山西省忻州市原平段家堡鄉(xiāng)牛食堯村中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省忻州市原平段家堡鄉(xiāng)牛食堯村中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)y=sin2x的圖象為C，為了得到函數(shù)的圖象，只要把C上所有的點（）A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度參考答案：C【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：=sin2（x+），即為了得到函數(shù)的圖象，只要把C上所有的點向左平行移動個單位長度即可，故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，利用三角函數(shù)解析式之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2.（5分）已知集合A={1，3，4}，B={2，3}，則A∩B等于（） A． {2} B． {1，4} C． {3} D． {1，2，3，4}參考答案：C考點： 交集及其運算．專題： 集合．分析： 由A與B，求出A與B的交集即可．解答： ∵A={1，3，4}，B={2，3}，∴A∩B={3}，故選C點評： 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．3.在等差數(shù)列{an}中，首項，公差，前n項和為．有下列命題：①若，則；②若，則是Sn中的最大項；③若，則；④若，則．其中正確命題的個數(shù)是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】方法一：由前項和公式代入各命題判斷是否正確.方法二：由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)判斷各命題是否正確.【詳解】方法一：若，則，可得，，①正確；，則是中的最大項，②正確；，③正確.若，則，又，故，所以，即，④正確.故選D.方法二：若，則，而，則，③正確；，①正確；若，由可得單調(diào)遞增，不合題意，故，等差數(shù)列的前項和是關(guān)于的二次函數(shù)，由對稱性可得當(dāng)時，取得最大值，②正確.若，則，又，故，所以，即，④正確.故選D.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的有關(guān)問題.有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題一般都能夠使用兩種方法求解，一是用首項和公差(公比)進行基本量運算，二是利用有關(guān)性質(zhì)進行解題.4.設(shè)集合，則M∩N的所有子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8參考答案：B5.若U=R，A=B=，要使式子AB=成立，則a的取值范圍是（

）A

-6

B

a

C

-11<

D

-11參考答案：B6.給出定義：若m﹣＜x≤m+（其中m為整數(shù)），則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x﹣{x}的三個判斷：①y=f（x）的定義域是R，值域是（﹣，]；

②點（k，0）是y=f（x）的圖象的對稱中心，其中k∈Z；③函數(shù)y=f（x）在（，]上是增函數(shù)．則上述判斷中所有正確的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：B【考點】函數(shù)的值．【分析】依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，再對三個命題逐個驗證后，即可得到正確結(jié)論．【解答】解：在①中，由題意知，{x}﹣＜x≤{x}+，則得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，則命題①為真命題；在②中，由于k∈Z時，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣，]，故函數(shù)不是中心對稱圖形，故命題②為假命題；在③中，由于{x}﹣＜x≤{x}+，則得到f（x）=x﹣{x}為分段函數(shù)，且在（﹣，]，（，]上為增函數(shù)，故命題③為真命題．故答案為①③．故選：B．7.若直線與兩坐標軸的交點分別為A、B，則以線段AB為直徑的圓的標準方程為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B略8.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B9.（5分）設(shè)f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a、b、α、β為非零常數(shù)．若f=﹣1，則f等于（） A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2參考答案：C考點： 運用誘導(dǎo)公式化簡求值．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 由題意和誘導(dǎo)公式可得asinα+bcosβ=1，把x=2014代入由誘導(dǎo)公式化簡可得f=asinα+bcosβ，整體代入計算可得．解答： ∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），∴f=asin+bcos=﹣1，由誘導(dǎo)公式化簡可得：﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，即asinα+bcosβ=1∴f=asin+bcos=asinα+bcosβ=1，故選：C．點評： 本題考查誘導(dǎo)公式，整體代入是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．10.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=2x2﹣1，值域為{1，7}的“孿生函數(shù)”共有(

)A．10個 B．9個 C．8個 D．4個參考答案：B【考點】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】新定義．【分析】根據(jù)已知中若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，再由函數(shù)解析式為y=2x2﹣1，值域為{1，7}，由y=1時，x=±1，y=7時，x=±2，我們用列舉法，可以得到函數(shù)解析式為y=2x2﹣1，值域為{1，7}的所有“孿生函數(shù)”，進而得到答案．【解答】解：由已知中“孿生函數(shù)”的定義：一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，當(dāng)函數(shù)解析式為y=2x2﹣1，值域為{1，7}時，函數(shù)的定義域可能為：{﹣2，﹣1}，{﹣2，1}，{2，﹣1}，{2，1}，{﹣2，﹣1，1}，{﹣2，﹣1，2}，{﹣1，1，2}，{﹣2，1，2}，{﹣2，﹣1，1，2}，共9個故選B【點評】本題考查的知識點是新定義，函數(shù)的三要素，基本用列舉法，是解答此類問題的常用方法，但列舉時，要注意一定的規(guī)則，以免重復(fù)和遺漏．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖像向右平移個單位后，與函數(shù)的

圖像重合，則=____________.參考答案：12.（4分）若sinα+2cosα=0，則sin2α﹣sinαcosα=

．參考答案：考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．專題： 計算題；三角函數(shù)的求值．分析： 由已知可解得tanα=﹣2，由萬能公式可得：sin2α，cos2α的值，由倍角公式化簡所求代入即可求值．解答： ∵sinα+2cosα=0，∴移項后兩邊同除以cosα可得：tanα=﹣2，∴由萬能公式可得：sin2α===﹣，cos2α===﹣，∴sin2α﹣sinαcosα==﹣=．故答案為：．點評： 本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，萬能公式，倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.當(dāng)時，函數(shù)的值恒大于1，則實數(shù)的取值范圍是_

_____.參考答案：略14.已知直線與圓相較于兩點，則線段的長度為

參考答案：由題意得，圓的半徑為3，且圓心到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式可知。15.設(shè)任意實數(shù)，要使恒成立，則的最小值為_______________．參考答案：-916.集合，，則

.參考答案：{2}17._________.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.，，.（1）求；（2）試求實數(shù)的取值范圍，使.參考答案：（Ⅰ）故（Ⅱ）（?。┊?dāng)時,.由于，故有，可得.（ⅱ）當(dāng)時,.由于，故有，可得（舍）.（ⅲ）當(dāng)時,.由于成立，故滿足條件.綜上所述：或.19.某商場為刺激消費，讓消費達到一定數(shù)額的消費者參加抽獎活動．抽獎方案是：顧客從一個裝有2個紅球，3個黑球，5個白球的袋子里一次取出3只球，且規(guī)定抽到一個紅球得3分，抽到一個黑球得2分，抽到一個白球得1分，按照抽獎得分總和設(shè)置不同的獎項．記某位顧客抽獎一次得分總和為X．（1）求該顧客獲得最高分的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）該顧客抽獎一次，當(dāng)抽到2個紅球1個黑球時，得分總和最高為8分，…2分得分為8分的概率為，

……………4分（2）由題意知,袋子中共有10個球,，

，

，，，

……………13分（X=3，4，8時算對一種得1分，X=5,6,7時算對一種得2分）所以X的數(shù)學(xué)期望.………15分答：（1）該顧客獲得高分的概率是；（2）X的數(shù)學(xué)期望為5.1.…16分20.解：20.已知函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，若f（）=﹣．（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的最小正周期（不需證明）；（2）是否存在正整數(shù)k，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，kπ]內(nèi)恰有2017個零點？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】三角函數(shù)的化簡求值；函數(shù)零點的判定定理．【分析】（1）根據(jù)f（）=﹣帶入即可求解a的值．因為|sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π，故得函數(shù)f（x）的最小正周期．（2）令k=1，討論[0，π]內(nèi)存在的零點情況，從而討論是否存在k內(nèi)恰有2017個零點即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，∵f（）=﹣．∴a（sin+cos）﹣sin﹣1=﹣．解得：a=1，函數(shù)f（x）的最小正周期T=π，（2）存在n=504，滿足題意：理由如下：當(dāng)時，，設(shè)t=sinx+cosx，則，sin2x=t2﹣1，則，可得t=1或，由t=sinx+cosx圖象可知，x在上有4個零點滿足題意．當(dāng)時，，t=sinx﹣cosx，則，sin2x=1﹣t2，，，t=1或，∵，∴x在上不存在零點．綜上討論知：函數(shù)f（x）在[0，π）上有4個零點，而2017=4×504+1，因此函數(shù)在[0，504π]有2017個零點，所以存在正整數(shù)k=504滿足題意．21.已知函數(shù)f（x）=x+（Ⅰ）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；（Ⅱ）用定義證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（﹣1，0）上是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．參考答案：證明：（I）函數(shù)為奇函數(shù)（II）設(shè)x1，x2∈（0，1）且x1＜x2=∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1）因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)（III）f（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：常規(guī)題型．分析：（I）用函數(shù)奇偶性定義證明，要注意定義域．（II）先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，（III）由函數(shù)圖象判斷即可．解答：證明：（I）函數(shù)為奇函數(shù)（II）設(shè)x1，x2∈（0，1）且x1＜x2=∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．∴f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1）因此函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)（III）f（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)．點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性定義，要注意奇偶性要先判斷，單調(diào)性變形要到位22.（1）求證：函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)．（2）若f（x）=，x∈[0，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的值域；（3）對于（2）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[0，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1），求實數(shù)a的值．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；對勾函數(shù)．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，直接證明即可．（2）轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達式為（1）的函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)的值域即可．（3）利用函數(shù)的值域以及子集關(guān)系，列出不等式組求解即可．【解答】解：（1）證明：設(shè)，任取x1，x2∈（0，]且x1＜x2，，顯然，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣a＜0，∴h（x1）﹣h（x2）＞0，即該函數(shù)在∈（0，]上是減函數(shù)；同理