數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)

第五章數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)

DF〔DigitalFilter)5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法5.1.1數(shù)字濾波器的工作原理FIR、IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的根本結(jié)構(gòu)。根本內(nèi)容：那么LTI系統(tǒng)的輸出為：h(n)x(n)y(n)5.1.2數(shù)字濾波器(DF)表示方法DF的表示方法：方框圖；流圖。DF的三種運(yùn)算：延時(shí)，常數(shù)乘，相加。DF的三個(gè)根本運(yùn)算單元的表示方法：Z-1Z-1單位延時(shí)aa常數(shù)乘相加方框圖表示法信號流圖表示法把上述三個(gè)根本單元互聯(lián)，可構(gòu)成不同數(shù)字網(wǎng)絡(luò)或運(yùn)算結(jié)構(gòu)，也有方框圖表示法和流圖表示法。例：二階數(shù)字濾波器：方框圖表示Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1信號流圖表示信號流圖或方框圖顯示了系統(tǒng)的運(yùn)算步驟和運(yùn)算結(jié)構(gòu)。以后我們都用信號流圖來分析數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。5.1.3數(shù)字濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。根據(jù)沖激響應(yīng)的特性分:FIR、IIR5.1.4研究DF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)意義濾波器的根本特性〔如有限長沖激響應(yīng)FIR與無限長沖激響應(yīng)IIR〕決定了結(jié)構(gòu)上有不同的特點(diǎn)。不同結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)不同，前者影響復(fù)雜性，后者影響運(yùn)算速度。有限精度〔有限字長〕實(shí)現(xiàn)情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差及穩(wěn)定性不同。好的濾波器結(jié)構(gòu)應(yīng)該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實(shí)現(xiàn)，便于時(shí)分復(fù)用。5.2IIRDF的根本結(jié)構(gòu)5.2.1IIRDF特點(diǎn)1.單位沖激響應(yīng)h(n)是無限長的，n→∞2.系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限范圍的Z平面〔0<|Z|<∞)有極點(diǎn)存在。3.結(jié)構(gòu)上存在輸出到輸入的反響，也即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的。4.因果穩(wěn)定的IIR濾波器其全部極點(diǎn)一定在單位圓內(nèi)。5.2.2IIRDF根本結(jié)構(gòu)IIRDF結(jié)構(gòu)類型有：直接型結(jié)構(gòu)：直接型、級聯(lián)型、并聯(lián)型。直接I型、直接II型〔典范型〕。1.IIRDF系統(tǒng)函數(shù)及差分方程一個(gè)N階IIRDF的有理系統(tǒng)函數(shù)表示為：以下我們討論M<=N情況，對應(yīng)的系統(tǒng)差分方程為：與P.86頁(2-145)方程比較與P.93頁(2-160)方程比較2.直接I型x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由兩部分組成：

第一部分是一個(gè)對輸入x(n)的M節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)。每個(gè)延時(shí)抽頭后加權(quán)相加，是一個(gè)橫向網(wǎng)絡(luò)。第二部分是一個(gè)N節(jié)延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。不過它是對y(n)延時(shí)，因而是個(gè)反饋網(wǎng)絡(luò)?！?)直接I型流圖IIR

DF的差分方程就是一種最直接的計(jì)算，用流圖表現(xiàn)出來的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)即為直接I型結(jié)構(gòu)，即由差分方程直接實(shí)現(xiàn)。(2)直接I型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)第二個(gè)有反響的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。ii>共需(N+M)級延時(shí)單元i>兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)：第一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)，3.直接II型〔典范型〕〔1)直接II型原理直接型結(jié)構(gòu)的兩局部看成兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)〔即兩個(gè)子系統(tǒng)〕。一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，假設(shè)交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：〔1〕交換兩個(gè)級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序〔2〕合并兩個(gè)具有相同輸入的延時(shí)支路。得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型。原理：(2)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程1--對調(diào)x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分對調(diào)x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1對調(diào)(3)直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1合并y(n)x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bM+1bMy(n)對調(diào)后，在M=N條件下，前后兩局部都有一條內(nèi)容完全相同的延時(shí)鏈，可以合并為一條。這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。(4)直接II型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)ii>實(shí)現(xiàn)N階濾波器〔一般N>=M)只需N級延時(shí)單元，所需延時(shí)單元最少。故稱典范型。i>兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。第一個(gè)有反響的N節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)；第二個(gè)橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時(shí)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。4.級聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)因式分解將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分解為一階和二階實(shí)系數(shù)因子之積的形式：(2)濾波器的根本二階節(jié)濾波器可以用假設(shè)干個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成。每一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)也稱濾波器的根本二階節(jié)，根本二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為：一般用直接II型〔典范型〕表示x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)整個(gè)濾波器那么是多個(gè)二階節(jié)級聯(lián)。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...(3)用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng)5.并聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)的局部分式展開將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成局部分式之和，并將一階系統(tǒng)仍采用二階根本節(jié)表示畫出各二階根本節(jié)的直接型結(jié)構(gòu)，再將它們并聯(lián)。(2)并聯(lián)型根本二階節(jié)結(jié)構(gòu)并聯(lián)型的根本二階節(jié)的形式：注意：分子比分母小一階x(n)γ0β2z-1z-1β1γ1y(n)根本二階節(jié)的直接II型結(jié)構(gòu)(3)IIRDF的并聯(lián)結(jié)構(gòu)整個(gè)濾波器是多個(gè)二階節(jié)并聯(lián)。(1)二階節(jié)是實(shí)系數(shù)，而一階節(jié)一般為復(fù)系數(shù)。(2)統(tǒng)一用二階節(jié)表示，保持結(jié)構(gòu)上的一致性，有利于時(shí)分多路復(fù)用。(3)級聯(lián)結(jié)構(gòu)與并聯(lián)結(jié)構(gòu)的根本二階節(jié)是不同的。注意：級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，二階節(jié)是最根本的結(jié)構(gòu)。缺點(diǎn)： 1.改變某一個(gè){ak}將影響所有的極點(diǎn) 2.改變某一個(gè){bk}將影響所有的零點(diǎn) 3.對有限字長效應(yīng)太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象

對于三階以上的IIR濾波器，幾乎都不采用直接型結(jié)構(gòu)，而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其它形式的結(jié)構(gòu)。5.2.3IIRDF各種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：簡單直觀<1>IIR數(shù)字濾波器的直接型結(jié)構(gòu)優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.每一個(gè)根本節(jié)系數(shù)變化只影響該子系統(tǒng)的零極點(diǎn)，有利于控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2.對系數(shù)變化的敏感度小，受有限字長的影響比直接型低。3.硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)，可以用一個(gè)二階節(jié)進(jìn)行時(shí)分復(fù)用。<2>IIR數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)：延時(shí)較長。2.前面二階節(jié)產(chǎn)生的誤差會被后面的二階節(jié)放大。<3>并聯(lián)型特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1.運(yùn)算速度快。2.各根本節(jié)的誤差互不影響。3.可以單獨(dú)調(diào)整極點(diǎn)的位置。缺點(diǎn):1.不能像級聯(lián)型那樣直接調(diào)整零點(diǎn)。2.硬件上實(shí)現(xiàn)時(shí)將消耗更多的資源。三種IIRDF實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的性能比較(1)對系數(shù)變化的敏感度(有限字長效應(yīng))直接型最敏感級聯(lián)型和并聯(lián)型敏感度低。(2)運(yùn)算速度(延時(shí))并聯(lián)型運(yùn)算速度最快，延時(shí)最小。(3)誤差并聯(lián)型誤差最小。(4)零/極點(diǎn)位置直接型和級聯(lián)型都可以方便調(diào)節(jié)零/極點(diǎn)；但并聯(lián)型僅能調(diào)節(jié)極點(diǎn)，不能單獨(dú)調(diào)節(jié)零點(diǎn)位置。[例]某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為注意反響局部系數(shù)符號比較P.85式(2-145)方程和P.198式(5-3)級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為一階、二階實(shí)系數(shù)分式之積并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達(dá)為局部分式之和的形式例子IIRDF系統(tǒng)函數(shù)如下，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：為了得到直接I、II型結(jié)構(gòu)，必須將H(z)化為Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反響局部系數(shù)符號例子設(shè)IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)解：將其表示為級聯(lián)形式。例子其并聯(lián)結(jié)構(gòu)為：x(n)Z-1Z-114y(n)161-6-1Z-15.3FIRDF的根本結(jié)構(gòu)5.3.1FIRDF的特點(diǎn)(1)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零。即h(n)是個(gè)有限長序列。(2)系統(tǒng)函數(shù)|H(z)|在|z|>0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處(即FIR一定為穩(wěn)定系統(tǒng))(3)結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入反響。但有些結(jié)構(gòu)中〔例如頻率抽樣結(jié)構(gòu)〕也包含有反饋的遞歸局部。5.3.2FIR的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程長度為N的單位沖激響應(yīng)h(n)的系統(tǒng)函數(shù)為：5.3.3FIRDF實(shí)現(xiàn)根本結(jié)構(gòu)〔1〕FIR的橫截型結(jié)構(gòu)〔直接型〕〔2〕FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)〔3〕FIR的快速卷積型結(jié)構(gòu)〔4〕FIR的線性相位型結(jié)構(gòu)〔5〕FIR的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)*1.FIRDF直接型結(jié)構(gòu)〔卷積型、橫截型〕h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)(1)流圖N個(gè)乘法器，N-1個(gè)延遲器，N-1個(gè)加法器〔2〕框圖Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.FIRDF級聯(lián)型結(jié)構(gòu)即可以由多個(gè)二階節(jié)級聯(lián)實(shí)現(xiàn)，每個(gè)二階節(jié)用橫截型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/21當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將H(z)系統(tǒng)函數(shù)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的乘積：x(n)h(n)y(n)=x(n)*h(n)時(shí)域頻域X(k)H(k)Y(k)=X(k)H(k)圓周卷積Nx(n):長度為Nh(n):長度為M進(jìn)行L=N+M-1點(diǎn)圓周卷積，可代替x(n)*h(n)線性卷積。時(shí)域圓周卷積頻域乘積。3.FIRDF快速卷積結(jié)構(gòu)X(k)H(k)Lx(n)*h(n)時(shí)域線性卷積L點(diǎn)DFTh(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTx(n)y(n)根據(jù)以上思路，可得FIRDF的快速卷積結(jié)構(gòu)如下：X(k)H(k)Y(k)長度為N長度為ML=N+M-14.FIRDF線性相位FIR型結(jié)構(gòu)〔1〕定義線性相位：濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系?！?〕線性相位FIRDF具有特性h(n)滿足對稱性，即h(n)=±h(N-1-n)h(n)為偶對稱時(shí)，h(n)=h(N-1-n);h(n)為奇對稱時(shí)，h(n)=-h(N-1-n);其中利用h(n)的對稱性可以簡化FIRDF的結(jié)構(gòu)。〔3〕N=奇數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……h(huán)(n)為偶對稱，±1取+1，奇對稱取-1(4)N=偶數(shù)時(shí),線性相位FIR的結(jié)構(gòu)流圖其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……h(huán)(n)為偶對稱，±1取+1，奇對稱取-1