正態(tài)分布的數(shù)字特征

第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),X的數(shù)學(xué)期望可按下面的公式計(jì)算X的方差可按或利用簡便公式第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)閄~,從而故正態(tài)分布的期望第3頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月即E(X)=μ因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月并注意到置換積分變量分部積分公式.正態(tài)分布的方差可得第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月從而由此可見，如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則它的概率密度完全由數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差或者方差來決定。所以，正態(tài)分布的參數(shù)就是隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布的另一參數(shù)就是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月置換積分變量正態(tài)分布的k階中心矩k階中心矩的定義第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù).當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)楸黄婧瘮?shù)是偶函數(shù)第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月特別是，正態(tài)分布的四階中心矩P83置換積分變量第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)隨機(jī)變量X服從N(0,1)，求隨機(jī)變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學(xué)期望和方差第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月解本題可以用三種方法計(jì)算數(shù)學(xué)期望E(Y)法1用4.1節(jié)例2求得的Y的概率密度直接用定義，因?yàn)榈?1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月所以第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月置換積分變量第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月這恰好是X的二階中心矩(μ=0)，因此可以直接計(jì)算法2由隨機(jī)變量函數(shù)的期望定義，我們有第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月法3：由方差的簡化公式知

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

E(X2)=D(X)+[E(X)]2

E(X)=0，D(X)=1而E(Y)

=E(X2)=1所以第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月法1由隨機(jī)變量函數(shù)的期望定義可得下面計(jì)算Y的方差，我們利用方差的簡化公式

D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2

關(guān)鍵在于計(jì)算E(Y2)，下面用兩種方法來計(jì)算它第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月置換積分變量第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月法2由k階中心矩，因?yàn)樗詮亩缘?8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：這一講，我們介紹了正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望，方差和k階中心矩。我們知道了：如果隨機(jī)變量X服從正