常微分方程題庫(kù)及答案

1、常微分方程題庫(kù)及答案求解下列方程1.求方程cosxdy dxysinx 0之通解；2 .求方程 dy ytan x 1之通解; axcosx3.解初值問(wèn)題(x21)乎 2xydxy(0) 1;4 .求方程xdy y (x y)ln x一y 之通解； dxx25 .求方程-y3- 的通解；dx xy x y6 .求方程(x3 3xy2)dx (y3 3x2y)dy 0 的通解;7 .求由以 剪2,奧注 為基本解組的線(xiàn)性齊次方程; x x28 .求方程y (2)2 x曳x-的通解及奇解dx dx 29.求方程1 (dy(t)dt)2dt2vx y(x)的通解;10 .求方程(sn 2x x)dx

2、(y Sn2 x)dy 0 的通解; yy11 .求由以 x, xln x為基本解組的線(xiàn)性齊次方程；12 .求方程 駕 二(女)2的通解.dx 1 y dx13 .求方程dy ylny之通解。 dx14 .求方程(x2 y2)曳 2xy之通解。 dx15 .求方程2xydx (x2 y2)dy 0之通解。16 .求方程ex，之通解。dx17 .求方程e ydx (2 y xe y )dy 0之通解。18 .求方程y y tanx secx之通解。第1頁(yè)共9頁(yè)dy 2 x ye ax1.解初值問(wèn)題y (1) odx dtx 2y2.求如下微分方程組之通解:dydt dzdt曳x dxy(0) o

3、3.求出初值問(wèn)題的逐次近似解 yo, yi y2 :4.求出微分方程 M (x.y)dx N(x.y)dy 0有形如22(x y )的積分因子的充要條件。5.用李雅普諾夫函數(shù)法討論方程平衡點(diǎn)(0. 0)之穩(wěn)定性:dxdt-y x xydy23-x y x y dtdxdt2x 3yx2 cosy6.用一次近似法討論方程平衡點(diǎn)(0. 0)的穩(wěn)定性:dy dt2 ,、x y y (x y)7.求方程的通解：dyy 3曳10y xcos2xdx dx2 5xx e (特解不必求出，僅給出特解形式，要說(shuō)明理由)8.求方程組之通解:dxdt dy dtdzdtx y zx y z2x ydy9.求充分值

4、問(wèn)題的逐次近似解y(x), y2(x):dx y(0)第2頁(yè)共9頁(yè)10.求列如下方程組的奇點(diǎn)類(lèi)型:dxdt dy dt2y 3xx 4y11.分別用一次近似法和 李雅普諾夫函數(shù)法討論如下方程組平衡點(diǎn)(0.0)的穩(wěn)定性：dx dt dy dty (xy (x12.已知初值問(wèn)題y)(xy2)y)(x2dydxy(0)1).求近似解y1, y2 ；2)2y 其中 D : x 1, y0,2.給出真解與第二次近似解的誤差估計(jì)dxdt13 .求如下方程組的通解：5y z.dt dz dt14.設(shè)f (x)在0,上連續(xù)且有界,求證：方程f(x)的所有解均在0, 上有界.d2、,15.已知方程(x 1)d4

5、dxx亞 dxy 0有特解、工d2y求方程 (x 1)-d-y dx2dy2 x 、x y (x 1) e 之 dx通解.d2v16.已知方程x(x 1)一dx有一線(xiàn)性函數(shù)的特解，試確定2啜y 0的值，并求出通解17.求方程 以 2xy 4x之通解。dx . . . . . 18.求二階微分方程的通解：已知方程 (x 1)yxy0的一個(gè)解y1x ,試求其通解.19.求微分方程組的近似解：利用逐次逼近法求方程dydx22y x適合初彳1條件y(0) 1的近似解。20.求方程曳dx5 、y xy之通解。21.已知方程(11 ln x) y yx0的一個(gè)解y1In x,試求其通解.22.dx求下列微

6、分方程組的通解：9 dydt2x3x4y第3頁(yè)共9頁(yè)常微分方程作業(yè)參考答案.求解下列方程1 . y ccosx2 .通解為： y ccosx sin xdy - xy(0)2x2-dx11dyd(x22 xln | x21)1y ln1|yy x(1-y)ln(1 xy) xy xudydxdux dx(1u)ln(1u)dux - dx(1u)ln(1u)dudx(1 u)ln(1u)d ln(1 u)ln(1 u)dxIn ln(1 u)lnln cln(1 u)cxcxy cxcx1 e y x(e 1) x5 .可分離變量方程，通解為 (1x2)(1 y2)cx2.6 .齊次方程，通解

7、為 sin 4ln x c. x x7 .全微分方程，通解為 x4 6x2y2y4 c1 28 . d-2 2dy y 0. dx x dx9 .解為 3y (x 3)jx. . 222sin x x y10 . 通解為 -c.y 22d y 1 dy111 .萬(wàn)程為 -2- -節(jié)y 0. dxx dx x12 .通解為 y tan(gx c2).13 .通解為ln y Cex14 .通解為Cy y2 x2y3 c15 .方程的通積分為0 2xydx ：( y2)dy C,即3x2y第4頁(yè)共9頁(yè)16 .通解為ey ex Cx17 .方程的通積分為e ydxy0 2ydyC ,即 xe y2.3

8、.4.18 .方程通解為通解為:通解為:yyuM令x2y sinC cosxey2yuN(x25. v1(x22y2)dvdt(x21 e2xe2y16. 一次近似方程為:30Re(Re(AoX Ai)cos2x (BoxM -，一故滿(mǎn)定充要條件的表達(dá)式為y)0口,則(0.0 )局部漸過(guò)穩(wěn)7E .)0Bi )sin 2x為y 3y 10y xcos2x 之特解，2 不是特征根第5頁(yè)共9頁(yè)a 5是特征方程的單根y2x(cox2 c1x c2)e5x 故其通解為:2x5xyc1ec2ey1 y28.特征根為：11.2 1.11所屬的特征向量為：121所屬的特征向量為：11131所屬的特征向量為：丫

9、 01x通解為：yz111tt2tc1 3 ec2 1 ec30 e5111 29. y：y。0y1一x210. 特征方程為：2 710 0p 7 0 g 10 0故(0.0)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)11.y21. 一次近似方程為:d xdTd y7T2022 0 Re( 1) 0 Re( 2) 0(0.0 )為局部漸近穩(wěn)定2. v 1(x2y2).2dvl() (x2 y2)(x2 y2 1) 出故 x2y21 0 故(0.0 )局部漸近穩(wěn)定 出12.第6頁(yè)共9頁(yè)1.Vo 0,y y。f(x,yo)dx2 ,1 3x dx x ,32.13.y2y。f (x, y)max(x,y) D則 y2(x)系數(shù)陣

10、為f (x, yi)dxmax 2y(x,y) Dy(x)E的初等因子為Ci14.證：設(shè)y(x)y(x)15.通解為 y16.(x201 61 3-x )dx -x 93max(x,y) Df (x,y)L,5 %),(C2 00,s.t.f(x)6475特征方程為1)2Me x esdsx0C(0,x0 ),max M , V。xcec2xC3y00,(12,特解為17.解:先解齊次方程1 12(2xx)1 7x .635,一 bmin a, mdet(AE)min(10 t et.).則e(xo x)0,0, s.t.y(x)M ,xy(x)K,必 x, 通解為 yc1xC2(11,|0,

11、 Xo .0,2)2xln x).0.dy 2xy.,通解為y dxCe用常數(shù)變易法，令非齊次方程通解為X2C(x)e一、.， 一 一,、. x2，一.代入原方程，化簡(jiǎn)后可得 C (x) 4xex，積分得到第7頁(yè)共9頁(yè)22C(x) 2exC .代回后即得原方程通解為 y 2 Cex .注:在求解線(xiàn)性方程時(shí)，即可以直接套用公式求解，也可以用常數(shù)變異法推出，但我們鼓勵(lì)使用常數(shù)變異法18.解：由通解公式* .Yi Cy11-eYip(x)dxdx 此處Y1x, p(x)所以*y c yi Cy11-2eYi_x_dx1 dxx(CxC-)xx CexCixC2ex19.解0(x)1,i(X)(02(2)d(12)d1 3-x32(x) 1x0(12()2)dx0(16)d2 5 x151 7一 x6320.解：顯然0是方程的解.當(dāng)y0時(shí)，兩端同除以ydyy5 dx14 yz,代入有它的解為zdz z x,4dxCe 4x 及 y21.解:由通解公式*Yi.于是原方程的解為0.CYi1Yip(x)dxdx, y11nxmx)而1ln x)*y c YiCYi1Yip(x)dxdxy1 c2e(ln x)_dx x(1 ln x)dx*y1