎn)的電勢(shì)可寫為因此表23-2中一些分子的偶極矩的大小，符號(hào)+-表示原子電荷的正負(fù)，最后兩行是許多有機(jī)分子的一部分，且在分子生物學(xué)上起重要作用。偶極矩的單位是庫侖米（C·m）,有時(shí)用debye作為分子偶極矩的單位：1debye=3.33×10-30C·m。1VV+dV2P1enP2P3

若已知空間電場(chǎng)分布，通過式23-4a可確定兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；相反，從式23-4a也可由電勢(shì)差寫出電場(chǎng)強(qiáng)度：en其中dV

是距離為dl兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，

El

電場(chǎng)在dl方向的分量，這樣§23-7由電勢(shì)確定電場(chǎng)強(qiáng)度單位:V/m它表明電場(chǎng)強(qiáng)度在任一方向的分量等于該方向電勢(shì)的空間變化率，而最大的電勢(shì)空間變化率，稱為電勢(shì)梯度。電場(chǎng)方向指向電勢(shì)降落的方向，所以空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度的負(fù)值：1VV+dV2P1enP2P3en在直角坐標(biāo)系中，將式23-8用于三個(gè)坐標(biāo)方向，則得到：

E=-gradV

例如則例題23-11

應(yīng)用電勢(shì)確定軸上P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（a）帶電圓環(huán)（圖23-14）；（b）均勻帶電圓盤（圖23-15）。

分析：在例題23-8和23-9中，得到電勢(shì)為的函數(shù)，利用式23-9求微分可得場(chǎng)強(qiáng)。

解答：（a）從例題23-8：這和例題21-9中結(jié)果相同；（b）從例題23-9：對(duì)于靠近圓盤的點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度可近似為：其中為圓盤上電荷面密度，結(jié)果與第21章中例題21-12相同。

比較上例和例題21-9以及21-12可看出，對(duì)于任意分布的帶電體，先求出電勢(shì)，然后利用式23-9再求電場(chǎng)強(qiáng)度要比直接求電場(chǎng)要容易，因?yàn)殡妱?shì)式標(biāo)量，而場(chǎng)強(qiáng)是矢量。

-q例23-12

試由電偶極子的電勢(shì)分布求其的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在直角坐標(biāo)系中先寫出電勢(shì)的表達(dá)式，yP(x,y)-L/2+qL/2r-r+rOX討論：1.在X軸上，y=0，則與用疊加原理得到的結(jié)果一致。P(x,0)-L/2L/2xyOE+q-qP(0,y)E2.在Y軸上，x=0，則§23-8

靜電勢(shì)能；電子伏特

設(shè)想在空間兩點(diǎn)間移動(dòng)一點(diǎn)電荷q，a點(diǎn)與b點(diǎn)的電勢(shì)分別為Va,Vb,則該點(diǎn)電荷在電場(chǎng)中的電勢(shì)能的變化由式23-2b得到：

現(xiàn)在考慮一個(gè)由若干個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，則系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少？為了方便起見，通常選擇電荷分隔很遠(yuǎn)（無限遠(yuǎn)）電勢(shì)能為零。一個(gè)孤獨(dú)的點(diǎn)電荷Q1沒有電勢(shì)能，因?yàn)橹車鷽]有其它電荷，因而沒有受到電場(chǎng)力作用，如果將第二個(gè)點(diǎn)電荷Q2移到Q1附近，Q1在Q2所在位置的電勢(shì)為:其中r12為兩點(diǎn)間的距離，相對(duì)間隔無限遠(yuǎn)，兩個(gè)電荷的電勢(shì)能為

表示外力將Q2從無限遠(yuǎn)處移到距離Q1為

r12時(shí)所做的功，也是把兩者分開至無限遠(yuǎn)距離做功的負(fù)值。如果系統(tǒng)包含三個(gè)電荷，則總的電勢(shì)能等于把三個(gè)電荷移到一起時(shí)外力所做的功。式23-10表示把電荷Q2移到Q1附近外力所做的功；而把第三個(gè)電荷Q3移到距離Q1、Q2分別為r13、r23時(shí)外力做功等于因此，包含三個(gè)電荷的系統(tǒng)總的電勢(shì)能為:對(duì)于由四個(gè)電荷構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)總的電勢(shì)能將有六項(xiàng)相加，如此類推（注意做累加時(shí)避免重復(fù)）。電子伏特對(duì)處理涉及電子、原子或分子等的能量問題時(shí)，常用電子伏特（