二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值課件

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1求下列函數(shù)的最大值和最小值。1.2.3.4.預(yù)習(xí)檢測(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求閉區(qū)間上二次函數(shù)最值重點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值（1）軸定區(qū)間變（2）軸定區(qū)間定（3）軸變區(qū)間定難點(diǎn)：

數(shù)形結(jié)合、分類討論思想例1.求函數(shù)y=-x2-2x+3在區(qū)間[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=-1∴

-2≤-1≤3∴當(dāng)x=-1時(shí)，y的最大值為f(-1)=4當(dāng)x=3時(shí)，y的最小值為f(3)=-12一、定函數(shù)定區(qū)間問(wèn)題引導(dǎo)下的再學(xué)習(xí)例2、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值yx10-1a＞0解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1（不合題意）當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=

0.5

二、定區(qū)間定軸動(dòng)函數(shù)例2、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值yx10-1a＜0(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1例2、已知函數(shù)y=ax2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1（不合題意）當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=0.5

(2)當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1綜上所述：a=0.5或a=-1yx10-1a＞0yx10-1a＜0解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a⑴當(dāng)a≤0時(shí)y的最大值為f(0)=1-a例3求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

yOx10X=a三、定區(qū)間動(dòng)軸動(dòng)函數(shù)(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)y的最大值為f(a)=a2-a+1

例3求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

Oxy10X=a(3)當(dāng)a≥1時(shí)y的最大值為f(1)=4+a

例3求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

xy10X=a例3求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值.

解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a⑴當(dāng)a≤0時(shí)

y的最大值為f(0)=1-a(2)當(dāng)0＜a＜1時(shí)

y的最大值為f(a)=a2-a+1(3)當(dāng)a≥1時(shí)

y的最大值為f(1)=4+a

yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考1：函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，求a的值.解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a⑴當(dāng)a≤

0時(shí)當(dāng)x=0時(shí)y的最大值為2∴a=-1(2)當(dāng)0＜

a＜1時(shí)當(dāng)x=a時(shí)y的最大值為2∴a=-1（舍去）(3)當(dāng)a≥1時(shí)當(dāng)x=1時(shí)y的最大值為2∴a=2綜上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a課堂檢測(cè)思考2：求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最小值.1）當(dāng)＜時(shí)，y的最小值為f(1)=4+a2）當(dāng)≥時(shí)，y的最小值為f(0)=1-a

2121Oxy10X=a解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a⑴當(dāng)a≤0時(shí)y的最小值為f(1)=4+ay的最大值為f(0)=1-a變題1求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

yOx10X=a完全達(dá)標(biāo)教學(xué)(2)當(dāng)0＜

a＜1時(shí)y的最大值為f(a)=a2-a+11）當(dāng)0＜

a＜時(shí)，y的最小值為f(1)=4+a2）當(dāng)1＞

a≥時(shí)，y的最小值為f(0)=1-a

2121變題1求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

Oxy10X=a(3)當(dāng)a≥1時(shí)y的最大值為f(1)=4+ay的最小值為f(0)=1-a

變題1求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

xy10X=a變題1求函數(shù)y=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最值.

解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=a⑴當(dāng)a≤

0時(shí)y的最大值為f(0)=1-ay的最小值為f(1)=4+a(2)當(dāng)0＜

a＜1時(shí)y的最大值為f(a)=a2-a+11）當(dāng)0＜

a＜時(shí)，y的最小值為f(1)=4+a2）當(dāng)1

＞

a≥時(shí)，y的最小值為f(0)=1-a(3)當(dāng)a≥1時(shí)y的最大值為f(1)=4+ay的最小值為f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方法：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.

（2）當(dāng)x0∈[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)、f(x0）中的較大者是最大值,較小者是最小值；

（1）檢查x0=

是否屬于[m，n]；（3）當(dāng)x0[m，n]時(shí)，f(m)、f(n)中的較大者是最大值，較小者是最小值.課堂小結(jié)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值2O-2xy2-11.分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x－3的最值.(2)(3)(1)R(4)31ymin=-4，無(wú)最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0預(yù)習(xí)檢測(cè)O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①當(dāng)-2≤a<-1時(shí)aymax=-3,ymin=a2+2a-31.分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②當(dāng)-1≤a≤0時(shí)a①當(dāng)-2≤a<-1時(shí)ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-31.分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(1)R(4)③當(dāng)a>0時(shí)a②當(dāng)-1≤a≤0時(shí)①當(dāng)-2≤a<-1時(shí)(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-41.分別在下列各范圍上求函數(shù)y=x2+2x－3的最值.學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求閉區(qū)間上二次函數(shù)最值重點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值（4）定函數(shù)動(dòng)區(qū)間（5）動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間難點(diǎn)：

數(shù)形結(jié)合、分類討論思想例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；10xy–23問(wèn)題引導(dǎo)下的再學(xué)習(xí)例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；10xy234–1（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；問(wèn)題引導(dǎo)下的再學(xué)習(xí)例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；y10x234–1

（3）若x∈[],求函數(shù)f(x)的最值；例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

10xy234–1

（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

10xy234–1（5）若x∈[t，t+2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.tt+2例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；

10xy234–1tt+2例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函數(shù)f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函數(shù)f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函數(shù)f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函數(shù)f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最值.

評(píng)注：例1屬于“軸定區(qū)間變”的問(wèn)題，看作動(dòng)區(qū)間沿x軸移動(dòng)的過(guò)程中，函數(shù)最值的變化，即動(dòng)區(qū)間在定軸的左、右兩側(cè)及包含定軸的變化，要注意開(kāi)口方向及端點(diǎn)情況。10xy234–1tt+2例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1問(wèn)題引導(dǎo)下的再學(xué)習(xí)例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–110xy2–1例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函數(shù)f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在區(qū)間[–1，2]上的最值.評(píng)注：例2屬于“動(dòng)軸定區(qū)間”的問(wèn)題，看作對(duì)稱軸沿x軸移動(dòng)的過(guò)程中,函數(shù)最值的變化,即對(duì)稱軸在定區(qū)間的左、右兩側(cè)及對(duì)稱軸在定區(qū)間上變化情況,要注意開(kāi)口方向及端點(diǎn)情況。10xy2–110xy2–1例3、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，試確定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1函數(shù)f(x)=x2-2x-3在閉區(qū)間[t,t+1](t∈R)上的最小值記為g(t),試寫(xiě)出g(t)的函數(shù)表達(dá)式，并求出g(t)的最小值。解：f(x)=(x-1)2-41)當(dāng)t＞

1時(shí)，g(t)=f(t)=t2-2t-32)當(dāng)t≤

1≤

t+1時(shí)，g(t)=f(1)=-43)當(dāng)1＞

t+1時(shí)，g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t＞

1-40≤

t

≤

1

t2-4

t＜

0∴g(t)min=-4四、定函數(shù)動(dòng)區(qū)間1.求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對(duì)稱軸在x=-的右邊.∴(1)當(dāng)-1<≤a時(shí),即a≥0時(shí),由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=

xyo-1a(2)當(dāng)a<時(shí),即-1<a<0時(shí),

五、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間綜上所述:當(dāng)-1<a<0時(shí),ymax=0當(dāng)a≥0時(shí),ymax=

求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對(duì)稱軸在x=-的右邊.∴(1)當(dāng)-1<≤a時(shí),即a≥0時(shí),由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=

(2)當(dāng)a<時(shí),即-1<a<0時(shí),

axyo-1由二次函數(shù)的圖象可知:ymax=f(a)=0課堂檢測(cè)∵f(x)

在區(qū)間[0,2]上的最小值為

3,∴可分情況討論如下:2.已知函數(shù)

f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2

在區(qū)間[0,2]上有最小值

3,

求實(shí)數(shù)

a

的值.解:由已知

f(x)=4(x

-)2-

2a+2.a2a2(1)當(dāng)≤0,即

a≤0

時(shí),函數(shù)

f(x)

在[0,2]上是增函數(shù).∴

f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)當(dāng)

0<<2,即

0<a<4

時(shí),a2f(x)min=f()=-2a+2.由

-2a+2=3

得:a=-

12

(0,4),舍去.a2(3)當(dāng)≥2,即

a≥4

時(shí),函數(shù)

f(x)

在[0,2]上是減函數(shù).∴

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由

a2-2a+2=