福建省寧德市樹人中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

福建省寧德市樹人中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合,，，則為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A2.已知，，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B.考點：三角恒等變形.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)成立 a=（20.2）···,則a,b,c的大小關(guān)系是 （

） A．

B．

C．

D．參考答案：A因為函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù).因為，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減。因為，，，所以，所以，選A.4.若展開式中第四項與第六項的系數(shù)相等，則展開式中的常數(shù)項的值等于（

）A.

8

B.16

C. 80

D.

70參考答案：D略5.已知，，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】利用充分必要條件結(jié)合不等式性質(zhì)即可得解【詳解】∵，，∴，∵，∴，∴，反之，時，，∵，∴.故選C【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，考查推理能力結(jié)合不等式性質(zhì)求解是關(guān)鍵6.集合的，具有性質(zhì)“若，則”的所有非空子集的個數(shù)為（

）A.

3

B.

7

C.

15

D.

31參考答案：B7.若非零向量，滿足||=||，且（﹣）⊥（3+2），則與的夾角為（）A． B． C． D．π參考答案：A【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】根據(jù)向量垂直的等價條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進行求解即可．【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）?（3+2）=0，即32﹣22﹣?=0，即?=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故選：A【點評】本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量垂直的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．8.為虛數(shù)單位，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：C9.某中學(xué)高中一年級有人，高中二年級有人，高中三年級有人，現(xiàn)從中抽取一個容量為人的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象是下圖中的（

）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個四棱錐的三視圖如圖所示，那么這個四棱錐最長棱的棱長為__________．參考答案：將該四棱錐放在正方體中，，，故該四棱錐中最長棱長為．12.如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的離心率為．參考答案：【考點】圓與圓錐曲線的綜合．【分析】本題考察的知識點是平面向量的數(shù)量積的運算，及橢圓的簡單性質(zhì)，由F1、F2是橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，連接OQ，F(xiàn)1P后，我們易根據(jù)平面幾何的知識，根據(jù)切線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)得到PF2⊥PF1，并由此得到橢圓C的離心率．【解答】解：連接OQ，F(xiàn)1P如下圖所示：則由切線的性質(zhì)，則OQ⊥PF2，又由點Q為線段PF2的中點，O為F1F2的中點∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a則c=故橢圓的離心率為：故答案為：．13.已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則實數(shù)________參考答案：514.

曲線y=x3在點（1，1）切線方程為___________________．參考答案：15.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5cm，秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間t=0時，點A與鐘面上標(biāo)12的點B重合，將A、B兩點的距離d(cm)表示成t(秒)的函數(shù)，則d=______________其中．參考答案：．試題分析：由題意知，秒針轉(zhuǎn)過的角度為，連接AB，過圓心向它作垂線，把要求的線段分成兩部分，根據(jù)直角三角形的邊長求法得到．故應(yīng)填．考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型．16.已知數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為

。參考答案：n·2n略17.設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函數(shù)f（x）的兩個零點，x1和x2是f（x）的兩個極值點，則x1?x2=_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某市隨機抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)可申請政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個，試估計有多少企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠；（Ⅲ）從企業(yè)中任選4個，這4個企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬元的頻率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200個企業(yè)中有1200×0.12個企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個企業(yè)繳稅少于20萬元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．【解答】解：（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬元的頻率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200個企業(yè)中有144個企業(yè)可以申請政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個企業(yè)繳稅少于20萬元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．19.已知{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式．

（Ⅱ）令Cn=Sncos（anπ）（n∈N+），求{cn}的前n項和Tn．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則a2b2=（3+d）q=12，①

S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，變形可得q=11-3d，②

代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d2=12，（3d+7）（d-3）=0，

又由{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，有d＞0．則d=3，q=11-3d=2，

an=3+（n-1）×3=3n，bn=2n-1…（6分）

（Ⅱ）

…（8分）

當(dāng)n是偶數(shù)，Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn

=…（10分）

當(dāng)n是奇數(shù)，

綜上可得…（12分）略20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．（1）求證：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱錐P﹣ABM的體積．參考答案：【分析】（1）推導(dǎo)出MN∥PA，從而MN∥平面PAB，再推導(dǎo)出CN∥AB，從而CN∥平面PAB，由此能證明平面CMN∥平面PAB．（2）點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離，三棱錐P﹣ABM的體積V=VM﹣PAB=VC﹣PAB=VP﹣ABC，由此能求出結(jié)果．【解答】證明：（1）∵M，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA．又∵MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CN=AN，∴∠ACN=60°．又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB．又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．…（6分）解：（2）由（1）知，平面CMN∥平面PAB，∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離．由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴，∴三棱錐P﹣ABM的體積：．…（12分）【點評】本題考查面面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．21.(14分)

已知函數(shù)

(1)若在處取得極值，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若關(guān)于x的方程=m在[-1，1]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若存在，使得不等式>0能成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：解析：(1)，由題意得，解得a=2，經(jīng)檢驗滿足條件．(2)由(1)知，則………………(2分)

令，則

(舍去)…………………

(4分)當(dāng)x變化吋，、的變化情況如下表x-1(-1,0)0(0,1)1

-0+

-1↘-4↗-3………………

(6分)∵關(guān)于X的方程f(x)=m在[-1，1]上恰有兩個不同的實數(shù)根∴-4<m≤-3．

………………………

(8分)(3)由題意得，即可．……………………

(9分)①若a≤0，則當(dāng)X>0時，

<0，∴f(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減∵f(0)=-4<0．∴當(dāng)x>0時，f(x)<-4<0∴當(dāng)a≤0時，不存在．②當(dāng)a>0時，、隨X的變化情況如下表x+0-↗↘………………(12分)∴當(dāng)時，由綜上得a3．………………(14分)

22.已知曲線C的參數(shù)方程：（α為參數(shù)），曲線C上的點M（1，）對應(yīng)的參數(shù)α=，以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點P的極坐標(biāo)是（，），直線l過點P，且與曲線C交于不同的兩點A、B．（1）求曲線C的普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范圍．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）由橢圓參數(shù)方程可得，解得a，b．可得曲線C的參數(shù)方程，化為直角坐