反比例函數(shù)綜合題

反比例函數(shù)綜合題

(1)本題給出了一次函數(shù)$y=-\frac{1}{3}x+1$的圖像與反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖像的交點和一些條件，要求求出這兩個函數(shù)的解析式。根據(jù)題意，可以求出一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點$A(3,0)$和$B(0,1)$，進(jìn)而求出反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點$P(3,2)$。因為點$C$在反比例函數(shù)圖像上，且$ABC$是等邊三角形，所以$C$的坐標(biāo)為$(3,2)$，反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{1}{x}$。(2)本題給出了一次函數(shù)$y=kx+3$的圖像與反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖像的交點$P$，以及點$A$和$\triangleCAP$的面積，要求求出這兩個函數(shù)的解析式和一次函數(shù)圖像上滿足一定條件的點$Q$的坐標(biāo)。根據(jù)題意，可以求出一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點$B(0,3)$和$C(3,0)$，進(jìn)而求出反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點$P(4,-\frac{1}{4})$。因為$PA\perpy$軸，所以點$A(0,-6)$，進(jìn)而求出$AP=4$。根據(jù)$\triangleCAP$的面積可以求出$AC=9$。因為點$P$在一次函數(shù)圖像上，所以$-\frac{1}{4}=4k+3$，解得$k=-\frac{7}{16}$，一次函數(shù)的解析式為$y=-\frac{7}{16}x+3$。設(shè)點$Q(x,kx+3)$，則根據(jù)$\triangleOCB$和$\triangleOCQ$的面積比可以列出方程$\frac{1}{2}\cdot3\cdotx=2\cdot\frac{1}{2}\cdot3\cdot(kx+3)$，解得$x=12$，進(jìn)而求出$Q$的坐標(biāo)為$(12,\frac{33}{4})$。的圖象上，所以1=-2k+b，解得b=3-2k。又因為點B(1,n)在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，所以n=k+b，代入上式得n=3-k。綜上所述，一次函數(shù)的解析式為y=kx+3-2k，反比例函數(shù)的解析式為y=x/。(2)將不等式化簡得(k-1)x+b<0，當(dāng)k-1>0時，不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號方向翻轉(zhuǎn)，得x>(-b)/(k-1)；當(dāng)k-1<0時，不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變，得x<(-b)/(k-1)。綜上所述，當(dāng)k≠1時，滿足不等式的解集為x<(-b)/(k-1)或x>(-b)/(k-1)；當(dāng)k=1時，滿足不等式的解集為x≠-b。(3)當(dāng)y=x(x<0)與正方形EFDG的邊有交點時，交點記為P，且P在反比例函數(shù)y=x的圖象上。設(shè)P的坐標(biāo)為(-a,a')，則有a-a'=-1，且P到原點的距離為1。因為正方形EFDG的邊長為1，所以P到正方形EFDG的距離也為1。因此，P到正方形EFDG四條邊的距離都為1。由此可得，a'的取值范圍為-2≤a'≤0。又因為a-a'=-1，所以a的取值范圍為-1≤a≤1。正方形ABCD的邊長為2，∠B＝90°，點B在點C的正下方，∴C(a，2a－1)，1－2m∵點C(a，2a－1)在雙曲線y＝x(x<0)上，1－2m∴2a－1＝，解得m＝a2a－1，∴雙曲線的解析式為y＝x(x<0)．又∵AB∥x軸，∴A(－2－a，1)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過點A時，有1＝－(－2－a)，2解得a＝0或a＝－4，舍去a＝0的情況，∴a＝－4；②設(shè)交點為點F，由題意可知，點F在雙曲線y＝x(x<0)上且在線段AE上，∴2a－1＝－a，解得a＝13或a＜0，又因為直線y＝2x＋2與線段AB有交點，∴2a＋1＞2，解得a＞\frac{1}{2}，綜上所述，a的取值范圍為\frac{1}{2}<a<0.(1)將直線y=2x+4代入反比例函數(shù)y=k/x中，得k=-6，∴反比例函數(shù)為y=-6/x，將A(-3,a)代入反比例函數(shù)中，得a=2，∴A(-3,2)，B未知；(2)將直線y=m代入反比例函數(shù)y=-6/x中，得x=-6/m，將x=-6/m代入直線y=2x+4中，得y=-12/m+4，設(shè)點M(x,-12/m+4)，則M在直線AB上，即M的坐標(biāo)滿足y=-6/x，∴-12/m+4=-6/x，解得x=3/m，又因為M在反比例函數(shù)y=-6/x上，所以-12/m+4=-6/(3/m)，解得m=6/5，∴直線y=6/5與直線AB相交于點M(3/2,8/5)，與反比例函數(shù)y=-6/x的圖象相交于點N(3/2,-4/5)，且MN=4，∴4=8/5-(-4/5)=12/5，解得m=15/2.解：（1）由直線y=2x+2與反比例函數(shù)y=x的圖象相交于點M(1,4)，可得k=x*y=4。因此，反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=4/x。（2）要使四邊形PAHM為平行四邊形，需要滿足PA=MH=4，即點P在直線y=2x+6上。因此，點P的坐標(biāo)為(0,6)。（3）設(shè)點Q(x,0)，則QN的長度為|1-4/x|，QM的長度為√[(x-1)2+16]。要使QM+QN最小，需要使|1-4/x|+√[(x-1)2+16]最小。由于√[(x-1)2+16]≥4，因此|1-4/x|+√[(x-1)2+16]≥|1-4/x|+4。當(dāng)|1-4/x|取到最小值0時，即1-4/x=0，解得x=4。因此，點Q的坐標(biāo)為(4,0)。如圖所示，一次函數(shù)$y=kx+b$的圖像和反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$的圖像交于點$P(n,2)$，與$x$軸交于點$A(-4,0)$，與$y$軸交于點$C$，$PB\perpx$軸于點$B$，點$A$與點$B$關(guān)于$y$軸對稱。(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。因為點$A$和點$B$關(guān)于$y$軸對稱，所以$OA=OB$，又因為$A(-4,0)$，所以$B(4,0)$。因為$PB\perpx$軸于點$B$，所以$P(4,2)$。將$P(4,2)$代入反比例函數(shù)的解析式$y=\frac{1}{x}$中可得$k=8$。將$A$和$P$的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)的解析式$y=kx+b$中可得$k=4$，$b=1$。因此，一次函數(shù)的解析式為$y=4x+1$，反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{1}{x}$。(2)求證：點$C$為線段$AP$的中點。因為點$A$和點$B$關(guān)于$y$軸對稱，所以$OA=OB$。又因為$PB\perpx$軸于點$B$，所以$\anglePBA=\angleCOA=90^\circ$。因此，$PB\parallelCO$，$AC=PC$，即點$C$為線段$AP$的中點。(3)在反比例函數(shù)圖像上是否存在點$D$，使四邊形$BCPD$為菱形？如果存在，求出點$D$的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。存在點$D$，使四邊形$BCPD$為菱形。因為點$C$為線段$AP$的中點，所以$BC=\frac{1}{2}AP=PC$，即$BC$和$PC$是菱形的兩條邊。過點$C$作$CD\parallelx$軸，交$PB$于點$E$，交反比例函數(shù)圖像于點$D$，分別連接$PD$和$BD$。因為$PB\perpCD$，所以$PE=BE=1$，$CE=DE=4$。因此，$PB$與$CD$互相垂直平分，即四邊形$BCPD$為菱形。因此，存在滿足條件的點$D$，其坐標(biāo)為$(8,1)$。為平行四邊形，故S△AOC＝S△BOC，設(shè)點P(x，0)，則S△AOP＝12S△AOB即3x＝12×3×OC×AB＝32∴x＝12，∴點P的坐標(biāo)為(12，0)；(3)將△BOA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，如圖所示：第11題圖備用圖設(shè)點E(x，y)，則∠BDE＝∠BOA＋60°＝120°，∴cos120°＝－12＝BDBE，∴BD＝－12BE，又∵AB⊥x軸，∴BC＝AC＝1，∴BE＝BC＋CE＝1＋y，∴BD＝－12(1＋y)，∴－12(1＋y)＝－12，∴y＝－3，∴點E的坐標(biāo)為(12，－3)，不在該反比例函數(shù)的圖象上．(1)證明：根據(jù)坐標(biāo)計算可得OA=4，OB=3，OC=2，所以AB=5，BC=2，AC=√(42+22)=2√5，由勾股定理可得AB2+BC2=AC2，因此四邊形ABCD是菱形。(2)解：由于AD=BC，所以D點的橫坐標(biāo)為2+5=7，縱坐標(biāo)為4，因此D的坐標(biāo)為(7,4)。又因為反比例函數(shù)y=x/k的圖像經(jīng)過點D，所以4=7/k，解得k=7/4，因此反比例函數(shù)的解析式