廣東省廣州市象圣中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

廣東省廣州市象圣中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.關(guān)于正態(tài)曲線(xiàn)性質(zhì)的描述，正確的是（

）①曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，并且曲線(xiàn)在軸上方；②曲線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且曲線(xiàn)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是；③曲線(xiàn)最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，且曲線(xiàn)沒(méi)有最低點(diǎn)；④當(dāng)越大，曲線(xiàn)越“高瘦”，當(dāng)越小，曲線(xiàn)越“矮胖”。A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

參考答案：B略2.若正數(shù)滿(mǎn)足,則的最小值是（）A．

B．

C．5

D．6參考答案：C略3.觀察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，…所得的結(jié)果都是24的倍數(shù)，由此推測(cè)可有A．其中包含等式：152－1＝224

B．一般式是：(2n＋3)2－1＝4(n＋1)(n＋2)C．其中包含等式1012－1＝10200

D．24的倍數(shù)加1必是某一質(zhì)數(shù)的完全平方參考答案：C4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，若存在兩項(xiàng)，使得，則的值為

(

)

A.10

B.6

C.4

D.不存在參考答案：B5.函數(shù)，則（

）A、

B、3

C、1

D、命題意圖：基礎(chǔ)題。考核常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零。參考答案：C6.曲線(xiàn)在點(diǎn)A（0,1）處的切線(xiàn)斜率為（

）

A.1

B.2

C.

D.

參考答案：A略7.已知圓C：(x+3)2+y2=100和點(diǎn)B(3,0),P是圓上一點(diǎn)，線(xiàn)段BP的垂直平分線(xiàn)交CP于M點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡方程是（）。A..y2=6x

B.

C.

D.x2+y2=25參考答案：B如圖所示，連接，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知：，故,結(jié)合橢圓的定義可知M點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，的橢圓，故，，則.橢圓方程為：.本題選擇B選項(xiàng).

8..已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A.2 B.0 C.0或2 D.1參考答案：B【分析】求得集合，根據(jù)，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，集合，因?yàn)?，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集運(yùn)算，其中解答中熟記集合的包含關(guān)系的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.有一段演繹推理是這樣的：“三角函數(shù)是周期函數(shù)，是三角函數(shù)，所以是周期函數(shù)．”在以上演繹推理中，下列說(shuō)法正確的是

A．推理完全正確

B．大前提不正確

C．小前提不正確

D．推理形式不正確參考答案：C10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，若，則的面積的最小值為（

）A. B. C. D.1參考答案：A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)坐標(biāo)間的相互關(guān)系，寫(xiě)出三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，求得面積的最小值.【詳解】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有，，由于，故，解得.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，故三角形為直角三角形，而，故，三角形的面積為，當(dāng)時(shí)，面積取得最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間兩條直線(xiàn)相互垂直的坐標(biāo)表示，考查三角形面積的最小值的求法，還考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.屬于中檔題.空間兩條直線(xiàn)相互垂直，那么兩條直線(xiàn)的方向向量的數(shù)量積為零.對(duì)于兩個(gè)參數(shù)求最值，可利用方程將其中一個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)參數(shù)，再結(jié)合函數(shù)最值相應(yīng)的求法來(lái)求最值.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列-，，-，………的一個(gè)通項(xiàng)公式是_________________；參考答案：-略12.命題：，，則命題的否定：

參考答案：，略13.已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，當(dāng)x＞2時(shí)k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，則整數(shù)k最大值為

．參考答案：5【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等價(jià)于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，分離參數(shù)，從而可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)即可求得，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)x＞2時(shí)，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，亦即k＜=+2對(duì)一切x∈（2，+∞）恒成立，所以不等式轉(zhuǎn)化為k＜+2對(duì)任意x＞2恒成立．設(shè)p（x）=+2，則p′（x）=，令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），則r′（x）=1﹣=＞0，所以r（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．因?yàn)閞（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0，所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，且滿(mǎn)足x0∈（9，10），當(dāng)2＜x＜x0時(shí)，r（x）＜0，即p′（x）＜0；當(dāng)x＞x0時(shí)，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函數(shù)p（x）在（2，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5．所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6），所以k＜[p（x）]min∈（5，6），故整數(shù)k的最大值是5．故答案為：5．14.若函數(shù)f(x)=x3－x2－3x－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值，因?yàn)楹瘮?shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即可單調(diào)答案．【解答】解：由題意可得：f′（x）=x2﹣2x﹣3．令f′（x）＞0，則x＞3或x＜﹣1，令f′（x）＜0，則﹣1＜x＜3，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），減區(qū)間為（﹣1，3），所以當(dāng)x=﹣1時(shí)函數(shù)有極大值f（﹣1）=﹣a，當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)有極小值f（3）=﹣9﹣a，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f（﹣1）＞0并且f（3）＜0，解得：﹣9＜c＜．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣9，）．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的極值，并且掌握通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷極值點(diǎn)與0的大小關(guān)系．15.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)

參考答案：（）16.一個(gè)四棱柱的一個(gè)對(duì)角面面積為S，與該對(duì)角面相對(duì)的兩側(cè)棱間的距離為d，兩對(duì)角面構(gòu)成的二面角是60°，則四棱柱的體積V=____

。參考答案：Sd17.漸近線(xiàn)為且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______

____

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直線(xiàn)AE和平面PDB所成的角．參考答案：考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運(yùn)用直線(xiàn)垂直直線(xiàn)，直線(xiàn)垂直平面問(wèn)題證明．（II）根據(jù)題意得出AC⊥面PBD，運(yùn)用直線(xiàn)與平面所成的角得出∴∠AEO直線(xiàn)AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）連接EO，∵點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，O為DB中點(diǎn)，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直線(xiàn)AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直線(xiàn)AE和平面PDB所成的角45°點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與平面角的概念及求解，考查學(xué)生的空間思維能力，運(yùn)用平面問(wèn)題解決空間問(wèn)題的能力．19.在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大?。唬?）若?=b2，試判斷△ABC的形狀．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知可得=，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得cosB=，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求B的值．（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算可得ac=b2，又由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，從而解得a=c，結(jié)合B=，可得三角形為等邊三角形．【解答】解：（1）∵tanAtanC=+1．∴=，可得：﹣2cos（A+C）=1，∴cosB=﹣cos（A+C）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵?=b2，B=．∴accos=b2，解得：ac=b2①，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac②，∴由①②可得：a=c，結(jié)合B=，可得三角形為等邊三角形．20.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告之在甲船的南偏西30°,相距10海里C處的乙船.（1）求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離；（2）設(shè)乙船沿直線(xiàn)CB方向前往B處救援，求∠ACB的正弦值.參考答案：（1）海里（2）本題第（1）問(wèn)，由余弦定理直接求出BC；第（2）問(wèn)，由正弦定理求出sinC解：（１）在中，即相距海里（２）由得考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用；余弦定理；正弦定理點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形中的實(shí)際運(yùn)用．考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．21.如圖已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)． （1）證明：BC1∥面A1CD； （2）設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱錐C－A1DE的體積．參考答案：（1）連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD． （2）因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D為AB中點(diǎn)，所以，CD⊥AB，又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1，由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2