二次函數(shù)中考考點例題全面解析

二次函數(shù)中考考點+例題-全面解析————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期：?二次函數(shù)中考考點分析考點1、確定a、b、c的值．二次函數(shù)：y＝ax2+bｘ+c(a,b,c是常數(shù)，且ａ≠0）開口向上，開口向下．拋物線的對稱軸為：,由圖像確定的正負(fù)，由a的符號確定出b的符號，a，b符號左右．即當(dāng)拋物線的對稱軸在y軸的左邊時，a,b號。由x=０時，y=,知ｃ的符號取決于圖像與y軸的交點縱坐標(biāo)，與ｙ軸交點在y軸的正半軸時，c0，與y軸交點在y軸的負(fù)半軸時,c0．確定了ａ、b、c的符號,易確定aｂc的符號．考點2、確定a+b＋ｃ的符號．ｘ=１時，y=，由圖像y的值確定a＋ｂ+ｃ的符號.與之類似的還經(jīng)常出現(xiàn)判斷4a＋2b+ｃ的符號(易知ｘ=2時,ｙ=），由圖像ｙ的值確定4a＋２b+c的符號.還有判斷a-b＋ｃ的符號(x=-1時,y＝)等等．考點3、與拋物線的對稱軸有關(guān)的一些值的符號.拋物線的對稱軸為x＝,根據(jù)對稱性知:取到對稱軸距離相等的兩個不同的x值時,值相等,即當(dāng)x=+ｍ或x=－m時，y值相等．中考考查時，通常知道ｘ=+ｍ時ｙ值的符號，讓確定出x=-m時y值的符號.考點4、由對稱軸ｘ=的確定值判斷a與b的關(guān)系．如：=１能判斷出a=b.考點5、頂點與最值.若x可以取全體實數(shù)，開口向下時,y在頂點處取得最大值,開口向上時,y在頂點處取得最小值．例1、已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,有下列5個結(jié)論：①;②；③;④；⑤，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（)．Ａ.２個 ?Ｂ.3個? C.4個??D.５個解析：此題考查了考點1、2、３、4、5.①錯誤.因為：開口向下＜0;對稱軸x==1,可以得出b>0;x＝0時,ｙ=c＞0，故abｃ<0.②錯誤.因為:由圖知x=－１時，y=a－b+c＜0，即b>a+ｃ．③正確.因為:由對稱軸x=１知,x=0時和x=２時y值相等,由ｘ=０時,y＞0,知ｘ=2時,y＝４a+2b+ｃ＞0．④正確.因為:由對稱軸x＝=1,可以得出ａ＝-0．５b，代入前面已經(jīng)證出ｂ>a+ｃ,得出1．5b＞c,即3ｂ＞2c．⑤正確．因為：拋物線開口向下，故頂點處y值最大,即x＝1，y＝a+b＋ｃ最大,此時ａ+b+c＞am２+bｍ＋c(),即，（)．答案：Ｂ．考點６、圖象與x軸交點.∵>0,aｘ２+ｂｘ+c＝０有兩個不相等的實根；<0，ａx2＋ｂx＋c=０無實根；=０，ax2+bx+ｃ=0有兩個相等的實根．∴b2-４ac>０，拋物線與x軸有個交點；b2-4ａc＜0,拋物線與x軸交點;b2-4ａc=0，拋物線與ｘ軸個交點.例2、二次函數(shù)與x軸的交點個數(shù)是()．A．0B.1C．2D．3解析:求圖象與ｘ軸的交點應(yīng)令ｙ=0,即x2-2x+1＝0,∵b2-4ac=4－4=0,∴二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點．答案：B.考點7、判斷在同一坐標(biāo)系中兩種不同的圖形的正誤．如:在同一種坐標(biāo)系中正確畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)，關(guān)鍵是兩個式子中的a、b值應(yīng)相同.例3、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為（)．OOxyOxyOxyOxyABCD解析:二次函數(shù)過點(0,0),故排除答案B與C.若a＞０，拋物線開口向上，一次函數(shù)的y值隨著x值的增大而增大;若ａ<０，拋物線開口向下，一次函數(shù)的y值隨著x值的增大而減小.答案：Ａ．考點8、能分別判斷出在對稱軸的左右兩側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的變化而變化情況.拋物線當(dāng)開口向上時,在對稱軸的左側(cè)二次函數(shù)y值隨的增大而減小,在對稱軸的側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大.拋物線開口時,在對稱軸的左側(cè)二次函數(shù)ｙ值隨ｘ值的增大而增大,在對稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小.例4、已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象經(jīng)過點(-1，2),(1,0).下列結(jié)論正確的是(）.Ａ.當(dāng)x>０時，函數(shù)值y隨x的增大而增大B.當(dāng)x＞0時,函數(shù)值y隨x的增大而減小C.存在一個負(fù)數(shù)x0，使得當(dāng)x<x0時,函數(shù)值y隨ｘ的增大而減小;當(dāng)ｘ>ｘ0時，函數(shù)值ｙ隨x的增大而增大D．存在一個正數(shù)x0，使得當(dāng)ｘ<x0時,函數(shù)值y隨x的增大而減小;當(dāng)ｘ>x0時,函數(shù)值y隨x的增大而增大解析:二次函數(shù)（a≠0）的圖象沒說明開口方向,故過點(-１,2)，(1,0)的拋物線有可能開口向上或向下,見圖再結(jié)合選項，拋物線當(dāng)開口向上時,在對稱軸ｘ＝x0(x０>0)的左側(cè)二次函數(shù)ｙ值隨ｘ值的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大．拋物線開口向下時,在對稱軸x=x0（ｘ0＜0)的左側(cè)二次函數(shù)y值隨ｘ值的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小．答案：Ｄ.考點9、二次函數(shù)解析式的幾種形式．（1)一般式:y=ax2+ｂｘ＋c(a，b,c為常數(shù)，a≠０)．頂點式：y＝ａ(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).拋物線的頂點坐標(biāo)是(ｈ,k)，ｈ＝０時，拋物線y=ａx2+k的頂點在軸上；當(dāng)k＝0時，拋物線y=a(x-h)2的頂點在x軸上；當(dāng)h＝0且ｋ=0時，拋物線y＝aｘ2的頂點在.（3)兩根式：y=a（x-x1)(x-x2）,其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即一元二次方程aｘ2＋bx+ｃ＝0(ａ≠０）的兩個根．求解析式時若已知拋物線過三點坐標(biāo)一般設(shè)成一般式，已知拋物線過的頂點坐標(biāo)時設(shè)成頂點式,已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)時設(shè)成兩根式．例5、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為,且過點.求該二次函數(shù)的解析式為.解析：(１）設(shè)二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)圖象過點,，得．二次函數(shù)解析式為,即．【知識梳理】1.定義：一般地，如果是常數(shù)，,那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.3.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點．①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時,開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同．②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地,軸記作直線．4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（１)公式法：，∴頂點是,對稱軸是直線.（2)配方法:運用配方的方法,將拋物線的解析式化為的形式,得到頂點為(,），對稱軸是直線.（３)運用拋物線的對稱性:由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點,再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失.6.拋物線中,的作用(1)決定開口方向及開口大小,這與中的完全一樣．(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線,故：①時，對稱軸為軸;②(即、同號)時,對稱軸在軸左側(cè);③(即、異號）時,對稱軸在軸右側(cè)．(３）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，,∴拋物線與軸有且只有一個交點（０,）：①,拋物線經(jīng)過原點；②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè),則.７.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(１）一般式：．已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式．(2)頂點式:．已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.（3）交點式:已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、,通常選用交點式:.12.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).(2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(，).(３）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交;②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切;③沒有交點拋物線與軸相離.(４）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時,兩交點的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.(5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點；②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點．（6)拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根,故練一練：1、如圖，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖像經(jīng)過點（-1,2）和（1，０)且與y軸交于負(fù)半軸．(以下有（1)、(２）兩問，每個考生只須選答一問，若兩問都答，則只以第（2)問計分)第(1)問:給出四個結(jié)論:①＞０；②>０；③＞０;④ａ+b+c=０其中正確的結(jié)論的序號是（答對得3分,少選、錯選均不得分)．第（２）問：給出四個結(jié)論：①abc<0;②2a+>0;③a+ｃ=1;④a>1.其中正確的結(jié)論的序號是（答對得5分,少選、錯選均不得分).2、二次函數(shù)的圖像可能是【】A.A.xyB.xyC.xyD.xyxxyO3

－9－1－1AB3、如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A和點B.（1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo);(３)到x軸的距離.4、有一拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為４m，跨度為1０m,如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系