初中升高中暑假預(yù)習(xí)講義《4.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性及應(yīng)用》教學(xué)案

4.函數(shù)對(duì)稱性與周期性及應(yīng)用抽象函數(shù)由于能夠更加直接的刻畫(huà)很多函數(shù)共同的性質(zhì)，當(dāng)然頗受命題人的喜愛(ài).命制抽象函數(shù)試題的基本原理就是函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性與對(duì)稱性，周期性.所以在我們?cè)噲D解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，其基本要求便是熟練的掌握相關(guān)結(jié)論，其實(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些東西就已經(jīng)足夠解決多數(shù)問(wèn)題了.相關(guān)結(jié)論在人教A版必修第一冊(cè)87頁(yè)，蘇教版必修第一冊(cè)119頁(yè)均有涉及，讀者可自行查閱，這里重點(diǎn)給出它們的后續(xù)應(yīng)用.一．函數(shù)的對(duì)稱性：函數(shù)對(duì)稱性主要有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱兩種情況.函數(shù)對(duì)稱性研究的是一個(gè)函數(shù)本身所具有的性質(zhì).性質(zhì)1.軸對(duì)稱:函數(shù)圖象關(guān)于一條垂直于軸的直線對(duì)稱，則當(dāng)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離相等且函數(shù)值時(shí).我們就稱函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）代數(shù)表示:(1).(2).即當(dāng)兩個(gè)自變量之和為一個(gè)定值，函數(shù)值相等時(shí),則函數(shù)圖像都關(guān)于直線對(duì)稱.一般地，若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.特別地，偶函數(shù)(關(guān)于軸對(duì)稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相等.性質(zhì)2.中心對(duì)稱：函數(shù)上任意一點(diǎn)（）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)（）也在函數(shù)圖像上，此時(shí)我們就稱函數(shù)為關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱的中心對(duì)稱圖像，點(diǎn)()為對(duì)稱中心.用代數(shù)式表示：(1).(2).一般地,若函數(shù)滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.特別地，奇函數(shù)(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，，即當(dāng)橫坐標(biāo)到原點(diǎn)的距離相等(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)），函數(shù)值相反.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）3.注釋:對(duì)稱性的作用:知一半而得全部，即一旦函數(shù)具備對(duì)稱性，則只需分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).(1).利用對(duì)稱性求得函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值.(2).利用對(duì)稱性可以在作圖時(shí)只需作出一半的圖象，然后再根據(jù)對(duì)稱性作出另一半的圖象.(3).對(duì)于軸對(duì)稱函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；對(duì)于中心對(duì)稱函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同.二．函數(shù)的周期性1.定義:對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.性質(zhì)3.函數(shù)周期性有關(guān)結(jié)論:設(shè)是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任一變量有下列條件之一成立，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是它的一個(gè)周期.(1).(2).(3).(4).3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì)4已知是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.性質(zhì)5.已知是定義在上的函數(shù)，若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.性質(zhì)6.若函數(shù)同時(shí)關(guān)于直線與軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.證明：由定理2知均為偶函數(shù)，則①②，由①得，③，由②得，④由③，④得，⑤，即.令，則，代入⑤得，是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)7.若函數(shù)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)與點(diǎn)中心對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）證明：由性質(zhì)2知與均為奇函數(shù)，則①②，由①得，③，由②得，④，由③，④得，即.令，則.，即，是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)8.若函數(shù)既關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于直線軸對(duì)稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，且.證明：由性質(zhì)2知為偶函數(shù)，則①，由定理1知為奇函數(shù)，則②分別由①，②得，故命題得證！性質(zhì)9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若與均為奇函數(shù)，則是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.證明：由條件知，①，②由①得，③，由②得④由③，④得，即.令，則，是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若與均為偶函數(shù)，則是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期.證明：由與均為偶函數(shù)，得①，②，分別由①，②得③，④由③，④得⑤即.令，則，，即，是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，若是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.證明：由條件得①，②由①，②得，③，④由③，④得，令，則，代入上式得，，則.是周期函數(shù)，且為其一個(gè)周期.性質(zhì)12.周期性的應(yīng)用:(1).函數(shù)周期性的作用：簡(jiǎn)而言之“窺一斑而知全豹”，只要了解一個(gè)周期的性質(zhì)，則得到整個(gè)函數(shù)的性質(zhì).(2).圖像：只要做出一個(gè)周期的函數(shù)圖象，其余部分的圖像可利用周期性進(jìn)行復(fù)制粘貼.(3).單調(diào)性：（公眾號(hào)：凌晨講數(shù)學(xué)）由于間隔的函數(shù)圖象相同，所以若函數(shù)在上單調(diào)增(減)，則在上單調(diào)增(減).二．典例分析例1．（2021新高考2卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.例2．（2021全國(guó)甲卷）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)椋?，令，由①得：，所以．由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．例3．（2021全國(guó)乙卷）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以故選：D例4．（2022新高考1卷）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.例5．（2022新