六年級(jí)奧數(shù)一至十講教案

第頁(yè)小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—01比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不則簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，則這里講的方法可以稱為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母及分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子及分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m＞k，k＞n，則m＞n。（2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m-k＞n-k，則m＞n。前一個(gè)差比較小，所以m＜n。（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若k-m＜k-n，則m＞n。注意，（2）及（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)及其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。捍鸢讣疤崾揪毩?xí)1小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—02巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子及分母同時(shí)加、減某數(shù)，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類(lèi)題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：若把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1就變成分子加、減1，這樣就可以用例1求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個(gè)分?jǐn)?shù)。分析及解：因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析及解：如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子及分母調(diào)換位置，問(wèn)題就變?yōu)椋哼@個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？于是及例3類(lèi)似，可以求出在例1～例4中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，則會(huì)怎樣呢？數(shù)a。分析及解：分子減去a，分母加上a，（約分前）分子及分母之和不變，等于29+43=72。約分后的分子及分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2。求這個(gè)自然數(shù)。同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，則差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例7一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子及分母之和是23，分母增加19后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，分子及分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以42÷6=7得到分析及解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8×2=16。在例8中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例9中，分子應(yīng)加的數(shù)是由此，我們得到解答例8、例9這類(lèi)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的公式：分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)×原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)÷原分?jǐn)?shù)。分析及解：這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說(shuō)是這類(lèi)題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí)2是多少？答案及提示練習(xí)25.5。解：(53+79)÷(4+7)=12，a=53-4×12=5。6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：設(shè)分子為x，根據(jù)分母可列方程小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—03分?jǐn)?shù)運(yùn)算技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧，才能提高運(yùn)算速度，解答較難的問(wèn)題。1.湊整法及整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律（如交換律、結(jié)合律、分配律），使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)……從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。2.約分法3.裂項(xiàng)法若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例7在自然數(shù)1～100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析及解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個(gè)分子為1，而分母不同的就非常簡(jiǎn)單了。括號(hào)。此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的10個(gè)數(shù)是2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的10和30，仍是符合題意的解。4.代數(shù)法5.分組法分析及解：利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為2～20的分?jǐn)?shù)之和依次為練習(xí)38.在自然數(shù)1～60中找出8個(gè)不同的數(shù)，使這8個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案及提示

練習(xí)31.3。8.2，6，8，12，20，30，42，56。9.5680。解：從前向后，分子及分母之和等于2的有1個(gè)，等于3的有2個(gè)，等于4的有3個(gè)人……一般地，分子及分母之和等于n的有(n-1)個(gè)。分子及分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（個(gè)），5671+9=5680（個(gè)）。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—05工程問(wèn)題一顧名思義，工程問(wèn)題指的是及工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類(lèi)題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。例1單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析及解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效例2某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，則乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。例3單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析及解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例4一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，則完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析及解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿池水排完。如果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1時(shí)后又打開(kāi)排水管，則再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？例6甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。練習(xí)51.某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)及乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3.一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50棵。這批樹(shù)共有多少棵？5.修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24天?，F(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750米處相遇。這段公路長(zhǎng)多少米？6.蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開(kāi)甲管需18時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需24時(shí)注滿。如果要求12時(shí)注滿水池，則甲、乙兩管至少要合開(kāi)多長(zhǎng)時(shí)間？7.兩列火車(chē)從甲、乙兩地相向而行，慢車(chē)從甲地到乙地需8時(shí)，比快車(chē)從40千米。求甲、乙兩地的距離。答案及提示

練習(xí)52.14天。3.120天。4.350棵。5.6000米。6.8時(shí)。提示：甲管12時(shí)都開(kāi)著，乙管開(kāi)7.280千米。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—06工程問(wèn)題二上一講我們講述的是已知工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。在較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方法，問(wèn)題也不難解決。例1一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，則乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，則乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，則多少天可以完成？分析及解：本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例2一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7天，然后么還要幾天才能完成？分析及解：題中沒(méi)有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作們把“乙先做7天，甲再做4天”的過(guò)程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨(dú)例3單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，則剛好在規(guī)定時(shí)間完成。問(wèn)：甲、乙二人合做需多少天完成？分析及解：乙單獨(dú)做要超過(guò)3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時(shí)完成，說(shuō)明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時(shí)間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例4放滿一個(gè)水池的水，若同時(shí)打開(kāi)1，2，3號(hào)閥門(mén)，則20分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)2，3，4號(hào)閥門(mén)，則21分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)1，3，4號(hào)閥門(mén)，則28分鐘可以完成；若同時(shí)打開(kāi)1，2，4號(hào)閥門(mén)，則30分鐘可以完成。問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1，2，3，4號(hào)閥門(mén)，則多少分鐘可以完成？分析及解：同時(shí)打開(kāi)1，2，3號(hào)閥門(mén)1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)2，3，4號(hào)閥門(mén)1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1，3，4號(hào)閥門(mén)1分鐘，再同時(shí)打開(kāi)1，2，4號(hào)閥門(mén)1分鐘，這時(shí)，1，2，3，4號(hào)閥門(mén)各打開(kāi)了3分鐘，放水量等于一例5某工程由一、二、三小隊(duì)合干，需要8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、……的順序，每個(gè)小隊(duì)干一天地輪流干，則工程由哪個(gè)隊(duì)最后完成？分析及解：及例4類(lèi)似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是例6甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析及解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無(wú)論誰(shuí)先誰(shuí)后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見(jiàn)下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見(jiàn)下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習(xí)61.甲、乙二人同時(shí)開(kāi)始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個(gè)？需的時(shí)間相等。問(wèn)：甲、乙單獨(dú)做各需多少天？3.加工一批零件，王師傅先做6時(shí)李師傅再做12時(shí)可完成，王師傅先做8時(shí)李師傅再做9時(shí)也可完成。現(xiàn)在王師傅先做2時(shí)，剩下的兩人合做，還需要多少小時(shí)？獨(dú)修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè)進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時(shí)。上午8點(diǎn)三個(gè)管同時(shí)打開(kāi)，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問(wèn)：甲管在何時(shí)被關(guān)閉？6.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需9時(shí)，乙需12時(shí)。如果按照甲、乙、甲、乙、……的順序輪流工作，每次1時(shí)，則完成這項(xiàng)工作需要多長(zhǎng)時(shí)間？7.一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，則恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，則比上次輪流的做法多用半天完工。問(wèn)：甲單獨(dú)干需要幾天？答案及提示練習(xí)61.360個(gè)。2.甲18天，乙12天。時(shí)。解：由下頁(yè)圖知，王干2時(shí)等于李干3時(shí)，所以單獨(dú)干李需12+6÷2×3=21（時(shí)），王需21÷3×2=14（時(shí)）。所求為5.上午9時(shí)。6.10時(shí)15分。天。解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，則不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見(jiàn)左下圖）。甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙甲現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時(shí)，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說(shuō)明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—07巧用單位“1”在工程問(wèn)題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1”的問(wèn)題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。分析：因?yàn)榈谝惶?、第二天都是及全?shū)比較，所以應(yīng)以全書(shū)的頁(yè)數(shù)為單位答：這本故事書(shū)共有240頁(yè)。分析及解：本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書(shū)的頁(yè)數(shù)”、“第一天看后余下的頁(yè)數(shù)”、“第二天看后余下的頁(yè)數(shù)”，出現(xiàn)了3個(gè)不同的單位“1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書(shū)看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書(shū)的共有多少本圖書(shū)？分析及解：故事書(shū)增加了，圖書(shū)的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，這給計(jì)算帶來(lái)很多不便，需要統(tǒng)一單位“1”。統(tǒng)一單位“1”的一個(gè)竅門(mén)就是抓“不變量”為單位“1”。本題中故事書(shū)、圖書(shū)總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書(shū)的本數(shù)沒(méi)有變，可以以圖書(shū)室原來(lái)共有圖書(shū)分析及解：及例3類(lèi)似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、乙組的總?cè)藬?shù)，所以以甲、乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例5公路上同向行駛著三輛汽車(chē)，客車(chē)在前，貨車(chē)在中，小轎車(chē)在后。在某一時(shí)刻，貨車(chē)及客車(chē)、小轎車(chē)的距離相等；走了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)，再過(guò)多少分鐘，貨車(chē)追上客車(chē)？分析及解：根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車(chē)及客車(chē)、小轎車(chē)的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)”，可知小轎可知小轎車(chē)(10+5)分鐘比客車(chē)多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有84-48=36（人）。練習(xí)7樹(shù)上原有多少個(gè)桃？剩下的部分收完后剛好又裝滿6筐。共收西紅柿多少千克？7.六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94人，其中女生有39人，已知一班的女生占本答案及提示練習(xí)71.35個(gè)。2.60個(gè)。3.64噸。4.384千克。6.男生15人，女生21人。7.一班45人，二班49人。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—08比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個(gè)數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5÷6可記作5∶6。比值。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果a∶b=c∶d，則a×d=b×c。兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如a∶b∶c。連比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因?yàn)閇6，4]=12，所以5∶6=10∶12，4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。例1已知3∶(x-1)=7∶9，求x。解：7×(x-1)=3×9，x-1=3×9÷7，例2六年級(jí)一班的男、女生比例為3∶2，又來(lái)了4名女生后，全班共有44人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析及解：原來(lái)共有學(xué)生44-4=40（人），由男、女生人數(shù)之比為3∶2知，如果將人數(shù)分為5份，則男生占3份，女生占2份。由此求出女生增加4人變?yōu)?6+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24∶20=6∶5。在例2中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)及總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。例3配制一種農(nóng)藥，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700千克，求各種原料分別需要多少千克。分析：總量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180，360和2160千克。在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700÷15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180千克分別乘以1，2，12，就可以求出各個(gè)分量。例4師徒二人共加工零件400個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？分析及解：解法很多，這里只用按比例分配做。師傅及徒弟的工作效率有多少學(xué)生？按比例分配得到例6某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車(chē)輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車(chē)30元，小客車(chē)15元，小轎車(chē)10元。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車(chē)和小客車(chē)數(shù)量之比是5∶6，小客車(chē)及小轎車(chē)之比是4∶11，收取小轎車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多210元。求這天這三種車(chē)輛通過(guò)的數(shù)量。分析及解：大客車(chē)、小轎車(chē)通過(guò)的數(shù)量都是及小客車(chē)相比，如果能將5∶6中的6及4∶11中的4統(tǒng)一成[4，6]=12，就可以得到大客車(chē)∶小客車(chē)∶小轎車(chē)的連比。由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到大客車(chē)∶小客車(chē)∶小轎車(chē)=10∶12∶33。以10輛大客車(chē)、12輛小客車(chē)、33輛小轎車(chē)為一組。因?yàn)槊拷M中收取小轎車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多10×33-30×10=30（元），所以這天通過(guò)的車(chē)輛共有210÷30=7（組）。這天通過(guò)大客車(chē)=10×7=70（輛），小客車(chē)=12×7=84（輛），小轎車(chē)=33×7=231（輛）。練習(xí)81.一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是5∶3，周長(zhǎng)是96米，求這塊地的面積。2.一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)及寬的比是4∶3，寬及高的比是5∶4，體積是450分米3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？3.一把小刀售價(jià)6元。如果小明買(mǎi)了這把小刀，則小明及小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是3∶5；如果小強(qiáng)買(mǎi)了這把小刀，則小明及小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是9∶11。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢(qián)？5.甲、乙、丙三人分138只貝殼，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長(zhǎng)60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是10∶8∶7。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3∶1，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是5∶3，則丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？答案及提示練習(xí)81.540米2。2.長(zhǎng)100厘米，寬75厘米，高60厘米。解：長(zhǎng)∶寬∶高=20∶15∶12，450000÷(20×15×12)=125=53。長(zhǎng)=20×5=100（厘米），寬=15×5=75（厘米），高=12×5=60（厘米）。3.86元。解：設(shè)小明有x元錢(qián)。根據(jù)小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640元。5.甲50只，乙40只，丙48只。解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），丙=2×24=48（只）。6.12時(shí)。7.5：9小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—09百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。（1）分母是100的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。（2）表示一個(gè)數(shù)（比較數(shù)）是另一個(gè)數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“％”來(lái)表示，叫做百分號(hào)。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如下：比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分率=比較數(shù)，比較數(shù)÷分率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多及百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80％，一車(chē)間的男工占全廠男工的25％。問(wèn)：一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析及解：因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80％”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80％=20％。又因?yàn)椤耙卉?chē)間的男工占全廠男工的25％”，所以一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的20％×25％=5％。例2學(xué)校去年春季植樹(shù)500棵，成活率為85％，去年秋季植樹(shù)的成活率為90％。已知去年春季比秋季多死了20棵樹(shù)，則去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？分析及解：去年春季種的樹(shù)活了500×85％=425（棵），死了500-425=75（棵）。去年秋季種的樹(shù)，死了75-20=55（棵），活了55÷（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年學(xué)校共種活425+495=920（棵）。例3一次考試共有5道試題。做對(duì)第1，2，3，4，5題的人數(shù)分別占參加考試人數(shù)的85％，95％，90％，75％，80％。如果做對(duì)三道或三道以上為及格，則這次考試的及格率至少是多少？分析及解：因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)的含義是部分量占總量的百分之幾，所以不妨設(shè)總量即參加考試的人數(shù)為100。由此得到做錯(cuò)第1題的有100×（1-85％）=15（人）；同理可得，做錯(cuò)第2，3，4，5題的分別有5，10，25，20人?？偣沧鲥e(cuò)15+5+10+25+20=75（題）。一人做錯(cuò)3道或3道以上為不及格，由75÷3=25（人），推知至多有25人不及格，也就是說(shuō)至少有75人及格，及格率至少是75％。例4育紅小學(xué)四年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多25％，五年級(jí)學(xué)生比四年級(jí)學(xué)生少10％，六年級(jí)學(xué)生比五年級(jí)學(xué)生多10％。如果六年級(jí)學(xué)生比三年級(jí)學(xué)生多38人，則三至六年級(jí)共有多少名學(xué)生？分析：以三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，則四年級(jí)是三年級(jí)的125％，五年級(jí)是三年級(jí)的125％×（1-10％），六年級(jí)是三年級(jí)的125％×（1-10％）×（1+10％）。因?yàn)橐阎昙?jí)比三年級(jí)多38人，所以可根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)列方程。解：設(shè)三年級(jí)有x名學(xué)生，根據(jù)六年級(jí)的人數(shù)可列方程：x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，x×125％×90％×110％=x+38，1.2375x=x+38，0.2375x=38，x=160。三年級(jí)有160名學(xué)生。四年級(jí)有學(xué)生160×125％=200（名）。五年級(jí)有學(xué)生200×（1-10％）＝180（名）。六年級(jí)有學(xué)生160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年級(jí)共有學(xué)生738名。在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中有一類(lèi)叫溶液配比問(wèn)題。我們都知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，則糖加得越多，糖水就越甜，也就是說(shuō)，糖水甜的程度是由糖（溶質(zhì)）及糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值決定的，這個(gè)比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類(lèi)似地，酒精溶于水中，純酒精及酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶質(zhì)、溶劑、溶液及溶質(zhì)含量有如下基本關(guān)系：溶液重量=溶質(zhì)重量+溶劑重量，溶質(zhì)含量=溶質(zhì)重量÷溶液重量，溶液重量=溶質(zhì)重量÷溶質(zhì)含量，溶質(zhì)重量=溶液重量×溶質(zhì)含量。溶質(zhì)含量通常用百分?jǐn)?shù)表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶例5有含糖量為7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？分析及解：在600克含糖量為7％的糖水中，有糖（溶質(zhì)）600×7％=42（克）。設(shè)再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此時(shí)溶質(zhì)有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根據(jù)溶質(zhì)含量可得方程需要再加入20克糖。例6倉(cāng)庫(kù)運(yùn)來(lái)含水量為90％的一種水果100千克，一星期后再測(cè)，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80％?，F(xiàn)在這批水果的總重量是多少千克？分析及解：可將水果分成“水”和“果”兩部分。一開(kāi)始，果重100×（1-90％）=10（千克）。一星期后含水量變?yōu)?0％，“果”及“水”的比值為因?yàn)椤肮笔冀K是10千克，可求出此時(shí)“水”的重量為所以總重量是10+40=50（千克）。練習(xí)91.某修路隊(duì)修一條路，5天完成了全長(zhǎng)的20％。照此計(jì)算，完成任務(wù)還需多少天？2.服裝廠一車(chē)間人數(shù)占全廠的25％，二車(chē)間人數(shù)比一車(chē)間少20％，三車(chē)間人數(shù)比二車(chē)間多30％。已知三車(chē)間有156人，全廠有多少人？3.有三塊地，第二塊地的面積是第一塊地的80％，第三塊地的面積比第二塊多20％，三塊地共69公頃，求三塊地各多少公頃。4.某工廠四個(gè)季度的全勤率分別為90％，86％，92％，94％。問(wèn)：全年全勤的人至少占百分之幾？5.有酒精含量為30％的酒精溶液若干，加了一定數(shù)量的水后稀釋成酒精含量為24％的溶液，如果再加入同樣多的水，則酒精含量將變?yōu)槎嗌伲?.配制硫酸含量為20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18％和23％的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量14.5％的煤，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的風(fēng)干，含水量降為10％，現(xiàn)在這堆煤的重量是原來(lái)的百分之幾？答案及提示練習(xí)91.20天。解：5÷20％-5=20（天）。2.600人。解：156÷[(1-20％)×(1+30％)]÷25％=600（人）。3.第一、二、三塊依次為25，20和24公頃。解：第一塊地的面積為69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公頃），第二塊地為25×80％=20（公頃），第三塊地為69-25=24（公頃）。4.62％。解；設(shè)全廠有100人，則四個(gè)季度沒(méi)有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。當(dāng)四個(gè)季度沒(méi)有全勤的人互不相同時(shí)，全年沒(méi)有全勤的人最多，為38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少為62％。5.20％。解：設(shè)酒精含量為30％的酒精溶液有100克，則溶質(zhì)為30克。稀釋成酒精含量為24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再加入25克水，則酒精含量變?yōu)?0÷(100+25+25)=20％。6.600克，400克。提示：設(shè)需要18％的溶液x克，則需要23％的溶液(100-x)克。根據(jù)溶質(zhì)重量可得x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。7.95％。解：設(shè)原有100噸煤，則有水份14.5噸。又設(shè)風(fēng)干掉水份x噸，則由含現(xiàn)在煤的重量為100-5=95（噸），是原來(lái)的95％。小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案—10商業(yè)中的數(shù)學(xué)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。同學(xué)們可能都有和父母一起去買(mǎi)東西的經(jīng)歷，都知道商品有定價(jià)，但是這個(gè)價(jià)格是怎樣定的？這就涉及到商品的成本、利潤(rùn)等聽(tīng)起來(lái)有些陌生的名詞。這一講的內(nèi)容就是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在商業(yè)中的應(yīng)用。利潤(rùn)=售出價(jià)-成本，例如，一件商品進(jìn)貨價(jià)是80元，售出價(jià)是100元，則這件商品的利潤(rùn)是100-80=20（元），利潤(rùn)率是在這里我們用“進(jìn)貨價(jià)”代替了“成本”，實(shí)際上成本除了進(jìn)貨價(jià)，還包括運(yùn)輸費(fèi)、倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)、損耗等，為簡(jiǎn)便，有時(shí)就忽略不計(jì)了。例1某商品按每個(gè)7元的利潤(rùn)賣(mài)出13個(gè)的錢(qián)，及按每個(gè)11元的利潤(rùn)賣(mài)出12個(gè)的錢(qián)一樣多。這種商品的進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)多少元？解：設(shè)進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)x元。由“售出價(jià)=進(jìn)貨價(jià)+利潤(rùn)”，根據(jù)前、后兩次賣(mài)出的錢(qián)相等，可列方程（x+7）×13=（x+11）×12，13x+91=12+132x=41。答：進(jìn)貨價(jià)是每個(gè)41元。例2租用倉(cāng)庫(kù)堆放3噸貨物，每月租金7000元。這些貨物原計(jì)劃要銷(xiāo)售3個(gè)月，由于降低了價(jià)格，結(jié)果2個(gè)月就銷(xiāo)售完了，由于節(jié)省了租倉(cāng)庫(kù)的租金，所以結(jié)算下來(lái)，反而比原計(jì)劃多賺了1000元。問(wèn)：每千克貨物的價(jià)格降低了多少元？分析及解：原計(jì)劃租倉(cāng)庫(kù)3個(gè)月，現(xiàn)只租用了2個(gè)月，節(jié)約了1個(gè)月的租金7000元。如果不降低價(jià)格，則應(yīng)比原計(jì)劃多賺7000元，但現(xiàn)在只多賺了1000元，說(shuō)明降價(jià)損失是7000-1000=6000（元）。因?yàn)楣灿?噸，即3000千克貨物，所以每千克貨物降低了6000÷3000=2（元）。例3張先生向商店訂購(gòu)了每件定價(jià)100元的某種商品80件。張先生對(duì)商店經(jīng)理說(shuō)：“如果你肯減價(jià)，則每減價(jià)1元，我就多訂購(gòu)4件?！鄙痰杲?jīng)理算了一下，若減價(jià)5％，則由于張先生多訂購(gòu)，獲得的利潤(rùn)反而比原來(lái)多100元。問(wèn)：這種商品的成本是多少元？分析及解：設(shè)這種商品的成本是x元。減價(jià)5％就是每件減100×5％=5（元），張先生可多買(mǎi)4×5=20（件）。由獲得利潤(rùn)的情況，可列方程（100-x）×80+100=（100-5-x）×（80+20），8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，這種商品的成本是70元。由例2、例3看出，商品降價(jià)后，由于增加了銷(xiāo)售量，所以獲得的利潤(rùn)有時(shí)反而比原來(lái)多。例4某商店到蘋(píng)果產(chǎn)地去收購(gòu)蘋(píng)果，收購(gòu)價(jià)為每千克1.20元。從產(chǎn)地到商店的距離是400千米，運(yùn)費(fèi)為每噸貨物每運(yùn)1千米收1.50元。如果在運(yùn)輸及銷(xiāo)售過(guò)程中的損耗是10％，商店要想實(shí)現(xiàn)25％的利潤(rùn)率，零售價(jià)應(yīng)是每千克多少元？分析及解：本題的成本包括收購(gòu)價(jià)、運(yùn)費(fèi)、損耗。每千克的收購(gòu)價(jià)加運(yùn)費(fèi)是1.20+1.50×400÷1000=1.80（元）。因?yàn)?/p>