常微分方程第次課

常微分方程主講人：劉祚秋副教授教材及參考書

教材：

常微分教程，丁同仁、李承治編，高等教育出版社參考書：1.《常微分方程》（第三版），

王高雄，周之銘，朱思銘等，高等教育出版社。2.《常微分方程基礎(chǔ)》，C.HenryEdwards等，機(jī)械工業(yè)出版社；3.《常微分方程講義》，王柔懷、伍卓群編，人民教育出版社；1如何建立微分方程（方程組）？2如何求解常微分方程（方程組）？3微分方程的基本理論：解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性和幾何意義？4初值問題和邊值問題主要內(nèi)容本課程包括哪些內(nèi)容？目的：利用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識(shí)，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的一些最重要也是最基本的微分方程問題。第一章基本概念（掌握）第二章初等積分法（掌握）第三章存在和唯一性定理（了解）第四章奇解（了解）第五章高階微分方程組（了解）第六章線性微分方程組（掌握、重點(diǎn)）教材內(nèi)容及學(xué)時(shí)安排考核方式成績考核：平時(shí)作業(yè)（20%），考勤（15%）、課堂討論（5%），期末考試（閉卷考試、60%，）（作業(yè)、考勤、討論成績期末考前給出）答疑時(shí)間：課后或到辦公室（工學(xué)院B304H）本次課程主要內(nèi)容1、常微分方程的發(fā)展簡史2、什么是微分方程？3、微分方程一些應(yīng)用常微分方程是一門具有悠久歷史的學(xué)科，幾乎與微積分同時(shí)誕生于1676年前后，至今已有300多年的歷史了。在常微分方程發(fā)展的初期階段，人們主要是針對(duì)實(shí)際問題提出的各種方程，用積分的方法求其精確的解析表達(dá)式，這就是人們常說的初等積分法。這種研究方法一直延續(xù)到1841年前后，其歷史有160多年。促使人們放棄這一研究方法的原因，歸結(jié)到1841年劉維爾(Liouville1809-1882)的一篇著名論文,他證明了大多數(shù)常微分方程不能用初等積分法求解。常微分方程發(fā)展簡介在劉維爾這一工作之后，常微分方程進(jìn)入了基礎(chǔ)定理和新型分析方法的研究階段，其主要代表性工作是：

1.19世紀(jì)中葉，主要由柯西等人完成的奠定性工作：解的存在唯一性定理，以及拉格朗日等人對(duì)線性常微分方程的系統(tǒng)性研究工作。

2.19世紀(jì)末，20世紀(jì)初，由龐卡萊和李雅普諾夫分別創(chuàng)立了常微分方程定性理論和穩(wěn)定性理論，這些工作的主要特點(diǎn)是不用求出方程的解，可直接從方程本身討論其解的性質(zhì)，這代表了一種嶄新的研究非線性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影響到今天常微分方程發(fā)展簡介常微分方程的應(yīng)用領(lǐng)域常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓的運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。內(nèi)容創(chuàng)及研句究方尋法經(jīng)典田部分表：以數(shù)僅學(xué)分繪析、鍵高等蔑代數(shù)提為工命具，皆以求秒微分歲方程雖的解恨為主垃要目綿的現(xiàn)代哥部分司：主要坦是用梢泛函押分析踩、拓姥撲學(xué)就等知獄識(shí)來己研究限解的歲性質(zhì)研究幻玉方法豬：解析攪方法范、京幾何詢方法謠、數(shù)島值方策法解決孤科學(xué)里問題堵的過讓程數(shù)值妄計(jì)算知方法實(shí)際鉗問題數(shù)學(xué)駱模型數(shù)值煮問題程序擱設(shè)計(jì)數(shù)值銷解解析刪解第一孤步注：建立甚實(shí)際叉問題智的數(shù)裕學(xué)模臺(tái)型一受般是糾比較怨困難西的，保既需囑要熟釀悉與貴問題認(rèn)有關(guān)欣的自煮然規(guī)菠律，起又需暑要有捆一定展的數(shù)彈學(xué)知讀識(shí)。假設(shè)什么天是微盜分方竹程？建立落數(shù)學(xué)稿模型,當(dāng)問固題涉繡及變鳳量的京變化材率時(shí),該模陳型就喂是微尤分方質(zhì)程.聯(lián)系朵著自虧變量,未知煙函數(shù)陪及其系導(dǎo)數(shù)掩的等泡式.微分滴方程濟(jì)理論降及方控法是廟研究壯自然膜規(guī)律娛和社射會(huì)規(guī)米律的燥最為秋基本雖的數(shù)鋼學(xué)理礙論和遲方法.什么惕是微夫分方虎程？粒它是籌怎樣眠產(chǎn)生還的？客觀饑現(xiàn)實(shí)柿世界兄運(yùn)動(dòng)過剃程中域量與餃量之間缺的關(guān)明系簡單濾問題想，直遙接寫槐出表扎達(dá)式升：函數(shù)杠關(guān)系驗(yàn)式—數(shù)學(xué)窄分析無中研岸究稍復(fù)鍵雜些葵的問授題，帳往往褲不能剝直接汗寫出藍(lán)函數(shù)頌表達(dá)診式，倦但容鋪易建自立這緞些變彼量和財(cái)它們招的導(dǎo)銷數(shù)（燭或微意分）轟的關(guān)遙系式紙：微齡分方烏程微分喇方程懲：聯(lián)系國著自坐變量選、未互知函管數(shù)以知及未該知函米數(shù)的優(yōu)導(dǎo)數(shù)(或微廳分）憑的關(guān)冰系式,其中戚未知場(chǎng)函數(shù)翅的導(dǎo)禁數(shù)或缸微分守是不倒可缺少的任。如趙果在猛微分口方程乏中，課自變澇量個(gè)林?jǐn)?shù)只翻有一洋個(gè)，稻我們字稱這種繡微分組方程居為常微譜分方碼程(o疼rd恨in歡ar怕y她di銹ff茄er濱en秒ti煌al額e碑qu哨at賽io或ns節(jié))微分挑方程棗的應(yīng)券用自然醋科學(xué):物理赤、化閑學(xué)、熊生物搖、工忠程、肥航空牛航天島、醫(yī)吵學(xué)等藥學(xué)科工領(lǐng)域菜。社會(huì)屆科學(xué):經(jīng)濟(jì)、金融慰等領(lǐng)服域例如惡：牛裳頓第醋二定架律、爭萬有贏引力鋤定律潑、機(jī)可械能突守恒桐定律墓，能卵量守飽恒定挎律、瓶人口宮發(fā)展講規(guī)律佛、生辟態(tài)種角群競(jìng)店?duì)?、遼疾病樸傳染蹈、遺銳傳基稼因變田異、冬股票壯的漲休伏趨勸勢(shì)、蔑利率竹的浮職動(dòng)、漫市場(chǎng)廟均衡脫價(jià)格歸的變觀化等垮。例1鐳的館衰變回規(guī)律微分油方程遭舉例已知鄭鐳的催衰變謎速律讓與其看質(zhì)量鋪成正棕比，辱設(shè)t＝0時(shí)刻宿，有克鐳便，試業(yè)確定恐時(shí)刻t鐳剩且余的廣質(zhì)量解:設(shè)t時(shí)刻敞鐳的漢質(zhì)量趟為R（t）即鐳開元素軟的存綢量是扒指數(shù)釣規(guī)律驅(qū)衰減孩的.將某糖物體神放置蕉于空糟氣中,在時(shí)脆刻時(shí),測(cè)得狗它的浸溫度慈為10分鐘暈后測(cè)哥量得放溫度休為試確涼定此物體的濃溫度和時(shí)沸間的關(guān)盛系.例2物理啟冷卻照過程優(yōu)的數(shù)磁學(xué)模叮型Ne蘋wt蘆on冷卻走定律:1.熱量負(fù)總是恒從溫抱度高仍的物曾體向俗溫度知低的攜物體與傳導(dǎo);2.在一迎定的舞溫度替范圍摸內(nèi),一個(gè)渣物體報(bào)的溫孩度變案化速攤度與汽這一瞇物體媽的溫比度與唱其所遍在的滲介質(zhì)斷的溫扶度之森差成貪正比.設(shè)物燃體在割時(shí)刻的溫性度為根據(jù)堅(jiān)導(dǎo)數(shù)牲的物玩理意腿義,則溫度戰(zhàn)的變轉(zhuǎn)化速溪度為由Ne白wt盲on冷卻判定律,得到其中為比童例系膽數(shù).此數(shù)霧學(xué)關(guān)柏系式極就是照物體堆冷卻岔過程評(píng)的數(shù)平學(xué)模閑型.注意:此式劫子并米不是夠直接線給出和之間道的函霜數(shù)關(guān)才系,而只預(yù)是給泊出了概未知叼函數(shù)百的導(dǎo)杠數(shù)與鍛未知病函數(shù)書之間糾的關(guān)辰系式。如何把求解覺？解:“姆川潘巴?，F(xiàn)象趴”：飛熱牛督奶比侄冷牛申奶先雨結(jié)冰贏？由(2梳)就可救以求以任何緊時(shí)刻t物體襪的溫相度u的數(shù)宗值：，用這一結(jié)果可解釋實(shí)際問題。有k和c兩個(gè)涉未知宣數(shù)待嬌確定拳。兩個(gè)榮已知爽條件謀：式（1）是掘一階狠線性闖微分樓方程鳳，解才之上例男求解慘結(jié)果貪的圖子例，用這一結(jié)果可解釋實(shí)際問題。模型駝建立模型械求解模型擠應(yīng)用回顧和整個(gè)攔求解胡過程堪：推而秩廣之次！“姆壇潘巴業(yè)現(xiàn)象泉”：移熱牛鞋奶比絲式冷牛忍奶先止結(jié)冰阻？例3史R廣-L陵-C電路如圖墊所示登的R-迫L-糖C電路.它包睜含電嚴(yán)感L,電阻R,電容C及電框源e(茅t)債.設(shè)L,枯R,惑C均為膜常數(shù),e炭(t拜)是時(shí)物間t的已仁知函潤數(shù).試求出當(dāng)開異關(guān)K合上炭后,電路巷中電盛流強(qiáng)淘度I與時(shí)幻玉間t之間睜的關(guān)況系.電路揪的Ki廢rc糧hh行of挪f第二柜定律:設(shè)當(dāng)算開關(guān)K合上浪后,電路喘中在徐時(shí)刻t的電齡流強(qiáng)繁度為I(自t)聯(lián),則電違流經(jīng)過劃電感L,電阻R和電抄容的襖電壓擇降分績別為其中Q為電嚇量,于是窮由Ki參rc砌hh柄of斃f第二每定律,得到因?yàn)橛谑莿虻玫竭@就威是電謠流強(qiáng)壓度I與時(shí)牢間t所滿湯足的等數(shù)學(xué)仿關(guān)系鈔式.解:在閉纖合回蓮路中,所有檢支路職上的畢電壓紋的代呢?cái)?shù)和袍為零.例4傳染海病模娃型:解:根據(jù)克題設(shè),每個(gè)濃病人踩每天披可使由于子病人掘總?cè)吮贁?shù)為所以去每天找共