高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案第二章3第2課時(shí)平面向量基本定理

第2課時(shí)平面向量基本定理[核心必知]平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：我們把不共線的兩個(gè)向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．[問題思考]1．零向量可以作為基底的一個(gè)向量嗎？提示：不能．因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量都是共線向量．2．平面向量的基底是唯一的嗎？提示：不是．平面內(nèi)任何不共線的兩個(gè)向量都可以作為基底，當(dāng)基底一旦確定后，平面內(nèi)任何一向量都可以用這一基底唯一表示．3．為什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共線？提示：若e1∥e2，則e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1故a∥e1，即用e1，e2只能表示與之共線的向量．講一講1．如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，λ，μ∈R，那么下列說法中不正確的是()①λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無窮多個(gè)；③平面α內(nèi)的任意一個(gè)向量a都可以分解為a＝λe1＋μe2的形式，且這種分解是唯一的；④若λe1＝μe2，則λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②[嘗試解答]由平面向量基本定理知，①，③正確；對(duì)于④，若λe1＝μe2，則0eq\a\vs4\al(＝)λe1＋(－μ)e2，因?yàn)閑1，e2不共線，所以必有λ＝μ＝0，④正確；對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故②不正確．[答案]D1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一組基底中的兩向量不共線；②平面內(nèi)的任意向量a都可在給出的基底下進(jìn)行分解；③基底給定時(shí)，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一確定的一對(duì)實(shí)數(shù)．2．解決這種概念性問題的關(guān)鍵是深刻理解平面向量基本定理的意義和基底的概念．練一練1．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：選B∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為平面的基底．2．設(shè)e1，e2是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列結(jié)論：①若a與e1共線，則λ＝0；②若a與e2共線，則λ＝0；③若a＝0，則λ＝μ＝0.以上結(jié)論正確的是________(填序號(hào))．解析：若a與e1共線，則a＝λe1＝λe1＋0×e2，∴μ＝0，故①不正確，②正確；若a＝0，則λe1＋μe2＝0，∴λ＝μ＝0，故③正確．答案：②③講一講2．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝d，試用c，d表示.將②代入①得a＝d－eq\f(1,2)(c－eq\f(1,2)a)．∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)，代入②得b＝c－eq\f(1,2)×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d)．利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加、減法以及數(shù)乘向量進(jìn)行線性運(yùn)算，解決此類問題時(shí)，要仔細(xì)分析所給圖形，借助于平面幾何知識(shí)和向量共線定理及平面向量基本定理解決．練一練3.如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，G為交點(diǎn)，若＝b，試以a，b為基底表示.＝－eq\f(1,3)(a＋b)．講一講3．已知D、E、F分別是△ABC的BC、CA、AB邊上的中點(diǎn)．試用向量法證明：AD、BE、CF交于一點(diǎn)．1．利用向量證明幾何問題是其工具性的體現(xiàn)．操作時(shí)，為明確方向，常常選取問題中不共線的線段對(duì)應(yīng)的向量作為基底．2．就本題而言，充分利用三點(diǎn)共線和基底表示向量的唯一性來構(gòu)建方程(組)求解，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．練一練4．已知O，A，B，P是平面內(nèi)的四點(diǎn)，且O，A，B三點(diǎn)不共線，若(λ，μ∈R)，試求當(dāng)λ，μ滿足什么條件時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線．解：由向量共線定理知，若A，B，P三點(diǎn)共線，則存在唯一由平面向量基本定理可知λ，μ唯一．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1－t，,μ＝t，))∴λ＋μ＝1.故當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0[錯(cuò)解]若λ＝0，則a＝e1，又b＝2e1，∴a＝eq\f(1,2)b，∴a與b共線，故選A.[錯(cuò)因]錯(cuò)解之處在于考慮問題不全面，在應(yīng)用平面向量基本定理時(shí)要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共線這個(gè)條件，若沒有指明，應(yīng)對(duì)e1，e2共線的情況加以考慮．[正解]若e1∥e2時(shí)，∵e1≠0，∴e2＝te1(t∈R)．∴a＝e1＋λe2＝(1＋λt)e1＝eq\f(1＋λt,2)b，∴a與b共線，若e1與e2不共線，要使a與b共線，則a＝tb(t∈R)，即e1＋λe2＝2te1，亦即(1－2t)e1＋λe2＝0，∴λ＝0.[答案]D1．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：，其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④解析：選B①③中兩向量不共線，由基底的定義知，可以作為基底．2．下列結(jié)論中正確的是()①a∥b?存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb②a∥b?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0③a與b不共線，則λ1a＋λ2b＝0?λ1＝λ2＝0④a與b不共線?不存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0A．①④B．②③C．①③D．②④解析：選B對(duì)于①，若b＝0，則a∥b，但當(dāng)a＝0時(shí)，使a＝λb成立的λ有無數(shù)個(gè)，所以①不正確；根據(jù)向量共線的判定及性質(zhì)定理知②正確；根據(jù)平面向量基本定理知③正確，④不正確，因?yàn)閍，b不共線時(shí)，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0.3.如圖，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝()A.eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B.eq\f(1,2)(5e1－3e2)C.eq\f(1,2)(3e2－5e1)D.eq\f(1,2)(5e2－3e1)4．已知向量i，j不共線，實(shí)數(shù)λ，μ滿足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，則λ的值為________，μ的值為________．解析：由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得λi＋(3－5μ)j＝0.∵i，j不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝0，,3－5μ＝0，))得λ＝0，μ＝eq\f(3,5).答案：0eq\f(3,5)5．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1－12e2，則向量a寫為λb＋μc的形式是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝4e1＋2e2，,c＝－3e1－12e2))得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＝2e1＋e2，,－\f(c,3)＝e1＋4e2.))∴－eq\f(b,2)－eq\f(c,3)＝－e1＋3e2＝a，即a＝－eq\f(1,2)b－eq\f(1,3)c.答案：－eq\f(1,2)b－eq\f(1,3)c一、選擇題1．已知e1，e2是不共線向量，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，當(dāng)a∥b時(shí)，實(shí)數(shù)λ等于()A．－1B．0C．－eq\f(1,2)D．－2解析：選D當(dāng)a∥b時(shí)，a＝tb(t∈R)，則2e1＋e2＝t(λe1－e2)，即(2－tλ)e1＋(1＋t)e2＝0.∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－tλ＝0，,1＋t＝0，))得λ＝－2.2．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A、B、C三點(diǎn)共線，則λ，μ滿足的條件為()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝13．在△ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC中點(diǎn)，若，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(2,3)4．設(shè)起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a，b，3a－2b的終點(diǎn)分別為A，B，C，則()A．A，B，C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)B．A，B，C三點(diǎn)共線二、填空題5．如圖，每個(gè)小正方形方格的長(zhǎng)度為單位1，以向量e1，e2作為基底，則a－b＝________．解析：a－b＝＝2e2－e1.答案：2e2－e16．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．解析：若a∥b，則λ＝4，故a，b能作為基底的條件為λ≠4.答案：{λ|λ∈R且λ≠4}7.如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若＋，則λ＝________.∴λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．△ABC中，，DE∥BC，且DE與AC相交于點(diǎn)E，M是BC的中點(diǎn)，AM與DE相交于點(diǎn)N，若＝(x，y∈R)，則x＋y＝________解析：如圖，∵DE∥BC，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－λ＝x，,λ＝y(tǒng)，))得x＋y＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答題9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．解：(1)證明：設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1,3λ＝－2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3)，))∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．(2)設(shè)c＝ma＋nb(m、n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3,－2m＋3n＝－1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)