浙江省北斗星盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題參考公式：若事件A，B互斥，則若事件A，B相互獨(dú)立，則若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，則n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，h表示臺(tái)體的高柱體的體積公式，其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式，其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中R表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由補(bǔ)集的定義求，再由交集的定義求即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，故選：A.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（其中i是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及純虛數(shù)的概念即可求解.【詳解】為純虛數(shù)，所以故選：B.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可求得原幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖作出原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是由一個(gè)半圓柱和一個(gè)直三棱柱拼接而成的幾何體，由圖中數(shù)據(jù)可知，該幾何體的體積為.故選：A.4.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，作出滿足條件的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)幾何意義求解.【詳解】作出滿足條件不等式組的線性可行域，如下圖所示：因?yàn)?，所以，?dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以聯(lián)立，解得，所以，所以.故選：D.5.非直角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）條件A充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】分析由“”能否推出“”，再分析由“”能否推出“”，根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷.【詳解】若滿足，，由余弦定理可得，此時(shí)，，又，所以“”不能推出“”，所以“”不是“”的充分條件，若滿足，，則，所以，又，所以，所以“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要條件，故選：D.6.在中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段（不含端點(diǎn)）內(nèi)的任意一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的定義和平面向量基本定理確定的關(guān)系和范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段（不含端點(diǎn)）內(nèi)的任意一點(diǎn)，所以可設(shè)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以，，，，所以A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）

A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察圖象確定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和特殊點(diǎn)的取值判斷各選項(xiàng).【詳解】觀察函數(shù)圖象可得該函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由圖象可得，對(duì)于函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，A錯(cuò)，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，與圖象不符，故C錯(cuò)誤，對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，與圖象不符，故D錯(cuò)誤，對(duì)于函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，且，與圖象基本相符，B正確，故選：B8.如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①異面直線與直線所成角的大小為定值；②二面角的大小為定值；③若Q是對(duì)角線上一點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為；④若R是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線不可能平行．其中真命題有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面,故，異面直線與直線的所成的角為定值，①正確；對(duì)于②，平面即為平面，平面與平面所成的二面角為定值，故二面角為定值，②正確；對(duì)于③，將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，平面圖如下，過(guò)點(diǎn)做，，,此時(shí)，的值最小.由題可知，,,，則，，故,又，故的最小值為，故③正確.對(duì)于④，在正方體中易證平面，設(shè)，則即為二面角的平面角，又正方體邊長(zhǎng)為1，故，則,由余弦定理得，故，同理,故在上必然存在一點(diǎn)，使得二面角為，即平面平面，平面與平面的交線為，則，過(guò)點(diǎn)作的垂線.此時(shí)平面，又平面，故.故④錯(cuò)誤.故選：C.9.已知依次組成嚴(yán)格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.依次可組成等差數(shù)列 B.依次可組成等差數(shù)列C.依次可組成等差數(shù)列 D.依次可組成等差數(shù)列【答案】B【解析】【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，此時(shí)依次組成嚴(yán)格遞增的等差數(shù)列，則依次組成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，兩式平方相加得，則，故，所以，所以，與題意矛盾，所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，則為等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.10.記．對(duì)數(shù)列和U的子集T，若，定義；若，定義．則以下結(jié)論正確的是（）A.若滿足，則B.若滿足，則對(duì)任意正整數(shù)C.若滿足，則對(duì)任意正整數(shù)D.若滿足，且，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義直接計(jì)算，即可判斷A，舉反例判斷B錯(cuò)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式以及放縮法判斷C，D.【詳解】因?yàn)?，所以，A錯(cuò)，取，，則，，所以，B錯(cuò)，因?yàn)?，，所?因此，，C錯(cuò)，若是子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，，.于是，，進(jìn)而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，從而，故，所以，即.所以D對(duì)，故選：D.【點(diǎn)睛】對(duì)于數(shù)列新定義問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解新定義，再根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算；本題的難點(diǎn)是利用放縮法證明不等式，放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列的性質(zhì).非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．11.法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（Monge，）發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．若某橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程，可得出關(guān)于的等式，即可求得正數(shù)的值.【詳解】由已知可得橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，所以，，，.故答案為：.12.的展開(kāi)式中，若只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則_________，的系數(shù)為_(kāi)________．【答案】①.10②.45【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)可求得，再求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的系數(shù)等于2，即可求出答案.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為.故答案為：10；45.13.在中，，點(diǎn)D，E分別在線段上，，°，則_________，的面積等于_________．【答案】①.；②..【解析】【分析】在中，利用正弦定理求得和，再利用三角形面積公式直接求出的面積.【詳解】在中，，點(diǎn)D，E分別在線段上，，所以，.因?yàn)?，所以，所以?在中，,，,.由正弦定理得：,即.因?yàn)?，所?.所以的面積為.故答案為：；.14.用數(shù)字1，2，3，4，5給3名男生和2名女生隨機(jī)地編學(xué)號(hào)，則男生和女生的學(xué)號(hào)都不相鄰的編法有_________種（用數(shù)字作答）；記隨機(jī)變量，其中X，Y分別為男生、女生的學(xué)號(hào)之和，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望_________．【答案】①.12②.3【解析】【分析】先考慮男生的編號(hào)方法，再考慮女生的編號(hào)方法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求編法數(shù)即可，由條件求出隨機(jī)變量的分布列再由期望公式求其期望.【詳解】由已知男生的編號(hào)為1，3，5，女生的編號(hào)為2，4，用1，3，5給男生編號(hào)有種編號(hào)方法，用2，4給女生編號(hào)有種編號(hào)方法，所以滿足條件的編號(hào)方法有種，由已知隨機(jī)變量的取值有，，，，，，，，所以，故答案為：12；315.已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有_________個(gè)零點(diǎn)；記函數(shù)的最大值為，則的值域?yàn)開(kāi)________．【答案】①.2②.【解析】【分析】令，分，討論，求出函數(shù)的零點(diǎn)，即可得解；令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，令，分別作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)；令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，如圖，分別作出函數(shù)和的圖象，由圖可知，函數(shù)的最大值為，即的值域?yàn)?故答案為：2；.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題及分段函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想.16.已知平面向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由兩邊同時(shí)平方可求的最小值，再根據(jù)向量投影定義求向量在向量方向上的投影的最小值.【詳解】因，所以，所以，又，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀椋?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，故向量在向量方向上的投影的最小值為，故答案為：.17.已知點(diǎn)F為雙曲線的左焦點(diǎn)，A為直線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作的垂線交于點(diǎn)B，且B恰為線段的中點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則該雙曲線的離心率大小為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在直線上，求得的坐標(biāo)，結(jié)合為線段的中點(diǎn)，求得，利用內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，求得，求得，根據(jù)離心率為，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，由題意知，點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在直線上，可得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以，解得，所以，則，因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑為，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，所以離心率為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共4分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，試判斷的形狀．【答案】（1）.（2）是正三角形.【解析】【分析】（1）運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期公式可求得答案；（2）由（1）求得，再運(yùn)用余弦定理求得，由此可判斷的形狀．【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)，．∴函數(shù)的最小正周期為．【小問(wèn)2詳解】解：，，所以解得．又，，即．是正三角形．19.如圖，已知三棱臺(tái)中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在上，，，，M，N分別為、的中點(diǎn)．

（1）證明：直線平面；（2）若，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由，分別為、的中點(diǎn)，所以，從而可獲得證明；（2）由（1），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的大小，此時(shí)需得過(guò)點(diǎn)與平面的距離，然后再解三角形即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，因?yàn)椋謩e為、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故直線平面.

【小問(wèn)2詳解】由（1）知，只需要求直線與平面所成角的大小，過(guò)作交于，連，，所以，所以四點(diǎn)、、、共面，因?yàn)樵谌馀_(tái)中，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在上，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，即平面，在直角三角形中，，，所以，，在直角三角形中，，則，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，同樣可證平面，且，，所以，所以到平面的距離等于，故即為所求，在中，，故，即直線與平面所成角的大小為，從而直線與平面所成角的大小.

20.在數(shù)列中，，且對(duì)任意的，都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，定義集合A的長(zhǎng)度為．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若關(guān)于x不等式的解集A，求集合A的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列結(jié)合累加法即可求通項(xiàng)；(2)根據(jù)不等式特點(diǎn)，巧用作差轉(zhuǎn)換成高次不等式求解.【小問(wèn)1詳解】，，所以，，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，即就是，，，，，即，根?jù)數(shù)軸標(biāo)根法可知不等式的解集為或或或，集合A的長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】數(shù)列求通項(xiàng)分方法有構(gòu)造等比或等差數(shù)列法，累加法，累乘法等.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，焦距為2，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)滿足軸，．

（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)的直線交橢圓C于A，B（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，直線分別交直線于M，N，記，求的最小值．【答案】（1）橢圓C的方程為；（2）的最小值為.【解析】【分析】(1)由條件結(jié)合橢圓的定義列出的方程，解方程可得橢圓C的方程；(2)由條件結(jié)合設(shè)而不求法求出表達(dá)式，再求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)檩S，焦距為2，所以，，又，所以，，所以橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】由已知可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)可得，所以，化簡(jiǎn)可得，所以，，，又的方程為，與直線聯(lián)立可得，所以，的方程為，與直線聯(lián)立可得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以因，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且時(shí)，，，，所以，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線的綜合問(wèn)題的解決一般利用設(shè)而不求法解決，必要時(shí)考慮分類