【彈塑性力學(xué)】變分原理及有限元課件

七、變分原理和有限元法7.1變分法7.2虛功原理7.3

最小勢能原理7.4變分原理應(yīng)用7.5有限元法7.1變分法材料質(zhì)點（微單元體）

靜力平衡變形幾何物理關(guān)系偏微分方程變分法整個變形體的能量積分方程（能量的變分為零）變分法是有限元方法的基礎(chǔ)變分法與微分方程的描述，兩者可以轉(zhuǎn)化

靜力可能狀態(tài)

物體Q，在內(nèi)部受體力(X，Y，Z)作用，在靜力邊界S上受面力(，，)作用

外力與內(nèi)力(應(yīng)力）處處（物體內(nèi)和邊界上）滿足平衡。

在物體內(nèi)滿足平衡微分方程

在靜力邊界上滿足靜力邊界條件

在位移邊界上，其反力由上式給出在物體內(nèi)位移與應(yīng)變滿足幾何方程ud=

vd=wd=

在位移邊界Su上，滿足位移邊界條件變形可能狀態(tài)

靜力可能狀態(tài)（s）和變形可能狀態(tài)（d）是同一物體的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，兩者可以彼此完全獨立而沒有任何關(guān)系

靜力可能狀態(tài)的應(yīng)力所給出的變形一般不滿足變形協(xié)調(diào)變形可能狀態(tài)給出的應(yīng)力一般不滿足平衡微分方程7.2虛功原理

外力（體力和面力，包括反力）在變形可能的位移上所做功＝內(nèi)力（應(yīng)力）在變形可能的應(yīng)變上所做功證明:散度定理：虛功方程還可用增量和變化率方式表達真實狀態(tài)（靜力可能狀態(tài)）虛位移狀態(tài)（變形可能狀態(tài)）虛功方程的增量形式外力虛功＝內(nèi)力虛功（1）虛功原理沒有涉及到物理方程，即沒有規(guī)定應(yīng)力與應(yīng)變之間的具體關(guān)系，因此，對彈性、塑性情況均適用。（2）給出一個連續(xù)位移場，虛功（位移）原理完全等價于平衡微分方程和力邊界條件。

使用位移法求解，應(yīng)力、應(yīng)變等都通過幾何方程和物理方程看作是位移的函數(shù)。若位移及與之相應(yīng)的應(yīng)力與應(yīng)變滿足：（1）單值連續(xù)（由它給出的應(yīng)變滿足變形協(xié)調(diào)條件），（2）位移邊界條件，（3）平衡微分方程，（4）靜力邊界條件，則該位移就是問題的解，即為真實位移。

僅滿足前兩個條件的位移場是變形可能的位移場，而后兩個條件等價于虛位移原理。求解彈性力學(xué)問題又可敘述為：在所有變形可能的位移場中，尋找所給出的應(yīng)力能滿足虛位移原理的位移場?；蛘?，真實的位移場除必須是變形可能的位移外，它所給出的應(yīng)力還應(yīng)滿足虛位移原理。7.3最小勢能原理內(nèi)力虛功

物體是彈性的，則單位體積內(nèi)的內(nèi)力虛功對于整個彈性體內(nèi)力虛功＝應(yīng)變能因虛位移而引起的改變

外力虛功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不變，只是作用點的位置改變外力虛功＝外力勢能因虛位移而引起的改變

稱為彈性體的總勢能，它是應(yīng)變能與外力勢能之和將上述結(jié)果代入虛功原理，得位移變分原理

從彈性體的真實狀態(tài)出發(fā)產(chǎn)生虛位移，所引起的總勢能變分應(yīng)為零，即在真實狀態(tài)總勢能取極值。對于處于穩(wěn)定平衡的真實狀態(tài)，應(yīng)是取最小值，最小勢能原理：在所有變形可能的位移中，使總勢能達到最小值的位移，就是真實的位移。（1）虛位移原理無論是彈性、還是塑性情況下都成立，但位移變分方程式僅對彈性保守系統(tǒng)有效。（2）變分與微分在數(shù)學(xué)上的意義類同都是指微小的變化，因此運算方法相同，但它們的運算對象不同：微分運算中，自變量一般是坐標(biāo)等變量，因變量是函數(shù)變分運算中，自變量是函數(shù)，因變量是函數(shù)的函數(shù)，即數(shù)學(xué)上所謂的泛函。總勢能是位移函數(shù)的泛函。對泛函求極值的問題，數(shù)學(xué)上稱之為變分法。將求解彈性力學(xué)中偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解勢能變分問題7.4變分原理應(yīng)用例7-2:簡支梁受分布荷載作用，不計自重時，導(dǎo)出以軸線撓度表示的平衡微分方程和兩端的靜力邊界條件。解：用w表示軸線撓度，不考慮剪切作用，則梁的應(yīng)變能可近似地表示為而外荷載q形成的外力勢為

使用變分原理使用分部積分由于在支承點x=0，x=l上的虛位移為零，即w=0，于是任意，則是用撓度表示的平衡方程

支承點上彎矩為零的力邊界條件

例題7-3:用變分方法求簡支梁在均布荷載作用下的撓度解：（1）設(shè)位移函數(shù)為

w(x)=c1x(lx)

顯然，該撓度函數(shù)滿足位移邊界w(0)=

0，w(l)=0。（2）求總勢能

（3）求總勢能的極值7.5有限元法變分法近似求解：

整個物體（求解區(qū)域）構(gòu)造近似位移函數(shù)，對于復(fù)雜的幾何形狀，這往往比較困難。有限元法基本思想：

把整個求解區(qū)域分成許多個有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進行所謂的分片插值。在每一個單元上應(yīng)用虛功原理表示平衡條件。用總體平衡條件求解單元節(jié)點位移。下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念

位移函數(shù)假設(shè)各三角形單元內(nèi)位移是線性變化的，其內(nèi)部任意一點的位移分量假設(shè)可由三個節(jié)點的相應(yīng)位移分量插值表示為

式中{u}e是三個節(jié)點的位移列陣：{u}e=

[N]被稱之為形函數(shù)矩陣，為

[N]＝其中Ni稱為形函數(shù)

關(guān)于單元內(nèi)位移變化的假設(shè)通常稱之為位移模式。應(yīng)變根據(jù)上面的位移函數(shù)，應(yīng)用幾何方程可求得應(yīng)變用矩陣形式表達為{}==[B]{u}e其中［B］=[N]

為應(yīng)變-位移矩陣應(yīng)力

由物理方程求應(yīng)力，使用矩陣形式表示為

{}==[D]{}=[D][B]{u}e

[D]是物理矩陣。

考慮任意的變形協(xié)調(diào)組、，可以用結(jié)點的虛位移表示：應(yīng)用虛功方程：由于結(jié)點虛位移為任意的，于是其中［K]是單元剛度矩陣。

內(nèi)力虛功可寫成

{u}