數(shù)學(xué)建模中的差分法

差分方程模型一差分方程1差分：設(shè)函數(shù)，記為，當(dāng)t取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列，則差稱為函數(shù)的差分，也稱一階差分，記為，即二階差分同理，可定義三階差分等。二階及二階以上的差分稱為高階差分。差分的性質(zhì)：2差分方程：含有未知函數(shù)及表示未知函數(shù)的幾個(gè)時(shí)期值的符號(hào)的方程。如3差分方程的階方程中含未知函數(shù)附標(biāo)的最大值與最小值的差數(shù)。不同形式的方程可互相轉(zhuǎn)化。4差分方程的解如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩端恒等，則稱此函數(shù)為該方程的解。例一階線性方程有解類似于微分方程可定義初值條件，特解等。二差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性1對(duì)于一階線性常系數(shù)差分方程滿足方程的解，稱為上方程的平衡點(diǎn)。即平衡點(diǎn)為由于方程（1）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題可轉(zhuǎn)化為下面方程零點(diǎn)的穩(wěn)定性。方程（2）的解可表示為可得到下面的穩(wěn)定性結(jié)論。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程（2）的平衡點(diǎn)（零點(diǎn)）是穩(wěn)定的，從而方程（1）的平衡點(diǎn)穩(wěn)定。對(duì)于n維向量常數(shù)矩陣A構(gòu)成的方程組稱其為一階常系數(shù)線性齊次差分方程組。結(jié)論1若r(壤A)稿<1，則酬其平燈衡點(diǎn)沃是全遍局漸辰近穩(wěn)鬼定；若r(佳A)>干1，則潑其平隱衡點(diǎn)館是不革穩(wěn)定禁的；若r(蛇A)=匠1，穩(wěn)朱定性故不確逆定。A的特著征根局的集賽合稱為累矩陣A的譜回，稱為矩副陣A的譜惰半徑豪。2對(duì)于悉二階鄰線性奸常系饞數(shù)差律分方功程平衡果點(diǎn)為為了義得到奸（4）零智點(diǎn)的傻穩(wěn)定賴性我們最求解悼方程月（4）。寫出動(dòng)特征篇方程解出田特征火值通解登為其中差常數(shù)順由梨初值搞條件纖確定課。當(dāng)且愉僅當(dāng)時(shí)，妨方程菠（4）的貼平衡起點(diǎn)是催穩(wěn)定網(wǎng)的。結(jié)論2非齊職次線擔(dān)性方防程（5）的撈穩(wěn)定警性可屠轉(zhuǎn)化供為齊棚次方程（4）來球研究伐。對(duì)于n階線范性方比程平筑衡點(diǎn)的穩(wěn)定嚴(yán)的條堂件是足特征臨根3一階潛非線任性差疼分方興程平衡撓點(diǎn)揚(yáng)通路過求抵解方鬧程而得裂到。研究增穩(wěn)定哥性的玩方法住之一言是研仔究其些對(duì)應(yīng)飲的線捕性部股分的沉穩(wěn)定襖性。將方輩程（6）的持右端駛在蔑點(diǎn)作例泰勒尸展開瞇只取游一次狀項(xiàng)，旗（6）近驚似為也是治（7）平咽衡點(diǎn)穩(wěn)。當(dāng)結(jié)論3時(shí)，赤方程槍（6）與匙（7）平衡鈴點(diǎn)的讓穩(wěn)定床性相劃同。結(jié)論4當(dāng)時(shí)，轎方程奏（7）平厭衡點(diǎn)丙是穩(wěn)米定的鉗；當(dāng)時(shí)，池方程威（7）平鑄衡點(diǎn)僻是不擠穩(wěn)定旱的。三沃常跑微分楊方程旱向差房誠分方啊程轉(zhuǎn)虹化（故數(shù)值遙解）1穩(wěn)Eu扇le根r方法求初臟值問政題的您近似溫解。只要六給定嘗就可威求得先把抽自變姻量所米在的鈔區(qū)間n等分難；例1從采出館發(fā)并耕取欲，求兇下列祥初值蠻問題的近碑似解昌。解繼續(xù)幼下去釋，自藍(lán)變量廳使用屯等間劣隔值濾，并頸生成本其n個(gè)值靜，令步數(shù)n可任栗意大拋，但n太大河，會(huì)吵有誤曾差積視累。優(yōu)點(diǎn)櫻：容中易編壤程計(jì)拆算。例2從慣出眉發(fā)并腔取膏，求鍛下列純初值爛問題的近基似解等。解解Ma爐lt子hu潮s模型的離源散形半式例3對(duì)于鴿方程閑組的勸情形罰，Eu脹le暖r方法符同樣這可用褲。先把驗(yàn)自變輛量所距在的橋區(qū)間n等分阿；步數(shù)n可任迫意大化，但n太大食，會(huì)獵有誤升差積變累。對(duì)捕炮食模說型用Eu主le僚r法求聞出前永三次刪逼近傻，初蒙始條假件為解第一屑組點(diǎn)騙：第一玩組點(diǎn)首：第二籃組點(diǎn)托：第三哲組點(diǎn)腹：繼續(xù)庫下去吧，就壇可生相成數(shù)蹈值解組表顏。如果某方程性組為馬自治瓦系統(tǒng)碌，在雕相平伍面上貸就可膚得到近似芒的軌策線圖協(xié)。上機(jī)濟(jì)練習(xí)1：對(duì)捕禿食模凱型用Eu辯le顧r法，志在相早平面教上畫棗出軌段線的講近似汽圖，辛觀察疾其變谷化情疑況。2Ru溉ng跪e-音ku棍tt沖a型方鋪法也是出用來誤求初庫值問他題的徒近似耍解，哀但比Eu每le澆r方法仰收斂嚷更快至。先把經(jīng)自變杯量所個(gè)在的緊區(qū)間n等分氧；Eu灣le熱r方法常取單步輔方法眠。四噸差頂分方槳程模戰(zhàn)型舉怕例1差分許形式Lo仁gi毀st治ic模型離散侍化變形令b=r+絹11）平鑒衡點(diǎn)序及其鑼穩(wěn)定夾性求平鵝衡點(diǎn)紛：平衡朋點(diǎn)為根據(jù)殿穩(wěn)定授的條躺件當(dāng)b<抬1，只毛有一椒個(gè)穩(wěn)駛定的沃平衡么點(diǎn)，當(dāng)1<那b<錘3，納變贏成不輪穩(wěn)定回的，浙而貝成取為穩(wěn)滲定的棉，當(dāng)b>昆3時(shí)，吊是良不穩(wěn)選定的芒平衡尤點(diǎn)。2）數(shù)績值計(jì)閃算（揮上機(jī)狂練習(xí)2）初值鄭取b道=1熄.7，2.幻玉6，3.哨3，3.驅(qū)45，3.柿55，3.股57k時(shí)=丟1,提2,準(zhǔn)…,尚10鬼0觀察宗的變遵化趨瞎勢(shì)。出現(xiàn)因倍周嗚期收貢斂現(xiàn)漿象。一般及地，描一階猾自治州的非稅線性摧差分茶方程3）混樸沌與漆分岔若x*滿足則稱x*為不殲動(dòng)點(diǎn)磚，1-周期杠點(diǎn)。若x*滿足則稱x*為2-周期唯點(diǎn)。4-周期互點(diǎn)，8-周期染點(diǎn)等忽，倍縫周期臣分岔驚。練習(xí)匙：競(jìng)句爭(zhēng)獵攤獸模娃型斑點(diǎn)往貓頭洽鷹和煉紅隼勻在其懷棲息夠地為立生存奔而斗齊爭(zhēng)。生假定噸沒有溪其他竟種群防存在定的情遙況下挖，每勤個(gè)單沒種群預(yù)都可滋以無蝴限地天增長俊，即勢(shì)在一庸個(gè)時(shí)倒間區(qū)盾間里區(qū)（如格一天飼）其揪種群膚量的綠變化伍與該輕時(shí)間強(qiáng)區(qū)間創(chuàng)開始宗時(shí)的垂種群屠量成技正比援。而夫第二大種群洽的存賭在降低恐了另領(lǐng)一種歌群的在增長衫率。濕假定纖這種更增長怨率的前減少漂與兩倍種群警的數(shù)俯量之辦積成級(jí)正比照。試建初立數(shù)待學(xué)模吳型考伴察兩惱種群渴的演贊化規(guī)茶律。一抖建炸立模湊型根據(jù)匹題意扭，建思立差資分方縱程組二押模勁型求曠解求平好衡點(diǎn)在平佳衡點(diǎn)風(fēng)處兩養(yǎng)種群飄的種許群量爆不會(huì)傾發(fā)生蟻?zhàn)兓瘽L。即如獨(dú)果一另開始模它們賭數(shù)量慈為15槽0和20遍0時(shí)，議那么京每天霜數(shù)量廚都保簡持不驚變。數(shù)值權(quán)計(jì)算膚在平紗衡點(diǎn)慘附近江的情叮形貓頭鷹隼情形1151199情形2149201情形31010xyxyxy115119911157.31188.4821221.05113.182151.15198.6012159.12185.7322240.2597.033151.36198.1413161.40182.3423264.9779.574151.64197.6014164.25178.1824296.8861.275152.00196.9615167.83173.1025338.0643.276152.49196.1716172.34166.9326391.0527.007152.05195.2017178.04159.4727458.7013.988153.79194.0018185.26150.5328544.035.359154.71192.5319194.42139.9129649.911.1310155.87190.7220106.11127.4830779.170.00情形1xyxyxy114920111142.87212.002192.88325.632148.85201.4012141.16215.022281.21326.833148.64201.8613139.04218.822367.98412.754148.37202.4114136.42223.622453.52480.455148.01203.0715133.20229.692538.51573.166147.55203.8816129.24237.412624.14700.977146.98204.8817124.41247.272712.05877.418146.26206.1218118.53259.93283.871119.59145.37207.6619111.42276.29290.311446.610144.25209.5720102.92297.6130-0.081879.7情形2xyxyxy110101145.7595.942128.61565.92211.912.81250.51115.942218.14703.32314.1316.341354.75139.01239.01888.80416.7220.771458.09165.49242.801139.4519.7226.311560.10195.91250.171474.9623.1433.171660.34231.1426-0.041916.8727.0141.581758.47272.5827831.2851.811854.22322.4928935.9264.111947.58384.26291040.8078.742038.81462.9730情形3三皂結(jié)逃論對(duì)初剃始點(diǎn)櫻極其求敏感脊，這百樣的浩平衡赤點(diǎn)是托不穩(wěn)話定的憤。棲息寬地共品有35快0頭貓友頭鷹矮和隼畏。1）如脈果有15秩0頭貓餓頭鷹思，那糞么我奔們預(yù)總測(cè)貓頭綱鷹永漏遠(yuǎn)停撇留在晌這個(gè)寨數(shù)量雁上。2）如枕果從滋棲息庫地移用走一趨頭貓談?lì)^鷹賢，那出么我們另預(yù)測(cè)突貓頭巴鷹將撞會(huì)滅懇絕。3）如擔(dān)果在示棲息桌地安攔置15伙1頭貓膽頭鷹陳，那么我訂們預(yù)腦測(cè)貓鈴頭鷹忙將會(huì)炭無限乘增