新教材人教b版數(shù)學(xué)必修同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

7.2.3

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1.平方關(guān)系(1)公式:sin2α+cos2α=1(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商數(shù)關(guān)系(1)公式:tanα=(α≠kπ+,k∈Z).(2)語言敘述:同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.【思考】(1)“同角”一詞的含義是什么?提示:一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是對任意一個角(在使得函數(shù)有意義的前提下),關(guān)系式都成立,即與角的表達(dá)式形式無關(guān),如sin215°+cos215°=1,sin2(α+β)+cos2(α+β)=1等.(2)兩個公式成立的條件分別是什么?提示:平方關(guān)系對于α∈R都成立;商數(shù)關(guān)系中公式成立的條件為:α≠kπ+,k∈Z.(3)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有變式嗎?分別是什么?提示:有;①sin2α+cos2α=1的變形公式有:sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.②tanα=的變形公式有:sinα=cosα·tanα;cosα=.【素養(yǎng)小測】

1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)因為sin2π+cos2=1,所以sin2α+cos2β=1成立,其中α,β為任意角.(

)(2)對任意角θ,sin2+cos2=1都成立.(

)(3)對任意的角α,都有=tanα成立.(

)提示:(1)×.由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式知,sin2α+cos2α=1,且α為任意角.(2)√.在sin2α+cos2α=1中,令α=可得sin2+cos2=1.(3)×.當(dāng)α=+kπ,k∈Z時就不成立.2.已知α∈sinα=,則cosα=(

)【解析】選A.因為α是第一象限角,所以cosα=3.化簡(1+tan2α)·cos2α等于 (

)A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選C.原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.4.已知sinα+cosα=,則sinαcosα=________.

【解析】因為sinα+cosα=,所以(sinα+cosα)2=.所以sin2α+2sinαcosα+cos2α=.所以1+2sinαcosα=.所以sinαcosα=-.答案:-類型一利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求值【典例】1.若sinα=-,且α為第三象限角,則tanα的值等于 (

)2.已知sinα+cosα=-,0<α<π.(1)求sinαcosα的值.(2)求sinα-cosα的值.【思維·引】1.根據(jù)sinα=-和sin2α+cos2α=1列方程組求tanα.2.已知sinα+cosα=-,兩邊平方再利用sin2α+cos2α=1,即可求出sinαcosα,再把sinα-cosα兩邊平方即可,注意角α的范圍.【解析】1.選C.因為α為第三象限角,所以cosα=2.(1)由sinα+cosα=-得(sinα+cosα)2=,sin2α+2sinαcosα+cos2α=,sinαcosα=-.(2)因為0<α<π,sinαcosα<0,所以sinα>0,cosα<0?sinα-cosα>0.sinα-cosα=【內(nèi)化·悟】1.已知角的某一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值常用哪些公式?提示:根據(jù)已知條件和平方關(guān)系sin2α+cos2α=1;商數(shù)關(guān)系=tanα(α≠kπ+,k∈Z).2.已知sinα±cosα的值時,怎樣求sinαcosα的值?提示:已知sinα±cosα的值,求sinαcosα的值時,常用平方關(guān)系整體構(gòu)造求值.解題時一定特別注意角的取值范圍.【類題·通】求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知三角函數(shù)值之間的關(guān)系式求其他三角函數(shù)值的問題,我們可利用平方關(guān)系或商數(shù)關(guān)系求解,其關(guān)鍵在于運用方程的思想及(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα的等價轉(zhuǎn)化,是分析解決問題的突破口.【習(xí)練·破】(1)已知tanα=,且α是第三象限角,求sinα,cosα的值.(2)已知sinαcosα=-,且0<α<π,求tanα的值.【解析】(1)由tanα=得sinα=cosα,①又sin2α+cos2α=1,②由①②得cos2α+cos2α=1,即cos2α=.又α是第三象限角,故cosα=(2)方法一:因為sinαcosα=-,sin2α+cos2α=1,所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2×所以(sinα+cosα)2=,所以sinα+cosα=±.同理(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+因為sinαcosα=-<0,0<α<π,所以<α<π,所以sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=.由

所以tanα=-或tanα=-.方法二:因為sinαcosα=-所以

所以

所以12tan2α+25tanα+12=0,所以(3tanα+4)(4tanα+3)=0,所以tanα=-或tanα=-.【加練·固】(1)已知cosα=-,求sinα和tanα.(2)已知sinα+3cosα=0,求sinα,cosα的值.【解析】(1)sin2α=1-cos2α=1-因為cosα=-<0,所以α是第二或第三象限角,當(dāng)α是第二象限角時,sinα=當(dāng)α是第三象限角時,sinα=(2)因為sinα+3cosα=0.又sin2α+cos2α=1,得(-3cosα)2+cos2α=1,即10cos2α=1.所以cosα=±.又由sinα=-3cosα,可知sinα與cosα異號,所以α在第二、四象限.①當(dāng)α是第二象限角時,sinα=②當(dāng)α是第四象限角時,sinα=類型二利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡【典例】1.已知tanα=2,求下列各式的值(1)(3)2sin2α-sinαcosα+cos2α.2.已知α是第三象限角,化簡:

世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】1.根據(jù)商數(shù)關(guān)系把齊次式的分子分母同時除以cosα的n次方,進(jìn)行弦化切運算;若題目中沒有分母,一般把分母化為1,再利用1=sin2α+cos2α轉(zhuǎn)化.2.對于含有根號的三角函數(shù)式,常把根號里面的部分利用平方差公式和平方關(guān)系化簡,然后去根號達(dá)到化簡的目的.【解析】1.因為tanα=2,所以(1)(3)2sin2α-sinαcosα+cos2α2.原式=因為α是第三象限角,所以cosα<0.所以原式==-2tanα.【內(nèi)化·悟】已知正切值,怎樣求關(guān)于弦的代數(shù)式的值?提示:在已知正切值,求弦的值時,我們一般采用分子分母同除以余弦,化為正切的方式.【類題·通】已知角α的正切求關(guān)于sinα,cosα的齊次式的方法(1)關(guān)于sinα,cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關(guān)于sinα,cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同,設(shè)為n次,將分子、分母同除以cosα的n次冪,其式子可化為關(guān)于tanα的式子,再代入求值.(2)若無分母時,把分母看作1,并將1用sin2α+cos2α來代換,將分子、分母同除以cos2α,可化為關(guān)于tanα的式子,再代入求值.【習(xí)練·破】1.化簡:=________.

【解析】原式=

答案:cos80°2.已知(1)求tanα的值.(2)求的值.【解析】(1)由

得3tan2α-2tanα-1=0,即(3tanα+1)(tanα-1)=0,解得tanα=-或tanα=1.因為α∈,所以tanα<0,所以tanα=-.(2)由(1),得tanα=-,所以

【加練·固】已知sinα+2cosα=0,求2sinαcosα-cos2α的值.【解析】由sinα+2cosα=0,得tanα=-2.所以2sinαcosα-cos2α=類型三利用三角函數(shù)的關(guān)系證明恒等式【典例】求證: 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】把比較復(fù)雜的左端化簡,使之與右邊相等.【證明】左邊=所以原等式成立.【類題·通】證明三角恒等式的常用方法(1)從一邊開始,證得它等于另一邊,一般是由比較復(fù)雜的一邊開始化簡到另一邊,其依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性.(2)左右歸一法:即證明左右兩邊都等于同一個式子,其依據(jù)是等于同一個量的兩個量相等.【習(xí)練·破】已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2si