江蘇省常州市市花園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

江蘇省常州市市花園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)i，i，則

A．i

B.i

C.i

D．i參考答案：A略2.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.以點(diǎn)（2，0）為圓心且與直線相切的圓的方程為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略4.已知拋物線C1：y2=8ax（a＞0），直線l傾斜角是45°且過拋物線C1的焦點(diǎn)，直線l被拋物線C1截得的線段長是16，雙曲線C2：﹣=1的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C1的準(zhǔn)線上，則直線l與y軸的交點(diǎn)P到雙曲線C2的一條漸近線的距離是（）A．2 B． C． D．1參考答案：D【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】利用弦長，求出拋物線中的a，可得雙曲線中的c，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，設(shè)直線方程為y=x﹣2a，代入y2=8ax，整理可得x2﹣12ax+4a2=0，∵直線l被拋物線C1截得的線段長是16，∴=16，∵a＞0，∴a=1．∴拋物線C1的準(zhǔn)線為x=﹣2，∵雙曲線C2：﹣=1的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線C1的準(zhǔn)線上，∴c=2，b=直線l與y軸的交點(diǎn)P（0，﹣2）到漸近線bx﹣ay=0的距離d==1，故選D．5.已知函數(shù)對(duì)任意都有，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則A．2

B．3

C．4

D．0參考答案：6.函數(shù)，則下列不等式一定成立的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B7.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C8.已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），則λ=(

)A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故選B．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9.已知雙曲線：﹣=1（），點(diǎn)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，若，則的離心率為（）A.

B.

C.2

D.參考答案：B10.已知命題：

（

）A． B．C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____▲______.參考答案：略12.已知的展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則該式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為_________.參考答案：-32【分析】先寫出二項(xiàng)式展開式中第5項(xiàng)，因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)解出，然后令得各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】解：因?yàn)?，且?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)所以，即令，得所有項(xiàng)系數(shù)和故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的展開通項(xiàng)式，以及各項(xiàng)系數(shù)和問題，屬于基礎(chǔ)題.13.對(duì)于函數(shù)若存在，使成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總有相異不動(dòng)點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是________參考答案：14.已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)

．參考答案：∵∴，即∵∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列∴∴∴故答案為.點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)．15.如圖所示，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長為的大正方形，若直角三角形中較小的銳角，現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一支飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是．

參考答案：試題分析：由題可知，設(shè)大正方形的邊長為2，則大正方形的面積為4，由于直角三角形中的一角為，則兩條直角邊分別為1和，故小正方形的邊長為，則小正方形的面積為，因此飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率為；考點(diǎn)：幾何概型概率模型16.已知向量滿足，與的夾角為，則=

．參考答案：2【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】由條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可求出的值，從而得出的值．【解答】解：根據(jù)條件，===4；∴．故答案為：2．17.各大學(xué)在高考錄取時(shí)采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則．一考生從某大學(xué)所給的個(gè)專業(yè)中，選擇個(gè)作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個(gè)專業(yè)不能同時(shí)兼報(bào)，則該考生不同的填報(bào)專業(yè)志愿的方法有

種。參考答案：180三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在極坐標(biāo)系中，射線與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A，橢圓Γ的方程為：，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy．（Ⅰ）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）求出點(diǎn)A極坐標(biāo)，即可求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)，求出橢圓的直角坐標(biāo)方程，即可求橢圓Γ的參數(shù)方程；（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求出向量的坐標(biāo)，即可求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）射線與圓C：ρ=2交于點(diǎn)，點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；橢圓Γ的方程為，直角坐標(biāo)方程為，參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）；（Ⅱ）設(shè)，∵E（0，﹣1），∴，，∴=，當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．19.已知為實(shí)數(shù)，，為的導(dǎo)函數(shù).

(Ⅰ)若，求在上的最大值和最小值；

(Ⅱ)若在和上均單調(diào)遞增，求的取值范圍．參考答案：解：（1）.

（2），.

由，得，此時(shí)，，

由，得或.

又，，，

在上的最大值為，最小值為.

（3）解法一，

依題意：對(duì)恒成立,即

,所以

對(duì)恒成立,即

,所以

綜上:.

解法二，的圖像是開口向上且過點(diǎn)的拋物線，由條件得，，

，.解得.的取值范圍為．20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明:對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.參考答案：解:(1)

…………1分時(shí),取得極值,

…………2分故解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.…………3分（2）由知

由,得

令則在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),,于是在上單調(diào)遞減.…………6分依題意有,解得,

…………8分(3)的定義域?yàn)?由(1)知,令得,或(舍去),

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.為在上的最大值.

,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)對(duì)任意正整數(shù),取得,

…………10分.故.…………12分（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然，不等式成立.假設(shè)時(shí)，成立，則時(shí)，有.做差比較：構(gòu)建函數(shù)，則，單調(diào)遞減，.取，即，亦即，故時(shí)，有，不等式成立.綜上可知，對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立.

------12分21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋舸嬖谇蟪?，若不存在說明理由.參考答案：（ⅱ）若，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減…………6分綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為：，

單調(diào)遞增區(qū)間為：；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為：

單調(diào)遞增區(qū)間為：和；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為：.…………7分22.

徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規(guī)定速度不得超過100千米/小時(shí)．已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為a元(a>0)．（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示