對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下課件

第二十一章力法第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念第二節(jié)力法的基本概念第三節(jié)超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)第四節(jié)力法典型方程第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和舉例第六節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算和最后內(nèi)力圖的校核第七節(jié)對(duì)稱(chēng)性的利用第八節(jié)支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算

第九節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的特性掌握超靜定結(jié)構(gòu)概念，能確定超靜定次數(shù)掌握力法基本原理掌握力法解一次超靜定梁和剛架熟悉對(duì)稱(chēng)性的利用主要任務(wù):第一節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)的概念超靜定結(jié)構(gòu)是工程實(shí)際中常用的一類(lèi)結(jié)構(gòu)。前已述及，超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力僅用靜力平衡條件不能全部求出。如圖所示的連續(xù)梁，于是也就不能進(jìn)一步求出其內(nèi)力。所以，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算必須考慮結(jié)構(gòu)的位移條件。常見(jiàn)的超靜定結(jié)構(gòu)有：超靜定梁（圖a），超靜定剛架（b），超靜定桁架（圖c），超靜定拱（圖d），超靜定組合結(jié)構(gòu)（圖e），鉸接排架（圖f）等。第二節(jié)力法的基本概念下面以圖a所示超靜定梁為例，來(lái)說(shuō)明力法的基本概念。一、力法的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量圖a所示超靜定梁，具有一個(gè)多余約束，為一次超靜定結(jié)構(gòu)。若將支座B作為多余約束去掉，代之以多余未知力X1，則得到圖b所示的靜定結(jié)構(gòu)。b基本體系、c基本結(jié)構(gòu)。如果設(shè)法求出多余未知力X1，那么原結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題就可轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題。因此，多余未知力是最基本的未知力，稱(chēng)為力法的基本未知量。二、力法的基本方程用來(lái)確定多余未知力X1的位移條件為：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余未知力共同作用下，在去掉多余約束處的位移Δ1應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等，即

再令表示X1為單位力即時(shí)，點(diǎn)B沿X1方向上的位移，則有，于是上式可寫(xiě)為

這就是一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程。

現(xiàn)用圖乘法計(jì)算位移和。首先，分別繪出M及荷載FP單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)的彎矩圖（圖a、b）。由圖乘法求得代入力法方程得：多余未知力求出以后，即可按靜力平衡條件求得其反力及內(nèi)力。最后的彎矩圖c）可按疊加原理由下式求得：綜上所述可知，力法是以多余未知力作為基本未知量，取去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)基本體系去掉多余約束處的已知位移條件建立基本方程，將多余未知力首先求出，而以后的計(jì)算即與靜定結(jié)構(gòu)無(wú)異。它可用來(lái)分析任何類(lèi)型的超靜定結(jié)構(gòu)。第三節(jié)超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)是指超靜定結(jié)構(gòu)中多余約束的個(gè)數(shù)。通常，可以用去掉多余約束使原結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)的方法來(lái)確定超靜定次數(shù)。如果原結(jié)構(gòu)在去掉n個(gè)約束后，就成為靜定的，則原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)就是n次。在超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有以下幾種：

1.去掉一根支座鏈桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。

2.拆除一個(gè)單鉸或去掉一個(gè)鉸支座，相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束。

3.切斷一根梁式桿或去掉一個(gè)固定端支座，相當(dāng)于去掉三個(gè)約束。

4.在剛性桿上或固定支座上加一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。由于去掉多余約束的方式的多樣性，所以，在力法計(jì)算中，同一結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有各種不同的形式。例如圖a所示結(jié)構(gòu)，基本結(jié)構(gòu)圖b，也圖c。但應(yīng)注意，基本結(jié)構(gòu)必須是幾何不變的，因此，某些約束是絕對(duì)不能去掉的。例如對(duì)于上述結(jié)構(gòu)中任一根豎向支座鏈桿就不能去掉，否則將成為瞬變體系（圖d）需要指出，對(duì)于同一結(jié)構(gòu)，可用各種不同方式去掉多余約束而得到不同的靜定結(jié)構(gòu)。但是，無(wú)論哪種方式，所去掉的多余約束的個(gè)數(shù)必然是相等的。第四節(jié)力法典型方程用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法方程，以求解多余未知力。下面以圖a所示三次超靜定剛架為例，說(shuō)明如何建立多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法基本方程。

現(xiàn)去掉支座B的三個(gè)多余約束，并以相應(yīng)的多余未知力X1、X2和X3代替，則基本體系如圖b所示。由于原結(jié)構(gòu)在固定支座B處不可能有任何位移，因此，在基本體系上點(diǎn)B沿X1、X2和X3方向上的相應(yīng)位移Δ1、Δ2和Δ3都應(yīng)為零。圖c、d、e、f為各單位力和荷載FP分別作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，點(diǎn)B沿各多余未知力方向上的位移.根據(jù)疊加原理，可將基本體系應(yīng)滿足的位移條件表示為

這就是求解多余未知力X1、X2和X3所要建立的力法基本方程。其物理意義是基本結(jié)構(gòu)在全部多余未知力和已知荷載共同作用下，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。解力法方程得到多余未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可根據(jù)平衡條件求出，或按下述疊加原理求出彎矩求出彎矩后，也可以直接應(yīng)用平衡條件求其剪力和軸力

第五節(jié)力法的計(jì)算步驟和舉例力法的計(jì)算步驟歸納如下：(1)去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束并代之以多余未知力，選取基本體系。(2)根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和原荷載的共同作用下，在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程。(3)作出基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖，或?qū)懗鰞?nèi)力表達(dá)式，按求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法，計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。(4)解方程，求解多余未知力。(5)作內(nèi)力圖。

例1用力法計(jì)算圖a所示剛架，并作出最后彎矩圖。解(1)選取基本體系此剛架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，選取基本體系圖b所示。(2)建立力法典型方程(3)求系數(shù)和自由項(xiàng)

繪出各單位彎矩圖和荷載彎矩圖如圖c、d、所示。(4)求多余未知力

將系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法典型解得

(5)作內(nèi)力圖梁端彎矩可按計(jì)算，最后彎矩圖如圖所示。例2試計(jì)算圖a所示桁架各桿的軸力。已知各桿的EA為常數(shù)。解

(1)選取基本體系如圖b所示。(2)建立力法典型方程根據(jù)切口兩側(cè)截面沿桿軸向的相對(duì)線位移應(yīng)等于零的位移條件。建立力法典型方程如下：(3)求系數(shù)和自由項(xiàng)分別求出單位力X1=1和荷載單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)所產(chǎn)生的軸力，如圖c、d所示。計(jì)算各系數(shù)和自由項(xiàng)如下

(4)求多余未知力將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程求解，得(5)求各桿的最后軸力由公式求得各桿軸力如圖e所示。例如，求BC桿的最后軸力

第六節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算和最后內(nèi)力圖的校核的一、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第二十章介紹的應(yīng)用單位荷載法計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移是一個(gè)普遍性的方法，它不僅適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)。從力法的基本原理可知，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力共同作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和位移與原結(jié)構(gòu)完全一致。當(dāng)多余未知力被確定之后，或者說(shuō)超靜定結(jié)構(gòu)被求解以后，基本體系就完全代表了原結(jié)構(gòu)，不僅求結(jié)構(gòu)的內(nèi)力如此，求結(jié)構(gòu)的位移也如此。也就是說(shuō)，求原結(jié)構(gòu)的位移問(wèn)題可歸結(jié)為求基本體系的位移問(wèn)題。下面以圖a所示超靜定剛架為例，求結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角。假設(shè)剛架的最后彎矩圖已用力法求出，如圖b所示，它即相當(dāng)于計(jì)算位移時(shí)的實(shí)際彎矩圖?，F(xiàn)欲求結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角（圖21-15c）。利用圖乘法得現(xiàn)欲求結(jié)點(diǎn)C的可在基本結(jié)構(gòu)的C點(diǎn)加一單位力偶M=1，作出單位彎矩圖（圖c）。利用圖乘法得（圖21-15c）。利用圖乘法得

（）這就是利用基本體系求得的原結(jié)構(gòu)中結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角。特別指出：由于原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移并不因所取的基本結(jié)構(gòu)不同而改變，因此，可把其最后內(nèi)力看作是由任意一種基本結(jié)構(gòu)求得的。這樣，在計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移時(shí)，也就可以將所虛擬的單位力加于任一基本結(jié)構(gòu)作為虛擬狀態(tài)。如求結(jié)點(diǎn)C的轉(zhuǎn)角時(shí)，可采用如圖d所示的基本結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地作出單位彎矩圖，則二、最后內(nèi)力圖的校核最后內(nèi)力圖是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的依據(jù)，因此，在求得內(nèi)力圖后應(yīng)該進(jìn)行校核，以保證它的正確性。正確的內(nèi)力圖必須同時(shí)滿足平衡條件和位移條件。下面以圖a所示剛架為例，說(shuō)明內(nèi)力圖的校核方法。

1.平衡條件的校核結(jié)構(gòu)的內(nèi)力應(yīng)滿足平衡條件，是指從結(jié)構(gòu)中截取的任何一部分都應(yīng)滿足平衡條件。一般的作法是截取結(jié)點(diǎn)或桿件，檢查是否滿足平衡條件。例如，在圖21-16a所示剛架中截取結(jié)點(diǎn)B（圖21-16e），有截取結(jié)點(diǎn)B（圖e），再取桿件ABC（圖f)均滿足平衡條件。

2.位移條件的校核只有平衡條件的校核，還不能保證超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖一定正確，因?yàn)槎嘤辔粗κ峭ㄟ^(guò)位移條件求得的，其計(jì)算是否有誤，必須通過(guò)位移條件來(lái)校核。位移條件校核的方法是：根據(jù)最后內(nèi)力圖驗(yàn)算沿任一多余未知力Xi（i=1,2,…,n）方向的位移，看是否與實(shí)際相符。對(duì)于在荷載作用下的剛架，只考慮彎矩的影響，可采用下式校核式中為基本結(jié)構(gòu)在單位力Xi=1作用下的彎矩，M為最后的彎矩。例如，為了校核圖a所示的彎矩圖，可選圖g所示的單位彎矩圖由于在單位力XK=1作用下，只有封閉框格ABED部分產(chǎn)生彎矩=1，因此，得上式說(shuō)明：當(dāng)結(jié)構(gòu)只受荷載作用時(shí)，任何封閉框格的最后彎矩圖的面積除以相應(yīng)剛度后的代數(shù)和應(yīng)等于零。第七節(jié)對(duì)稱(chēng)性的利用在工程中，很多結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的。所謂對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)就是指：（1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對(duì)某一軸線對(duì)稱(chēng)；（2）桿件的截面和材料性質(zhì)也對(duì)此軸對(duì)稱(chēng)。如圖所示的結(jié)構(gòu)都是對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。作用在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上的任何荷載（圖a）都可分解為兩組：一組是正對(duì)稱(chēng)荷載（圖b），另一組是反對(duì)稱(chēng)荷載（圖c）。利用對(duì)稱(chēng)性，可使計(jì)算工作得到簡(jiǎn)化。經(jīng)過(guò)分析得出結(jié)論:(1)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只有對(duì)稱(chēng)的多余未知力存在，而反對(duì)稱(chēng)的多余未知力必為零。也就是說(shuō)，基本體系上的荷載和多余未知力都是對(duì)稱(chēng)的，故原結(jié)構(gòu)的受力和變形也必是對(duì)稱(chēng)的，沒(méi)有反對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力和位移。

(2)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，只有反對(duì)稱(chēng)的多余未知力存在，而正對(duì)稱(chēng)的多余未知力必為零。也就是說(shuō)，基本體系上的荷載和多余未知力都是反對(duì)稱(chēng)的，故原結(jié)構(gòu)的受力和變形也必是反對(duì)稱(chēng)的，沒(méi)有對(duì)稱(chēng)的內(nèi)力和位移。利用上述結(jié)論，可截取對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的一半來(lái)進(jìn)行計(jì)算。下圖為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下奇數(shù)跨半結(jié)構(gòu)的取法。下圖為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載作用下偶數(shù)跨半結(jié)構(gòu)的取法。當(dāng)按上述方法取出半結(jié)構(gòu)后，即可按解超靜定結(jié)構(gòu)的方法繪出其內(nèi)力圖，然后再根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系繪出另外半邊結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。例

利用對(duì)稱(chēng)性，計(jì)算圖a所示剛架，并繪最后彎矩圖。解

此剛架為三次超靜定，且為雙軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，荷載也具有雙軸對(duì)稱(chēng)性，可取如圖b所示四分之一結(jié)構(gòu)計(jì)算。

(1)選取基本體系圖b所示結(jié)構(gòu)為一次超靜定，選取圖c所示的基本體系

(2)建立力法典型方程(3)求系數(shù)和自由項(xiàng)繪出圖及如圖d、e所示。(4)求多余未知力代入力法方程，得(5)繪制最后彎矩圖四分之一結(jié)構(gòu)中各桿桿端彎矩可按

計(jì)算，其彎矩圖如圖f所示，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，繪出最后彎矩圖如圖f所示。第八節(jié)支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算由于超靜定結(jié)構(gòu)具有多余約束，因此，凡能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形的因素都將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)作用下的內(nèi)力時(shí)，力法的基本原理和步驟并沒(méi)有改變，所不同的是力法典型方程中自由項(xiàng)的計(jì)算。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明。例21-8

圖a所示為一等截面梁，已知支座A轉(zhuǎn)動(dòng)角度為支座B下沉位移為，試作該梁的彎矩圖。

解(1)此梁為一次超靜定，取基本結(jié)構(gòu)為懸臂梁，基本體系如圖b所示。(2)建立力法典型方程(3)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)與外因無(wú)關(guān)，其計(jì)算同前，自由項(xiàng)計(jì)算公式為繪出基本結(jié)構(gòu)在作用下的彎矩圖并求出相應(yīng)的反力（圖c），利用位移公式求得(4)求多余未知力將系數(shù)和自由項(xiàng)代